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54. Satz F¨ur ZV X sind ¨aquivalent:

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Academic year: 2022

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5 Verteilungsfunktionen

246/1

(2)

54. Satz F¨ur ZV X sind ¨aquivalent:

(i) F

X

stetig differenzierbar

(ii) X absolutstetig verteilt mit stetiger Dichte f

X

Gilt (i) oder (ii), so folgt F

X0

= f

X

.

Beweis. “(i)

⇒

(ii)“ Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt

F

X

(x) =

Z

x

−∞

F

X0

(u) du.

Gem. Satz 9 stimmt

P

X mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß mit der Dichte

F

X0 ¨uberein.

“(ii)

⇒

(i)“ Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Ausblick: absolutstetige Funktionen. 247/1

(3)

55. Satz F¨ur ZVen X auf (Ω, A, P ) und X

0

auf (Ω

0

, A

0

, P

0

)

sind ¨aquivalent:

i) X , X

0

identisch verteilt ii) P

X

= P

X0

Beweis. ”(ii)

⇒

(i)“: klar. ”(i)

⇒

(ii)“: Satz 9.

248/1

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