1. Aufgabe (6 Punkte): Berechnen Sie die LR-Zerlegung ohne Verwendung einer Pivotstra- tegie von der Matrix

(1)

PS Numerische Mathematik f¨ ur LAK WS 08/09, LV-Nr.: 621.235, SR 11.34

Nachklausur (06.03.2009)

1. Aufgabe (6 Punkte): Berechnen Sie die LR-Zerlegung ohne Verwendung einer Pivotstra- tegie von der Matrix

A =







1 0 2

2 −2 6

− 3 − 2 − 3





 .

2. Aufgabe (6 Punkte): Das Polynom p

1

= p

1

(t) ersten Grades soll nach der Methode der kleinsten Quadrate an die folgende Messreihe angepasst werden:

t 0 3 4 7

y 1 2 6 4

Bestimmen Sie p

1

.

3. Aufgabe (6 Punkte): Wir betrachten die Fixpunktabbildung Φ : R

²

→ R

²

mit

Φ(x) = c cos ϑ

1

− sin ϑ

2

cos ϑ

1

−2 sin ϑ

2

!

, x = (ϑ

1

, ϑ

2

) ∈ R

²

und c > 0.

a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix Φ

^′

von Φ.

b) F¨ ur welche Werte von c ist konvergiert die Fixpunktiteration x

^k+1

= Φ(x

^k

), k ≥ 0, f¨ ur jeden beliebigen Startwert x

⁰

∈ R

²

? Verwenden Sie zur Beantwortung der Frage das Ergebnis von a) und als Matrixnorm die Zeilensummennorm.

4. Aufgabe (6 Punkte): Wie lautet das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle x

^∗

∈ [0, 2] der Funktion f (x) = x

⁶

− x − 1? Geben Sie die Iterationsvorschrift an. Was erwarten Sie f¨ ur eine lokale Konvergenzgeschwindigkeit?

1. Aufgabe (6 Punkte): Berechnen Sie die LR-Zerlegung ohne Verwendung einer Pivotstra- tegie von der Matrix

PS Numerische Mathematik f¨ ur LAK WS 08/09, LV-Nr.: 621.235, SR 11.34

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