L¨ osung. Wir f¨ uhren zun¨ achst einige Bezeichnungen zu elementaren Zeilenumfor- mungen ein:

Aufgabe 20

Es sei K ein K¨ orper, n ∈ N _>0 . Zeigen Sie, ausgehend von den Eigenschaften D1 (Linearit¨ at), D2 (Alterniertheit) und D3 (Normiertheit) der Determinantenfunktion

det : K ^n×n → K,

dass diese auch die Eigenschaften D4, D5, D7, D8, D9 und D11 besitzt.

L¨ osung. Wir f¨ uhren zun¨ achst einige Bezeichnungen zu elementaren Zeilenumfor- mungen ein:

? Wird zu einer Zeile einer Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile hinzuaddiert, so bezeichnen wir diese Zeilenumformung als Typ I.

? Wird eine Zeile mit einer anderen getauscht, so bezeichnen wir diese Zeilenum- formung als Typ II.

? Wird eine Zeile mit einem Skalar multipliziert, so bezeichnen wir diese Zeile- numformung als Typ III.

• (D4) Behauptung: Es gilt ∀λ ∈ K∀n ∈ N∀A ∈ K ^n×n gilt det(λ · A) = λ ⁿ det(A).

Beweis: Die Aussage folgt durch n-fache Anwendung der Linearit¨ at D1.

• (D5) Behauptung: Hat A eine Nullzeile, so ist det(A) = 0.

Beweis: Sei a _i eine Nullzeile. Dann gilt a _i = 0 · a _i . Wieder folgt die Aussage aus der Linearit¨ at

det





 .. . a i

.. .





 = 0 · det





 .. . a i

.. .





 = 0.

• (D7) Behauptung: Entsteht B aus A durch Addition der λ-fachen j-ten Zeile zur i-ten Zeile (i 6= j), so ist det(A) = det(B).

Beweis: Wir haben det B = det

a _i + λa _j a _j

D1 = det

a _i + λa _j a _j

| {z }

=detA

+λ · det a _j

a _j

| {z }

D2

= 0

= det A.

• (D8) Behauptung: Ist A eine obere Dreiecksmatrix, also

A =





λ ₁ · · · . .. ...

0 ^{λ n}



 , so gilt det(A) = λ ₁ · . . . · λ _n .

Beweis: 1. Fall: Alle λ _i 6= 0. Dann l¨ asst sich A nur durch Anwendung elemen- tarer Zeilenumformungen des Typs I, ¨ uberf¨ uhren in

A e =









λ ₁ 0

. ..

0 ^{λ n}









.

Wegen D7 gilt det A = det A. Ferner gilt e

det A e =

λ ₁ . ..

λ _n

D1 = λ 1 · . . . · λ n

1

. ..

1

D3 = λ 1 · . . . · λ n .

2. Fall: Es gibt ein i mit λ _i = 0. Dann w¨ ahlen wir i maximal, d.h. λ _i+1 , . . . , λ _n 6=

0. Mit Hilfe der Zeilen a _i+1 , . . . , a _n produzieren wir in der i-ten Zeile eine Null- zeile mit elementaren Zeilenumformungen. Nach D7 ver¨ andern wir den Wert der Determinante nicht. Mit D5 ist die Determinante gleich 0.

• (D9) Behauptung: Sei n ∈ N ≥2 und A eine Matrix von der Gestalt

A =





A ₁ C

0 ^{A 2}



 wobei A ₁ , A ₂ quadratische Matrizen seien.

Dann gilt det(A) = det(A 1 ) · det(A 2 ).

Beweis: Wir ¨ uberf¨ uhren A 1 mittels elementarer Zeilenoperationen des Typs I und des Typs II in eine obere Dreiecksmatrix B ₁ , dabei wird aus C die Matrix C ⁰ . Nach D6 und D7 gilt

det(A ₁ ) = (−1) ^k det(B ₁ ),

wobei k die Anzahl der Zeilenoperationen des Typs II bezeichne. Ebenso ¨ uber- f¨ uhren wir A ₂ in eine obere Dreiecksmatrix B ₂ mittels elementarer Zeilenope- rationen des Typs I und II, dabei bleiben B ₁ und C ⁰ unver¨ andert und es gilt

B =





B ₁ C ⁰

0 ^{B 2}



 . Ferner gilt

det(A ₂ ) = (−1) ^` det(B ₂ ),

hierbei bezeichnet ` die Anzahl elementarer Zeilenumformungen des Typs II.

Nach D8 gilt

det(B ) = det(B ₁ ) · det(B ₂ ) und nach D6 und D7 gilt

det(A) = (−1) ^{k+`</sup> det(B) = (−1) <sup>k+`} det(B ₁ ) · det(B ₂ )

= (−1) ^{k+`</sup> (−1) <sup>k</sup> det(A <sub>1</sub> )(−1) <sup>`} det(A ₂ ) = det(A ₁ ) · det(A ₂ ).

• (D11) Behauptung: F¨ ur A, B ∈ K ^n×n gilt det(A · B) = det(A) · det(B).

Beweis: Es seien A, B ∈ K ^n×n . Vor dem eigentlichen Beweis f¨ uhren wir soge- nannte Elementarmatrizen ein, um die Typen I, II und III elementarer Zeile- numformungen als Matrizenmultiplikation zu beschreiben.

– Entsteht B aus A, indem zur i-ten Zeile das λ-fache der j -ten Zeile ad- diert wird, so kann diese Zeilenumformung des Typs I als Elementarmatrix angewandt auf A beschrieben werden. Es gilt

B = E _j ⁱ (λ) · A,

2

wobei E _j ⁱ (λ) ∈ K ^n×n wie folgt aussieht: Alle Eintr¨ age auf der Hauptdia- gonalen sind 1. Der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Zeile ist λ. Alle anderen Eintr¨ age sind 0. Nach (D8) gilt

det(E _j ⁱ (λ)) = 1, (1)

denn E _j ⁱ (λ) ist entweder eine obere oder eine untere Dreiecksmatrix.

– Entsteht B aus A, indem die i-te Zeile mit der j-ten Zeile getauscht wird, so gilt

B = T _j ⁱ · A,

wobei der T _j ⁱ aus der Einheitsmatrix entsteht, indem die i-te Zeile mit der j-te Zeile getauscht wird. Dann gilt

det(T _j ⁱ ) = (−1). (2)

– Entsteht B aus A, indem die i-te Zeile mit λ ∈ K multipliziert, so gilt B = L ⁱ (λ) · A,

wobei L ⁱ (λ) aus der Einheitsmatrix entsteht, indem die i-te Zeile mit λ multipliziert wird. Dann gilt

det(L ^j (λ)) = λ. (3)

Nun zum eigentlichen Beweis:

– Falls A singul¨ ar ist, so ist auch A · B auch singul¨ ar. Dann gilt 0 = det(A · B ) = det(A) · det(B ).

– Falls A regul¨ ar ist, so ist A invertierbar. Wir k¨ onnen dann mit einer end- lichen Folge von Zeilenumformungen der Typen I, II und III die Matrix A in die Einheitsmatrix ¨ uberf¨ uhren, d.h.

(E _k · . . . · E ₁ ) · A = 1,

wobei die E _j , j = 1 . . . k aus den obigen Elementarmatrizen bestehen. Also l¨ asst sich jede regul¨ are Matrix als Produkt von Elementarmatrizen schrei- ben

A = E ₁ · . . . · E _k .

Es gen¨ ugt also die Aussage f¨ ur Elementarmatrizen zu zeigen:

∗ F¨ ur A = E _j ⁱ (λ) gilt

det(A · B) = det(E _j ⁱ (λ) · B ) ^D7 = 1 · det(B ) ⁽¹⁾ = det(E _j ⁱ (λ)) · det(B )

= det(A) · det(B).

∗ F¨ ur A = T _j ⁱ gilt

det(A · B) = det(T _j ⁱ · B) ^D6 = (−1) · det(B) ⁽²⁾ = det(T _j ⁱ ) · det(B )

= det(A) · det(B).

∗ F¨ ur A = L ⁱ (λ) gilt

det(A · B) = det(L ⁱ (λ) · B) ^D1 = λ · det(B) ⁽³⁾ = det(L ⁱ (λ)) · det(B)

= det(A) · det(B).

3