Dreiecksungleichung
Der Betrag der Summe zweier Vektoren l¨asst sich durch die Summe ihrer Betr¨age absch¨atzen:
|~a+~b| ≤ |~a|+|~b|
mit Gleichheit genau dann wenn~a und~b die gleiche Richtung haben, d.h.
~a=s~b mits >0 oder (im trivialen Fall) wenn mindestens einer der Vektoren der Nullvektor ist.
Beweis
mehrere Alternativen
(i) Geometrisches Argument:
Jede Seite des (nicht entarteten) Dreiecks, das von den Vektoren~a,~b,
~a+~b gebildet wird, ist k¨urzer als die Summe der L¨angen der beiden anderen Seiten.
(ii) Anwendung der Ungleichung von Cauchy-Schwarz:
CS: |~u·~v| ≤ |~u| |~v| =⇒
|~a+~b|2 = (~a+~b)·(~a+~b)
= |~a|2+ 2~a·~b+|~b|2
≤
CS
|~a|2+ 2|~a| |~b|+|~b|2
= (|~a|+|~b|)2
Gleichheit ⇔ Gleichheit in CS und~a·~b≥0 ⇔ gleiche Richtung von~aund~b oder mindestens ein Nullvektor
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(iii) Anwendung des Satzes von Pythagoras:
P: ~u⊥~v =⇒ |~u+~v|2=|~u|2+|~v|2
[Beweis durch Ausmultiplizieren von (~u+~v)·(~u+~v)]
im nicht trivialen Fall~a6=~0 Darstellung von~b in der Form
~b=s~a+~c, ~c ⊥~a [Wert von s irrelevant, Berechnung aus der Bedingung 0 =~c ·~a= (~b−s~a)·~a= 0 m¨oglich]
Einsetzen in die quadrierte linke Seite der Dreiecksungleichung
|(~a+s~a) +~c|2=
P |(1 +s)~a|2+|~c|2 = (1 +s)2|~a|2+|~c|2 Vergleich mit der quadrierten rechten Seite der Dreiecksungleichung
(|~a|2+|s~a+~c|)2 = |~a|2+ 2|~a| |s~a+~c|+|s~a+~c|2
=P |~a|2+ 2|~a|
q
s2|~a|2+|~c|2+s2|~a|2+|~c|2
und Weglassen der identischen Terme|~a|2,s2|~a|2,|~c|2 zur Dreiecksungleichung ¨aquivalente Ungleichung
2s|~a|2 ≤2|~a|
q
s2|~a|2+|~c|2 erf¨ullt, da s|~a| ≤p
s2|~a|2+|~c|2
Gleichheit genau dann, wenn~c =~0 unds ≥0, d.h. wenn~aund~b Vektoren mit gleicher Richtung sind (s >0) oder~b =~0 (s = 0)
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Beispiel
Illustration der Dreiecksungleichung
|~a+~b| ≤ |~a|+~b|
f¨ur die Vektoren
~a= (1,8,4)t, ~b = (2,−2,1)t Linke Seite
~a+~b = (1 + 2,8−2,4 + 1)t= (3,6,5)t
|~a+~b| = p
32+ 62+ 52 =√
9 + 36 + 25 =√ 70 Rechte Seite
|~a| = p
12+ 82+ 42 =√ 81 = 9
|~b| = q
22+ (−2)2+ 12 =
√ 9 = 3
√
