Jahrgang 25 Sonderheft November 2005
MONOID
Mathematikblatt f ¨ur Mitdenker
P
Q
P+Q P*Q
A A
E G
F D C
E B C F
B D
H
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Eine mathematische Zeitschrift f ¨ur Sch ¨uler/innen und Lehrer/innen 1980 begr ¨undet von Martin Mettler;
gegenw ¨artig herausgegeben vom Institut f ¨ur Mathematik an der
Johannes Gutenberg-Universit ¨at Mainz am Rhein
Zum F ¨ unfundzwanzigj ¨ahrigen
Gem ¨aß den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz sollen die Sch ¨ulerinnen und Sch ¨uler im Mathematikunterricht unter Anderem
”. . . in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Probleml ¨osef ¨ahigkeit erwerben.“
In vielen Berufen werden Mathematiker wegen ihrer F ¨ahigkeit, auch harte Probleme zu knacken, gesch ¨atzt.
Probleml ¨osef ¨ahigkeit setzt logische und analytische Denkf ¨ahigkeit, fachliches K ¨onnen in inhaltlicher und methodischer Hinsicht sowie die Beherrschung gewisser Techniken, aber auch Durchhalteverm ¨ogen voraus.
Wo und wie kann Probleml ¨osef ¨ahigkeit erworben werden?
Zun ¨achst wird ein Angebot ben ¨otigt, das zum Knobeln und T ¨ufteln verlockt und das in gewisser Regelm ¨aßigkeit wiederkehrt. Der Mathematikunterricht bietet zwar reichlich Aufgaben, diese wirken aber – weil Pflicht – nicht immer besonders anziehend.
Es war das Verdienst von Martin Mettler, dem dieses B ¨andchen gewidmet sei, mit der mathematischen, an Sch ¨ulerinnen und Sch ¨uler ab dem f ¨unften Schuljahr gerichteten Zeitschrift MONOID, dem Mathematikblatt f ¨ur Mitdenker, ein vielf ¨altiges Forum von Knobel- und Probleml ¨oseaufgaben geschaffen zu haben. Seit 25 Jahren regt sie jetzt schon Sch ¨ulergenerationen an, sich dem Denksport hinzugeben.
Es verf ¨uhrt auch dazu, immer wieder neue Logeleien, Knobeleien, Zahlen- und Figu- renakrobatik sowie Rechenkunstst ¨ucke zu ersinnen, was schon fast s ¨uchtig machen kann. Den Kollegen Professor Wolfgang J. B ¨uhler und Dr. Hartwig Fuchs sei an dieser Stelle herzlich gedankt: Aus ihrem reichhaltigen, variationsreichen Fundus sind diese Aufgaben zusammen gestellt.
Wie man an Probleme heran gehen kann, zeigt der Beitrag von Horst Sewerin ¨uber heuristische Methoden f ¨ur das Probleml ¨osen. Als Trainer der deutschen Mannschaft f ¨ur die Mathematik-Olympiade hat er reichlich Gelegenheit, Strategien zu entwickeln und zu vermitteln. Auch ihm Dank f ¨ur die ¨Uberlassung des Artikels!
Im Rahmen ihrer fachdidaktischen Ausbildung hat eine studentische Arbeitsgruppe an der Universit ¨at Mainz, bestehend aus Catherine Jacobi, Grietje Gel ¨uck und Malte Stumpf, sich mit Probleml ¨oseaufgaben und ihren vielerlei L ¨osungswegen auseinander gesetzt. Am Beispiel der Mathespielerei eines
”Heuschreckensprungs“ zeigen sie, wie die MONOIDaner sich damit auseinander gesetzt haben; sie vergleichen dabei die H ¨aufigkeiten der eingesetzten Methoden. F ¨ur ihre Darlegung sei auch ihnen gedankt.
Schließlich richtet sich der Dank an Jens Mandavid, der in gekonnter Weise dieses B ¨andchen geLATEXt und – mit einem ansprechenden Layout – druckfertig gemacht hat.
Mainz im November 2005 Ekkehard Kroll
Heuristische Methoden f ¨ ur das Probleml ¨ osen
von Horst Sewerin, Hofheim am Taunus
Es gibt Probleme, da stellt sich gleich eine Idee ein, wie man diese anpacken k ¨onnte;
es gibt aber auch solche Probleme, bei denen einem partout garnichts einf ¨allt. Da ist es dann von Vorteil, wenigstens einige Methoden zu kennen, wie man einem Problem zu Leibe r ¨ucken kann. Im Folgenden werden einige solcher heuristischen Methoden vorgestellt und an passenden Beispielen verdeutlicht.
Umzentrieren, Zielanalyse, Aufspalten in Teilprobleme Es ist zu beweisen, dass der Term
n2 n2 1 n2 4
f ¨ur allen INdurch360teilbar ist.
Wenn man eine Aufgabe erf ¨ahrt, so erzeugt sie in der Vorstellung eine ganz bestimmte Gestalt, die bei jedem Menschen anders ist. Diese Gestalt h ¨angt von Erfahrungen mit
¨ahnlichen Problemen, vom Vorwissen, aber auch von Stimmungen und Gef ¨uhlen ab.
Ein guter Probleml ¨oser ist in der Lage, verschiedene Aspekte dieser Gestalt ins Zen- trum seiner Erw ¨agungen zu r ¨ucken, um dann einen besonders Erfolg versprechenden Aspekt weiter zu verfolgen. Diesen Vorgang bezeichnen wir mit Umzentrieren. Gelingt dies nicht, so bleibt man starr an einem Schema h ¨angen, und die Aufgabe wird wegen dieser zu starken Fixierung oft unl ¨osbar erscheinen.
Der oben genannte Term hat verschiedene Aspekte. Einerseits kann man in ihm ein noch nicht ganz ausmultipliziertes Polynom 6. Grades sehen, andererseits aber auch die noch nicht beendete Faktorenzerlegung fortf ¨uhren wollen. In diesem Fall entsteht durch Umformung der Term
n2 n 1 n 1 n 2 n 2 .
Wieder taucht ein neuer Aspekt auf, den wir ins Zentrum holen wollen: Unter den Fak- toren kommen aufeinander folgende Zahlen vor! Wir erzeugen eine m ¨oglichst lange Reihe:
n 2 n 1 n2 n 1 n 2 .
Wenn wir uns nun daran erinnern, dass die Teilbarkeit durch360nachgewiesen werden soll, betreiben wir Zielanalyse. Die Aufgabe w ¨are erf ¨ullt, wenn wir – eingedenk der Primfaktorzerlegung 360 23 32 5 – die Teilbarkeit durch 8, 9 und 5 nachgewiesen h ¨atten. Damit haben wir das Problem in Teilprobleme aufgespalten.
In der Tat ist unter 5 aufeinander folgenden nat ¨urlichen Zahlen stets eine durch 5teil- bar. Außerdem erkennt man, warum der Term auch zwei durch 3 teilbare Faktoren enthalten muss, und unter Beachtung der Tatsache, dass von zwei aufeinander folgen- den geraden Zahlen eine durch 4 teilbar ist, hat man in jedem Fall die Teilbarkeit des Termes durch 8gesichert.
Das Invarianzprinzip
Auf jeder der sechs Ecken eines regul ¨aren Sechsecks liegt eine M ¨unze. Bei einem Zug darf man zwei M ¨unzen gleichzeitig in entgegen gesetzter Richtung um dieselbe Anzahl von Feldern bewegen. Kann man durch mehrere dieser Z ¨uge alle M ¨unzen in ein Feld bringen?
Situationen wie diese sind von Un ¨ubersichtlichkeit gekennzeichnet, da man s ¨amtliche m ¨oglichen Spielz ¨uge und Ver ¨anderungen nicht auf einmal ¨uberblicken kann. Hier ist es hilfreich, nach einer Eigenschaft zu suchen, die bei allen Variationsm ¨oglichkeiten unver ¨andert bleibt. Eine solche invariante Eigenschaft f ¨uhrt oft direkt ins Zentrum des Problems und ist eine m ¨achtige Hilfe bei der L ¨osung. Dieses Vorgehen bezeichnet man als Invarianzprinzip.
1
2
3 4
5 6 Hier f ¨allt auf, dass bei der Gegenl ¨aufigkeit der gemein-
samen Z ¨uge beider M ¨unzen die Summe der orientierten Drehwinkel stets 0 ist. Daher bleibt bei der Nummerie- rung wie im nebenstehenden Bild die Summe der von den M ¨unzen bedeckten Augenzahlen modulo 6 invariant.
(Mehrfach bedeckte Augenzahlen m ¨ussen nat ¨urlich auch mehrfach gez ¨ahlt werden.) Diese Summe betr ¨agt zu Be- ginn
1 2 3 4 5 6 21 3 mod 6.
Falls alle M ¨unzen in einem Feld liegen, hat die Summe jedoch den Wert (Feldnummer) 6 0 mod 6.
Daher kann nach dem Invarianzprinzip dieser Zustand nicht erreicht werden, weil der Rest3 mod 6 nie verlassen wird.
Parit ¨atsausnutzung
Kann ein Springer von einer Ecke zur Gegenecke eines 8 8- Schachbrettes ziehen und dabei jedes Feld genau einmal ber ¨uhren?
Die F ¨arbung des Schachbrettes legt die Unter- scheidung nach geraden und ungeraden Zug- nummern nahe. Dies f ¨uhrt wegen der Farb- wechsel beim Springerzug zur Einsicht in die Unm ¨oglichkeit der verlangten Zugfolge.
Ziel
Start
Die F ¨arbung ist jedoch eine zus ¨atzlich in das Problem eingef ¨uhrte Struktur, die in der Aufgabenstellung selbst noch keine Rolle spielt. Solche zus ¨atzlichen Strukturen schaf- fen mehr Voraussetzungen und erleichtern die L ¨osung oft bei Existenzbeweisen. Hier hatte die zus ¨atzliche Struktur die Form einer einfachen Parit ¨at (schwarz/weiß, gera- de/ungerade, / , 1/0, Erfolg/Fehlschlag, ja/nein). Andere Parit ¨aten sind m ¨oglich.
Das Symmetrieprinzip
In jeder der beiden Reihen eines 2 n-Brettes befindet sich ein wei- ßer Stein links von einem schwar- zen. Zwei Spieler ziehen abwech- selnd nach dem Setzen irgendeinen
ihrer beiden Steine beliebig viele Felder vor- oder r ¨uckw ¨arts, wobei die wei- ßen Steine immer links von den schwarzen bleiben m ¨ussen. Sieger ist, wer seinen Gegner blockieren kann. Wer hat wann eine Gewinnstrategie?
In der obigen Figur kann Schwarz am Zug den Gewinn erzwingen, wenn er seinen oberen Stein um 3 Felder nach links bewegt. Dann ist die Spielsituation hinsichtlich des Abstandes der Steine in beiden Reihen symmetrisch, und Weiß muss diese Sym- metrie zerst ¨oren. Schwarz kann sie dann auf jeden Fall durch einen Zug auf den Geg- ner zu wieder herstellen; er besitzt also stets noch einen Antwortzug und wird daher gewinnen.
In der Heuristik wird der Begriff
”Symmetrie“ allgemeiner als in der Geometrie verwen- det: denken wir etwa an Polynome, die symmetrisch in ihren Variablen sind. Auch hier wird man die Symmetrie ausnutzen.
Symmetriezerst ¨orung
Man beweise, dass in jedem Dreieck die Mittelsenkrechten durch einen ge- meinsamen Punkt verlaufen.
Der klassische Beweis verwendet Symmetriezerst ¨orung: Zun ¨achst ist die Behaup- tung symmetrisch bez ¨uglich der drei Senkrechten. Man zerst ¨ort die Symmetrie, indem man zwei Achsen herausgreift, eine Aussage ¨uber ihren Schnittpunkt findet und dann zeigt, dass diese Aussage auf alle Punkte der dritten Achse zutreffen muss. Daher muss sie durch den Schnittpunkt der beiden anderen Geraden laufen.
Symmetriezerst ¨orung wird auch betrieben, wenn man ohne Beschr ¨ankung der Allge- meinheit Variablen der Gr ¨oße nach ordnet, welche vorher gleichberechtigt waren, oder unter gleichartigen Situationen eine ganz bestimmte auszeichnet. Stets gewinnt man zus ¨atzliche Voraussetzungen, mit denen der L ¨osungsweg st ¨arker vorgepr ¨agt werden kann.
R ¨uckw ¨artsarbeiten
Auf einem Haufen liegen nStreichh ¨olzer. Jeder von zwei Spielern darf zwi- schen1undkH ¨olzer abwechselnd entfernen. Sieger (Verlierer) ist, wer das letzte Holz entfernt.
Diese bekannte Aufgabe ist f ¨ur den Anf ¨anger recht schwierig zu durchschauen. Man kann sich den ¨Uberblick ¨uber die Gewinnstellungen mit der Strategie des R ¨uckw ¨arts- arbeitens so verschaffen:
Falls das Nehmen des letzten Holzes zu Verlust f ¨uhrt, so bedeutet ein Holz eine Ver- luststellung; alle Anzahlen zwischen 2undk 1H ¨olzern sind Gewinnstellungen;k 2 H ¨olzer entsprechen einer Verluststellung; alle Anzahlen zwischen k 3 und 2k 2 H ¨olzern sind wieder Gewinnstellungen, und so fortfahrend kann man die Zahlen bis n von unten her klassifizieren.
Das Extremalprinzip
In der Ebene sind 2n Punkte gegeben, von denen keine drei kollinear sind;
n dieser Punkte sind Bauernh ¨ofe, die ¨ubrigen n Brunnen. Von jedem Hof soll ein gerader Weg zu einem Brunnen gebaut werden. Man zeige, dass die Brunnen so den H ¨ofen zugeordnet werden k ¨onnen, dass keine dieser Wege sich schneiden.
Diese Aufgabe ist f ¨ur jedes konkret vorgegebene Muster aus Brunnen und H ¨ofen sehr leicht l ¨osbar, wenn man sich in einer Richtung durcharbeitet. Diese Strategie l ¨asst sich jedoch nicht direkt verallgemeinern, da etwa bei dem Algorithmus:
1. Suche den am weitesten links gelegenen freien Hof.
2. Verbinde ihn mit einem n ¨achstliegenden Brunnen.
3. Gehe nach 1., so lange es noch freie H ¨ofe gibt.
1 2
Kreuzungen auftreten k ¨onnen (siehe Fi- gur rechts). Man kann zwar jede Kreu- zung durch eine kreuzungsfreie Verbin- dung der beteiligten Punkte ersetzen, doch dabei k ¨onnen neue Kreuzungen entstehen (n ¨achste Figur), und so ist der schließliche Abbruch eines entspre- chenden Kreuzungs-Beseitigungs-Algo- rithmus nicht garantiert.
Hier hilft nun das Extremalprinzip: Das Beseitigen einer Kreuzung hat noch einen weiteren Aspekt. Die Gesamtl ¨ange der direkten Verbindungsstrecken ist stets kleiner als die L ¨ange der kreuzen-
den Verbindungen. (Dies folgt direkt aus der Dreiecksungleichung.) Es gibt aber nur endlich viele verschiedene Wegsysteme zwischen Brunnen und H ¨ofen. Wir w ¨ahlen un- ter den n! verschiedenen Wegsystemen eines mit minimaler Streckenl ¨ange aus. Die Existenz eines solchen extremalen Elements ist uns in einer endlichen Menge gewiss.
Dieses Wegsystem kann nun keine Kreuzungen haben: H ¨atte es welche, so ließen sie sich unter Verk ¨urzung der Gesamtstreckenl ¨ange beseitigen, und wir h ¨atten einen Widerspruch zur Minimalit ¨at.
Die Methode des unendlichen Abstiegs, Spezialfallanalyse Man bestimme alle ganzzahligen L ¨osungen von
a2 b2 c2 a2b2.
Bei Aufgaben mit vielen Variablen oder Situationen, die von vielen Faktoren abh ¨angen, ist es oft hilfreich, zun ¨achst einige Spezialf ¨alle zu untersuchen: Aus a 0folgt direkt b c 0, und dies liefert die triviale L ¨osung 0, 0, 0 . Da man im Folgenden a 0 b annehmen kann, hat die Spezialfallanalyse auch f ¨ur den allgemeinen Fall Nutzen gebracht: Division durch a2 oderb2 ist nun unbeschr ¨ankt m ¨oglich.
Sucht man nach weiteren L ¨osungstripeln, um etwa einer Rekursion auf die Spur zu kommen, so hat man keinen Erfolg. Dies f ¨uhrt zur Vermutung, dass es keine nichttri- viale L ¨osung dieser Gleichung gibt. Um diese Vermutung zu beweisen, reicht es, die Kongruenz
a2 b2 c2 a2b2 mod n
f ¨ur irgendeinen Modul n zu widerlegen. Wegen der Summe und der Verteilung der quadratischen Reste ist4 ein aussichtsreicher Modul.
Es sind nur die F ¨alle a2 0 mod 4 odera2 1 mod 4 m ¨oglich.
Falls a2 1 mod 4, so ist f ¨ur b2 0 mod 4 das Produkt a2b2 0 mod 4, und f ¨ur b2 1 mod 4 gilt a2b2 1 mod 4 – beides im Widerspruch zum Wert der Summe a2 b2 c2. Also muss a2 0 mod 4 sein.
Dann ist mit a2b2 0 mod 4auch die linke Seite 0 mod 4, und dies ist nur m ¨oglich, wenn auch b2 0 und c2 0 mod 4 gilt. Daher gibt es ganze Zahlen a1, b1, c1 mit a2 4a21, b2 4b21, c2 4c21. Setzt man dies in die Ausgangsgleichung ein, so erh ¨alt man
4a21 4b21 4c21 16a21b21. Daraus folgt nach Division durch 4 (1) a21 b21 c21 0 mod 4.
Dies ist wiederum nur m ¨oglich, wenn alle Summanden der linken Seite 0 mod 4 sind. Daher gibt es ganze Zahlena2,b2,c2 mita21 4a22,b21 4b22,c1 4c22. Der gleiche Schritt wie oben f ¨uhrt auf
(2) a22 b22 c22 0 mod 4.
Die Kongruenzen (1) und (2) sind bis auf den Index gleich, und die Schlussweise von (1) nach (2) l ¨asst sich f ¨ur jeden neuen Index wieder anwenden. Mit Hilfe dieses un- endlichen Abstiegs erh ¨alt man
a2 4a21 4 4a22 4 4 4a23 . . . , ai .
Es muss daher a durch jede Zweierpotenz teilbar sein, d.h. a 0. Damit ist gezeigt, dass es nur die triviale L ¨osung gibt.
Systematisches Probieren
Welches sind die nat ¨urlichen Zahlen, die sich nicht als Summe mehrerer aufeinander folgender nat ¨urlicher Zahlen schreiben lassen?
Die Konzeptbl ¨atter der Wettbewerbsteilnehmer zeigen, dass beim Probleml ¨osen unter Zeitdruck zielgerichtete Aktivit ¨aten mit Probierphasen abwechseln, wobei das Ende ei- ner Probierphase in der Regel durch die Entdeckung einer verheißungsvollen Spur f ¨ur systematische Arbeit markiert wird. Oft werden Probleme durch Probieren angegan- gen; wer jedoch planlos stochert, wird nur durch Zufall Erfolg haben. Systematisches Probieren bedeutet planvolle Aktivit ¨at: Die Resultate jedes Probiervorganges werden zur Vorbereitung des n ¨achsten Versuchs benutzt. So lassen sich konkurrierende Hy- pothesen rasch widerlegen oder untermauern.
Bei der obigen Aufgabe wird man besser nicht mit der Summenformel f ¨ur die arithme- tische Reihe beginnen, denn wenn man f ¨ur eine Summe mit dem Anfangsglied a und der Anzahl dder Summanden (d 2)
a a 1 a 2 . . . a d 1 a d d d 1 2
schreibt, so verr ¨at der rechte Term keineswegs, welche nat ¨urlichen Zahlen eine solche Darstellung zulassen und welche nicht. Man wird daher besser durch systematisches Probieren bei den ersten nat ¨urlichen Zahlen nachforschen:
1 2
3 1 2 4
5 2 3 6 1 2 3 7 3 4 8
9 4 5
10 1 2 3 4
Die Tabelle zeigt ein Muster: Systematisches Untersuchen wird nun die Zahl 16ins Vi- sier nehmen, und in der Tat erlaubt sie keine solche Darstellung. Daher ist die Aufgabe nun konkretisiert: Die Unm ¨oglichkeit von
a d d d 1
2 2k f ¨urk 0 soll nachgewiesen werden. Umformen ergibt
2k d 2a d 1 mitk 1.
Die rechte Seite stellt die Faktorenzerlegung einer Zweierpotenz dar, und wegen d 2 ist d gerade. Dann ist aber der Wert der Klammer ungerade und gr ¨oßer als 2, Wider- spruch!
Genauso leicht findet man noch f ¨ur alle Nicht-Zweierpotenzen eine jeweils m ¨ogliche Darstellung der verlangten Art. Ohne den Hinweis durch das Probieren hat die Aufgabe keinen elementaren Zugang.
Zustandsbewertung
Drei Streichh ¨olzer liegen Kopf nach oben neben- einander links von drei weiteren Streichh ¨olzern, deren K ¨opfe nach unten zeigen. Durch m ¨oglichst
wenige gleichzeitige Vertauschungen der Orientierung zweier benachbar- ter H ¨olzer ist eine Anordnung herzustellen, bei der die K ¨opfe abwechselnd nach oben und unten zeigen:
6 4
Jeder der erreichbaren Zust ¨ande kann mit der Anzahl derjenigen H ¨olzer bewertet wer- den, die schon mit dem Endzustand ¨ubereinstimmen. So erh ¨alt der Ausgangszustand die Bewertung 4, der Endzustand die Bewertung 6. Wenn man alle Nachbarzust ¨ande des Ausgangszustands (d.h. alle Zust ¨ande, die man von ihm aus durch einen Zug errei- chen kann) aufschreibt und mit ihren Bewertungen versieht, gibt es zwei M ¨oglichkeiten.
Entweder ist darunter der Zustand mit Bewertung 6, und man ist fertig. Oder man w ¨ahlt einen Zustand mit m ¨oglichst hoher Bewertung aus und notiert nun dessen Nachbar- zust ¨ande usw. Wenn die Aufgabe l ¨osbar ist, kommt man mit diesem Verfahren nach endlich vielen Schritten zum Ziel.
Die Zustandsbewertung eignet sich gut f ¨ur die Simulation
”intelligenter“ Systeme auf Computern. Die g ¨angigen Schachprogramme basieren auf dieser Strategie.
Rekursion
In wie viele Teile wird die Ebene durch n Kreislinien zerlegt, welche sich paarweise schneiden, von denen jedoch keine drei durch einen Punkt ge- hen?
Das Studium der F ¨alle n 1, 2, 3 liefert die Anzahlen 2, 4, 8. F ¨ur n 4 ist allerdings die Anzahl 16 offensichtlich zu groß. Daher versuchen wir, eine Rekursion zwischen der Anzahl K n bein Kreisen und der ZahlK n 1 bein 1Kreisen zu finden.
4
2 8
Wir starten mit K 1 2und notieren rekursiv: K 2 K 1 2.
Der Summand 2 l ¨asst sich so deuten: Der zweite Kreisbogen hat 2 Schnittpunkte mit dem vorher vorhandenen Kreisbogen. Die 2 Schnittpunkte zerlegen ihn in 2 Kreisbo- genst ¨ucke, und jedes Kreisbogenst ¨uck zerlegt ein vorher vorhandenes Fl ¨achenst ¨uck in 2Fl ¨achenst ¨ucke.
Dieses Argument l ¨asst sich verallgemeinern: Zeichnet man zu n 1 bereits vorhan- denen Kreislinien eine n-te Kreislinie, so liegen auf ihr 2 n 1 Schnittpunkte. Diese zerlegen die neue Kreislinie in2 n 1 Bogenst ¨ucke, und jedes Bogenst ¨uck zerlegt ein vorher vorhandenes Fl ¨achenst ¨uck in zwei Fl ¨achenst ¨ucke. Daher k ¨onnen wir notieren:
K 1 2
K 2 K 1 2 K 3 K 2 4
...
K n K n 1 2 n 1
Nun l ¨asst sich die Rekursion nach dem Reißverschlussverfahren aufl ¨osen: Die linken Seiten und die rechten Seiten werden addiert, und anschließend werden die gemein- samen Summanden (oben unterstrichen) auf beiden Seiten subtrahiert. ¨Ubrig bleibt:
K n 2 2 4 . . . 2 n 1 2 n n 1
In der Tat istK 4 14; die urspr ¨ungliche Vermutung war falsch!
Die folgende ¨Ubersicht zeigt in einer Zusammenstellung die illustrierten und noch wei- tere heuristische Methoden. Auch hinter scheinbar mathematischen ¨Uberschriften, wie etwa vollst ¨andige Induktion oder Schubfachprinzip, verbergen sich bei entsprechenden Aufgaben in der Anwendung oft massive heuristische Schwierigkeiten.
Heuristische Methoden Untersuchen von Spezialf ¨allen Voraussetzungsexplikation
Verallgemeinerung (auch von Ideen) Situationsanalyse
Methode des unendlichen Abstiegs Umzentrieren
Zielanalyse
Parit ¨atsausnutzung Invarianzprinzip Symmetrieprinzip Symmetriezerst ¨orung R ¨uckw ¨artsarbeiten
systematisches Probieren synthetische Methode Schubfachprinzip Extremalprinzip Rekursion Superposition
Schema zweier geometrischer ¨Orter Descartessches Schema
(vollst ¨andige) Induktion Aufspalten in Teilprobleme Zustandsbewertung
Abschließend ein kleiner Test, mit dem Ihr feststellen k ¨onnt, ob Ihr schon die Kunst des Probleml ¨osens beherrscht:
In einem Quadrat wird eine Ecke mit dem Mittelpunkt einer der nicht durch diese Ecke gehenden Seiten verbunden. Dieses Verfahren wird in der glei- chen Drehrichtung bei den anderen drei Ecken fortgesetzt, und es entsteht die folgende Figur:
Welchen Anteil an der Fl ¨ache des ¨außeren Quadrats besitzt die Fl ¨ache des inneren, schraffiert gezeichneten Quadrats?
Im Geiste sehe ich schon Einige, denen gleich der Satz des Pythagoras eingefallen ist, nach dem Rechenstift greifen. Die n ¨achste Figur zeigt jedoch etwas von der Kunst des Probleml ¨osens. Sie erkl ¨art sich selbst und zeigt, was Kreativit ¨at beim Probleml ¨osen bedeutet:
1 5
Und nun ran ans Probleml ¨osen! Denn wie sagte Konfuzius (chinesischer Philosoph, ca. 551 – ca. 479 v. Chr.):
Sage es mir – Ich werde es vergessen!
Erkl ¨are es mir – Ich werde mich erinnern!
Lass es mich selber tun – Ich werde verstehen!
Aufgaben
F ¨ ur die Knobler
Aufgabe 1. Kreuzzahlenr ¨atsel
1 2
3 4
5
6 7
9 8
waagerecht
w1 14. Primzahl w3 2 w1
w4 gr ¨oßtm ¨ogliche Zahl w5 w3 1
w6 kleinstm ¨ogliche Primzahl w8 Quadratzahl
w9 w4 w3 1
senkrecht s1 s2 3
s2 Quadratzahl s3 w3 1 s4 2 s2 3 s5 eine4.Potenz s6 w9 1
s7 s2 w8 (H.F.) Aufgabe 2. Knobelei
Setze in jedes leere Feld der Figur ei- ne Ziffer ein, so dass sich drei richtige Subtraktionen und drei richtige Addi-
tionen ergeben. (H.F.)
4 - 7 = 8
+ + +
2 - =
= = =
- 1 = 6
Aufgabe 3. Rekonstruktion einer Aufgabe
Mathis findet in einem alten Rechenbuch im Kapitel
¨uber die Multiplikation zweier nat ¨urlicher Zahlen ein offensichtlich ausgerechnetes Beispiel, bei dem aller- dings die M ¨ause ein Mittelst ¨uck herausgeknabbert ha- ben, so dass von der Aufgabe nur ein Fragment ¨ubrig geblieben ist:
4314 635978 4
Mathis gelingt es, die Multiplikation f ¨ur den kleinst m ¨oglichen weggeknabberten zweiten Faktor zu rekon- struieren. Kannst du das auch? (H.F.) Aufgabe 4. Macht Lotto reich?
Ersetze in der Frage
MACHT LOTTO REICH ?
die Buchstaben durch Ziffern derart, dass eine richtige Gleichung entsteht. (WJB)
Logeleien
Aufgabe 5. Zwillings-Logelei
Zwei Kinder sind am gleichen Tag und am gleichen Ort geboren und haben auch denselben Vater und dieselbe Mutter. Dennoch sind sie keine Zwillinge. Wie ist das
m ¨oglich? (gefunden: H.F.)
Aufgabe 6. Lauter L ¨ugner
Alf, Bob und Chris kicken auf einer Wiese herum, als einer der drei eine Brieftasche mit einer Menge Geld im Grase findet. Der Verlierer der Brieftasche kommt vorbei:
”Habt ihr eine Brieftasche gefunden?“ fragt er. Fast gleichzeitig behauptet jeder der drei Jungen:
”Ich habe sie gefunden.“
Darauf Alf:
”Bob l ¨ugt.“ Bob sagt:
”Chris l ¨ugt.“ Chris behauptet:
”Alf und Bob l ¨ugen.“
Wer erh ¨alt zu Recht den Finderlohn? (H.F.)
Aufgabe 7. Eine Smullyan-Logelei
Der Mathematiker und Logiker Raymond Smullyan (geb. 1919) ist weithin bekannt als außerordentlich produktiver Konstrukteur von logischen R ¨asteln. In seinem Buch
”The Lady or the Tiger?“ (deutsch:
”Dame oder Tiger?“, Fischer-Taschenbuch-Verlag 1987) hat er ein Dutzend sch ¨oner und zum Teil recht schwieriger Logeleien mitgeteilt, in de- nen ein K ¨onig und sein Gefangener, eine Dame und ein Tiger die Hauptrollen spielen.
Wir geben hier eine Kostprobe von Smullyans wunderbaren logischen R ¨atseln (Text etwas ge ¨andert).
Ein K ¨onig hat einen Gefangenen. Er bietet ihm eine Chance f ¨ur die Frei- heit. Der Gefangene erf ¨ahrt n ¨amlich wahrheitsgem ¨aß: In jedem von drei verschlossenen nebeneinander liegenden R ¨aumen befindet sich entweder eine Dame oder ein Tiger. An den T ¨uren dieser drei R ¨aume befinden sich Schilder:
I
In diesem Raum ist ein Tiger.
II
In diesem Raum ist eine Dame.
III In Raum II ist ein Tiger.
Dem Gefangenen wird die Freiheit versprochen, wenn er eine T ¨ur ¨offnet und dahinter keinen Tiger vorfindet. Er fragt:
”Stimmt der Text auf den Schil- dern?“ Der K ¨onig antwortet wahrheitsgem ¨aß:
”H ¨ochstens eines der drei Schilder ist richtig.“
Welche T ¨ur muss der Gefangene ¨offnen? (gefunden: H.F.)
Auf dem Pr ¨ ufstand
Aufgabe 8. Vielfache von11 ? Mathis behauptet:
F ¨ur jede ungerade nat ¨urliche Zahln 1gilt:5n 6n ist ein Vielfaches von11.
Ist das wahr? (H.F.)
Aufgabe 9. Wahr oder falsch?
Es sei peine beliebige Primzahl 5. Dann gilt stets:
p2 23ist ein Vielfaches von 24. (H.F.)
Aufgabe 10. Noch einmal: Wahr oder falsch?
3332 1 ist ein Vielfaches von64. (H.F.)
Aufgabe 11. Zum dritten: Wahr oder falsch?
1 3 2
1
2
3
2 (E.K.)
Aufgabe 12. Zum vierten: Wahr oder falsch?
F ¨urn 0, 1, 2, 3, . . .gilt:
3n 1 ist ein Vielfaches von2;
4n 2 ist ein Vielfaches von3;
5n 3 ist ein Vielfaches von4;
6n 4 ist ein Vielfaches von5;
7n 5 ist ein Vielfaches von6– und nach dem gleichen Muster beliebig weiter. (H.F.) Aufgabe 13. Ein letztes Mal: Wahr oder falsch?
Die Differenz34m 24nergibt niemals eine Primzahl – egal, wie die nat ¨urlichen Zahlen
nundmgew ¨ahlt werden. (WJB)
Zahlenakrobatik
Aufgabe 14. Das Lexikon und Mathis’ Alter
Mathis liest in einem vielb ¨andigen Lexikon mit insgesamt13815fortlaufend nummerier- ten Seiten den dreiseitigen Artikel ¨uber Algebra.
Er bemerkt: Wenn man zum Produkt der drei Seitenzahlen des Algebra-Artikels die ganzzahlige Anzahl seiner Lebensjahre addiert, dann ergibt sich genau die Gesamt- Seitenzahl des Lexikons.
Wie alt ist Mathis? (H.F.)
Aufgabe 15. Besondere Zahlen
W ¨ahle aus den Zahlen 76, 176, 276,376, . . . eine beliebige Zahl aus.
Diese Zahl sei zgenannt.
Begr ¨unde, dass z2 zbei jeder Wahl von zein Vielfaches von100ist. (H.F.)
Aufgabe 16. Primzahl-Zwillinge
Primzahlzwillinge sind Primzahlpaare p, q, bei denen p und q den Abstand 2 haben;
Beispiel: p 11,q 13.
Untersuche, ob f ¨ur Primzahlzwillinge p, qmit5 p qgilt:
a) Der (arithmetische) Mittelwert von pundqist ein Vielfaches von 6.
b) p q 1ist ein Vielfaches von 36. (H.F.)
Aufgabe 17. Ungew ¨ohnliche Vielfache von 63
Gibt es Vielfache von 63, deren Ziffern s ¨amtlich gleich sind? (H.F.)
Aufgabe 18. Acht Zahlen
Zwischen den acht nat ¨urlichen Zahlen a,b,c,d,e, f,g,h, alle 1, bestehen die Glei- chungen ad bc, c f ed,eh g f. Zeige, dass dann auch gilt:ah bg. (H.F.) Aufgabe 19. Ein bemerkenswertes Gleichungssystem
72 1 3 5 7 9 11 13
73 43 45 47 49 51 53 55 74 337 339 341 343 345 347 349
a) Kann man dieses Gleichungssystem entsprechend fortsetzen mit 75, 76, . . . und wenn ja, wir und warum?
b) Kann man nach dem obigen Muster auch Gleichungssysteme f ¨ur jede Potenzmn, m 1,n 1angeben und beliebig weit fortsetzen? (H.F.) Aufgabe 20. Vier gerade Zahlen
Die Summe der dritten Potenzen von vier aufeinander folgenden geraden Zahlen ist 1202.
a) Was ist die Summe der vier Zahlen?
b) Was ist die Summe ihrer Quadrate? (WJB nach Arthur K ¨opps) Aufgabe 21. Geldgeschenke
a) Onkel Willy schenkt seinen Neffen Nico, Leon, Emil und Anton 1000 –– . Nico,C der ¨Alteste, soll 10 % mehr davon bekommen als der Zweit ¨alteste, Leon, dieser wieder10 % mehr als Emil und Emil 10% mehr als Anton, der J ¨ungste. Wie viel bekommt jeder?
b) Tante Inge schenkt ebenfalls 1000 –– . Sie bestimmt, dass LeonC 10 % weniger bekommen soll als Nico, Emil10% weniger als Leon und schließlich Anton 10% weniger als Leon. Wie wird dieses Geschenk verteilt? (WJB)
Aufgabe 22. Der Schulausflug
Die vier achten Klassen mit 27, 26, 24 und 28 Sch ¨ulern machen gemeinsam mit den vier neunten Klassen mit27,26,24 und25Sch ¨ulern und den drei zehnten Klassen mit 22, 22 und 24 Sch ¨ulern einen Ausflug in die Bundeshauptstadt. Einem der betreuen- den Lehrer f ¨allt auf, dass die f ¨unf Busse unterschiedlich gef ¨ullt sind. Er gibt deshalb nacheinander fogenden Anweisungen:
Aus dem ersten Bus steigen 8 Sch ¨uler um in den dritten und 2 in den zweiten, aus dem zweiten Bus steigen 2 in den ersten und 2 in den vierten, aus dem dritten Bus 3 in den f ¨unften und 3 in den zweiten, aus dem vierten Bus 2 in den f ¨unften und 2 in den ersten und schließlich aus dem f ¨unften Bus3in den dritten und4in den vierten.
Obwohl der Lehrer kein Mathematiker ist, hat er damit sein Ziel erreicht: Die Busse sind jetzt gleich stark besetzt.
Wie viele Sch ¨uler waren anfangs in jedem der Busse? (WJB)
Aufgabe 23. Wahlergebnisse
Bei der letzten Bundestagswahl erhielt in der Gemeinde Obermelchingen die FDP 12 Stimmen mehr als die Linke, die Gr ¨unen doppelt so viele Stimmen wie die beiden zusammen und CDU und SPD zusammen viermal so viel wie die Gr ¨unen, davon die SPD 38.
Die Quersumme der Quersumme der Gesamtzahl der abgegebenen Stimmen ist7.
Die Wahlbeteiligung lag zwischen 60und70 %.
a) Wie hoch war die Wahlbeteiligung, wenn 1023B ¨urger wahlberechtigt waren?
b) Was ist die Verteilung der Stimmen auf die Parteien? (WJB)
Im Reich der Geometrie
Aufgabe 24. Dreieckshalbierung
Gegeben sei ein Dreieck ABC und ein Punkt P auf ei- ner seiner Seiten. Konstruiere den Punkt X auf der P ge- gen ¨uber liegenden Seite so, dass das PX die Fl ¨ache des
Dreiecks ABChalbiert. (H.F.)
A B
C
X P
Aufgabe 25. Besondere Kreise
Ein Punkt mit den Koordinaten x,y liegt auf ei- nem Kreis K um 0 mit dem Radius r, wenn gilt:
x2 y2 r2 (Satz von Pythagoras).
Umgekehrt stellt die Gleichung x2 y2 r2 die Gesamtheit aller Punkte auf dem KreisK dar.
Begr ¨unde: Auf einem Kreis mit der Gleichung x2 y2 z, z 0 ganzzahlig, liegen niemals Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, wenn gilt:
z 3, 7, 11, 15, 19, . . . . (H.F.)
0 K
r x
y x y
Aufgabe 26. W ¨urfelherstellung
Aus dem Material zweier W ¨urfel soll ein neuer W ¨urfel vom Volumen 1hergestellt wer- den.
Bei welchen Kantenl ¨angen der beiden W ¨urfel ist das m ¨oglich? (H.F.) Aufgabe 27. Eine Aufgabe aus alter Zeit
Es seiPein beliebiger Punkt im Innern eines beliebigen Dreiecks ABC.
Gibt es dann eine zwei Seiten von ABC verbindende Strecke
durch Pso, dassP der Mittelpunkt dieser Strecke ist? (H.F.) A B C
P
Aufgabe 28. Rechteckszerlegung
Zeige durch Nachrechnen und mit Hilfe einer Zeichnung: Im Rechteck ist das Quadrat des UmfangsU gr ¨oßer als das Achtfache der Fl ¨ache F. (WJB)
Zu guter Letzt
Aufgabe 29. Der G ¨uterzug im Tunnel
Ein Lokf ¨uhrer f ¨ahrt einen 200 m langen G ¨uterzug. Das ist ein mitunter ziemlich langweiliger Job. Als er vor sich mal wieder den 100 m langen Tunnel sieht, ¨uberlegt er sich, wie lange es eigentlich dauert, bis er mit dem Zug in voller L ¨ange den Tunnel durchfahren hat, wenn er seine Geschwindigkeit von 36 km/h beibeh ¨alt.
Aufgabe 30. Polynome
Wie muss man bw ¨ahlen, damit die Polynome
f x x2 x 2 und g x 2x3 2 b x2 b 4 x 2b
die gleichen Nullstellen haben? (WJB)
Aufgabe 31. Das DIN-A-System
Das DIN-A-System f ¨ur Papier ist folgendermaßen aufgebaut: DIN-A0 ist 1 m2, das Verh ¨altnis der Seiten ist 2 : 1. Hieraus entsteht DIN-A1 durch Halbieren der l ¨angeren Seite. Diese Verfahren wird wiederholt; halbiert man nun die l ¨angere Seite von DIN-A1, so ergibt sich DIN-A2 usw.
a) Zeige, dass das Verh ¨altnis
”l ¨angere Seite : k ¨urzere Seite“ f ¨ur jedes DIN-A-Format gleich 2 : 1 ist.
b) Wie oft muss man halbieren, bis die Fl ¨ache kleiner ist als 1 cm2 (1 mm2); d.h.
welches DIN-A-Format ist das?
c) Ein Stapel von500Blatt Papier ist4 cmdick.
Wie dick wird ein Stapel, wenn man ein DIN-A0-Blatt in DIN-A4 zerlegt und die Einzelst ¨ucke dann aufeinander legt? Wie dick wird er in den F ¨allen des Teils b)?
Hierbei darfst Du die N ¨aherung 210 1000 verwenden.
d) Wie oft muss man mindestens schneiden, um ein DIN-A0-Blatt in DIN-A4-Bl ¨atter zu zerlegen, wenn man zwar nie Bl ¨atter aufeinander legen und gleichzeitig durch- schneiden, daf ¨ur aber um die Ecke schneiden darf, allerdings kreuzungsfrei?
(WJB) Aufgabe 32. Spielerei
Ricarda und Manuel haben sehr viele M ¨unzen gesammelt.
Ricarda schl ¨agt vor:
”Wir legen immer abwechselnd eine M ¨unze auf den Tisch. Wer zuerst keine mehr legen kann, hat verloren.“ Manuel sagt großz ¨ugig:
”Fang’ Du an!“ Hat er damit die M ¨oglichkeit aus der Hand gegeben, sicher zu ge-
winnen? (WJB)
(Vorausgesetzt sei, dass der Tisch rechteckig ist, die M ¨unzen ganz auf dem Tisch lie- gen m ¨ussen und keine M ¨unze ganz oder teilweise auf andere M ¨unzen gelegt wird.)
L ¨ osungen der Aufgaben
F ¨ ur die Knobler
Aufgabe 1. Kreuzzahlenr ¨atsel
Waagerecht:w1 43,w3 86, w4 99,w5 85, w6 11, w8 25,w9 14 Senkrecht: s1 46,s2 49,s3 87,s4 95,s5 81, s6 15, s7 74
Aufgabe 2. Knobelei
Wir setzen zun ¨achst Buchstaben in die leeren Felder.
2. Spalte:
C7 H P Q1 H 4, C 9, also 2. Spalte: 97 4 101
4 A B - C 7 = D E 8
+ + +
F G 2 - H = J K
= = =
L M N - P Q 1 = S 6 T
2. Zeile: F G2 4 J K K 8, J 9, also 2. Zeile:102 4 98 1. Spalte L 5; 3. Spalte T 6
3. Zeile:5M N 101 S6 6 S 4, also 3. Zeile:567 101 466
1. Spalte: 465 102 567, 1. Zeile:465 97 368, 3. Spalte: 368 98 466 Aufgabe 3. Rekonstruktion einer Aufgabe
Die urspr ¨ungliche Gleichung sei F G H mitF 635978, H 4314.
1. Gkann nicht einziffrig sein.
Denn sonst w ¨are G 4und F 4m ¨usste die Einerziffer 2haben.
2. Sei Gzweiziffrig,G 4zundzeine Ziffer.
Wegen F 4z 4kannznur 3oder 8sein.
Aus F 43 78 43 54 folgt F 43 H; aus F 48 78 48 44 folgt ebenfalls F 43 H. Also istG nicht zweiziffrig.
3. Sei nun Gdreiziffrig,G 4yzmit Zifferny,zund z 3oder z 8wegen 2.
F ¨urz 3 ist mitH 14 10 4:
F 4y3 78 y3 700y 80y 210 24 80y 34 10 4 8y 3 1 y 1 odery 6.
AberF 413 914 H und F 463 814 H z 3.
F ¨urz 8 ist mitH 10 4
F 4y8 78 y8 700y 80y 560 64 80y 24 10 4 8y 2 1, was unm ¨oglich ist.
Insgesamt folgt:Gkann nicht dreiziffrig sein.
Aber 3. hat auch gezeigt, dassz 3 undy 1oder y 6sein muss.
4. Nun sei Gvierziffrig,G 4xy3.
Falls y 1ist, ergibt sich f ¨ur x 7 eine L ¨osung, n ¨amlich 635978 4713 2997364314.
Falls y 6 ist, ergibt sich f ¨ur kein x,x 0, 1, 2, . . . , 9 eine L ¨osung. Daher muss jede weitere Zahl G,G 4713, die zu einer L ¨osung der Aufgabe f ¨uhrt, mindestens f ¨unfziffrig sein. Also ist die angegebene L ¨osung f ¨urG 4713die kleinst m ¨ogliche.
Aufgabe 4. Macht Lotto reich?
Die Text-Gleichung hat folgende L ¨osungen:
09761 25115 34876, 09541 73113 82654, 51082 46226 97308, 76302 18228 94530, 62935 08558 71493, 57486 32662 90148, 70596 13663 84259, 54137 26776 80913, 40357 28778 69135, 43908 12882 56790.
Logeleien
Aufgabe 5. Zwillings-Logelei 1. L ¨osung:
Es handelt sich um zwei Kinder eines Drillings.
2. L ¨osung:
Der Begriff
”gleicher Tag“ muss nicht
”derselbe Tag“ bedeuten. So k ¨onnen die beiden Kinder am gleichen Tag, z.B. an einem Dienstag geboren sein; aber der erste Dienstag war im Januar oder Februar w ¨ahrend der zweite Dienstag z.B. im Dezember war.
Aufgabe 6. Lauter L ¨ugner?
1. M ¨oglichkeit: Alf sagt die Wahrheit Bob l ¨ugt Chris sagt die Wahrheit.
Aber Chris’ Aussage
”Alf und Bob l ¨ugen.“ muss falsch sein, da vorausgesetzt ist, dass Alf die Wahrheit sagt.
Die 1. M ¨oglichkeit scheidet also aus.
2. M ¨oglichkeit: Alf l ¨ugt Bob sagt die Wahrheit Chris l ¨ugt und somit ist seine Aus- sage, dass Alf und Bob beide l ¨ugen, offensichtlich falsch; d.h. Alf oder Bob sagt die Wahrheit. Alf l ¨ugt aber nach Voraussetzung. Folglich sagt Bob als einziger die Wahr- heit – er erh ¨alt den Finderlohn.
Aufgabe 7. Eine Smullyan-Logelei
II und III widersprechen sich; das heißt: Entweder ist II wahr und dann ist III falsch oder aber II ist falsch und dann ist III wahr – immerhin ist eine der Aussagen auf II und III wahr. Da nach des K ¨onigs Feststellung h ¨ochstens ein Schild richtig ist, kommen daf ¨ur nur II oder III in Frage, keines wegs aber I. Somit ist I falsch – und im Raum I befindet sich kein Tiger. Der Gefangene sollte also die T ¨ur I w ¨ahlen.
Auf dem Pr ¨ ufstand
Aufgabe 8. Vielfache von11 ?
Es gilt an bn a b an 1 an 2b1 an 3b2 . . . a1bn 2 bn 1 . Mit dieser Formel erh ¨alt man f ¨ur a 5,b 6und ungerades n:
5n 6n 5n 6 n 5 6 5n 1 . . . 11 5n 1 . . . und daher gilt die Behauptung.
