D ie L¨osung des ungest¨orten Problems ist wohl bekannt; wir f¨uhren die dimensionslose Koordinate:

UNIVERSIT¨ AT LEIPZIG, ITP

Quantenmechanik II, WS2009/2010 Ubungsblatt 5 ¨ : Musterl¨osungen

Aufgabe 13

D ie L¨osung des ungest¨orten Problems ist wohl bekannt; wir f¨uhren die dimensionslose Koordinate:

˜

x = αx, α ² =

√ mk

~ und finden

H ₀ = ~ ω(a ^∗ a + 1/2), x ˜ = a + a ^∗

√ 2 mit ω = p

k/m. Im folgenden werden die ungest¨orten Energieeigenfunktionen mit | n i bezeichnet.

D ie St¨orung ist durch eine eifache Funktion von ˜ x gegeben, und l¨asst sich durch die Vernichtungs- /Erzeugungs-Operatoren ausdr¨ucken:

H ^′ = b x ˜ ² 2α ² = b

4α ² (a + a ^∗ ) ² .

Die erste Korrektur (linear in dem St¨orungsparameter, z.B. b) ist gegeben durch bψ 1 =

∞

X

n=1

| n i ( | n i , H ^′ | 0 i )

~ ω(0 − n) = − b √ 2 4k · 2 | 2 i

wegen ( | n i , aa ^∗ | 0 i ) = 0 f¨ur n > 1, und α ² ~ ω = k. Damit ist die Grundzustandswellenfunktion im ersten Ordnung gegeben durch

| ˜0 i = | 0 i − b √ 2 8k | 2 i .

Diese Funktion ist auch normiert ¹ bis auf O( _k ^b

). Unter Verwendung der expliziten Form der Funktionen

| n i

| 0 i = r α

√ π exp

− α ² x ² 2

(1)

| 1 i = r α

2 √ π 2αx exp

− α ² x ² 2

(2)

√ 2 | 2 i = r α

√ π (2α ² x ² − 1) exp

− α ² x ² 2

(3) (4)

1

Die Korrektur zur Normierung ist vom zweiten Ordnung in b.

wird ein Vergleich mit der exakten Form der gest¨orten Grundzustandswellenfunktion, | ˜0 i , m¨oglich.

Z u diesem Zweck betrachten wir die St¨orung als ein Teil des harmonischen Potential. Die neue ˜ α ist offensichtlich gegeben durch

˜ α ² =

p 2m(k + b)

~ = α ² · (1 + b/k) ^1/2 .

Die exakte Grundzustandswellenfuntion hat die gleiche Form wie | 0 i , nun mit α → α: ˜

| ˜0 i ^ex = r α

√ π (1 + b/k) ^1/8 exp

− α ² x ²

2 (1 + b/k) ^1/2

. Wegen

(1 + κ) ^1/8 e ⁻

^(1+κ)

≈ e ⁻

h 1 − κ

8 (2α ² x ² − 1) i

+ O(κ ² ) erhalten wir

| ˜0 i ^ex = r α

√ π exp

− α ² x ²

2 1 − b

8k 2α ² x ² − 1

+ O( _k ^b

), was mit der gefundenen Form von | ˜0 i ubereinstimmt. ¨

Aufgabe 14

Der ungest¨orte Hamiltonoperator, H 0 = _2m ^p

, mit den Dirichlet-Randbedingungen ψ( − a/2) = 0 = ψ(a/2) besitzt die Eigenfunktionen

| k i = r 2

a cos kπx

a

, f¨ur k = 2n + 1, (5)

| k i = r 2

a sin kπx

a

, f¨ur k = 2n, (6)

(n ∈ N ), zu den Eigenwerten

E k = π ² ~ ² k ² 2ma ² .

Ein homogenes elektrisches Feld, das in der (positiven) x-Richtung ausgerichtet ist, wird durch das Po- tential U = − E x beschrieben. Die potentielle Energie eines Elektrons (q = − e) in einem solchen Feld ist gegeben durch H ^′ = exE, wobei eE als ein kleines Parameter betrachtet wird.

Die gest¨orte Grundzustandswellenfunktion, korrekt bis zur ersten Ordnung in eE (Korrektur zur Nor- mierung wird vom Ordnung (eE) ² ), ist gegeben durch

| ˜1 i = | 1 i +

∞

X

k=2

a k | k i

mit a k = 0 f¨ur ungerade ² k, und a k = ( | k i , H ^′ | 1 i )

E 1 − E k

= eE

π

~

2ma

(1 − k ² ) ( | 1 i , x | k i ) = E · B 1 − k ²

Z π/2

−π/2

dy sin(2ny) y cos(y) = . . . ,

2

Zur Bestimmung von a

, f¨ur ungerade k ’s, wird eine ungerade Funktion ¨ uber einem symmetrischen Intervall integriert.

f¨ur k = 2n, mit

B = 4mea ³

~ ² π ⁴ . (E · B ist dimensionslos, wie es sein soll.) Man findet leicht ³

π ²

2a ( | 2n i , x | 1 i ) = Z π/2

−π/2

dy sin(2ny) y cos(y) = − 8( − 1) ⁿ n

(4n ² − 1) ² ≡ c _n , und damit

a 2n = +EB 8n( − ) ⁿ (4n ² − 1) ³ .

B ei der Berechnung des Erwartungswertes des Dipolmoments, ( | ˜1 i , − ex | ˜1 i ) beachten wir, dass die Matrixelemente | 2m i , ex | 2n i

verschwinden (wegen der Symmetrie x → − x), und erhalten:

| ˜1 i , ex | ˜1 i

= e

∞

X

n=1

a 2n | 2n i , x | 1 i

+ a 2n | 1 i , x | 2n i = e

∞

X

n=1

2a 2n | 2n i , x | 1 i

=

= −

∞

X

n=1

256eEBa π ²

n ²

(4n ² − 1) ⁵ , (7) (a _2n sowie | 1 i , x | 2n i

sind reell). Die elektrische Suszeptibilit¨at ist damit positiv (d.h. das Elektron, unter dem Einfluss der St¨orung, bevorzugt den Region niedriger potenziellen Energie). Die nur noch zum Auswerten bleibende Summe kann entweder durch den Beitrag von n = 1 approximiert werden,

n ²

(4n ² − 1) ⁵ | ⁿ⁼¹ = 1

243 ≈ 0.00411523 oder auch exakt bestimmt werden,

∞

X

n=1

n ²

(4n ² − 1) ⁵ = 15π ² − π ⁴

12288 ≈ 0.00412068.

Schließlich, in der ersten Ordnung der St¨orungstheorie, finden wir

| ˜1 i , − ex | ˜1 i

= Eme ² a ⁴

~ ² π ⁴

15 − π ² 12 .

3

Zum Beispiel via R

sin(2ny)y cos(y) = ∂

|

R

sin(2ny) sin(By) mit sin(Ay) sin(By) =

[cos(A − B) − cos(A + B)].

-1.0 -0.5 0.5 1.0 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

Abb.1. Grundzustandswellenfunktionen | ˜1 i f¨ur verschiedene elektrische Felder. Zu beachten ist, dass die Wellenfunktion bei E > 0 starker im Region niedriger potenziellen Energie (x < 0) lokalisiert ist.

Aufgabe 15

I m folgenden werden die Wellenfunktionen des ungest¨orten Problems mit ψ L bezeichnet (L = 0, 1, . . .).

Die ungest¨orte Grundzustandswellenfunktion sei mit ψ G , und seine (st¨orungstheoretische) Korrekturen mit ψ _G ⁿ (n = 1, . . .) bezeichnet. Per Annahme die gest¨orte (nicht normierte) Grundzustandswellenfunktion ψ ˜ G wird durch

ψ ˜ G = ψ G +

∞

X

n=1

λ ⁿ ψ ⁿ _G

gegeben, wobei die Korrekturen orthogonal zu ψ _G sein sollen ⁴ , (ψ _G , ψ _G ⁿ ) = 0. Die Grundzustandsenergie E ˜ _G wird auch in eine Potenzreihe in λ entwickelt,

E ˜ G = E G +

∞

X

n=1

λ ⁿ E _G ⁿ .

Zusammen mit der Notation H ^′ = λV h¨angen also ψ _G ⁿ , E _G ⁿ und V nicht von λ ab.

D ie allgemeine Formeln der zeitunabh¨angigen St¨orungstheorie eines nicht-entarteten Energieniveaus ψ G lauten:

ψ _G ⁿ = S V ψ _G ⁿ⁻¹ −

n−1

X

k=1

E _G ^k ψ _G ^n−k

!

(8) E _G ⁿ = ψ _G , V ψ _G ⁿ⁻¹

, (9)

wobei

S = P ⊥

E G − H 0

= X

L6=G

| ψ L ih ψ L | E G − E L

hier ist P ⊥ der Projektor auf den zu ψ ⁰ _G orthogonalen Raum. Speziell, im unseren Fall gibt es zwei un- gest¨orten Energieniveaus:

ψ G = 0 1

!

zur Energie E G = − 1

4

Die Korrektur parallel zu ψ

wird aus der Normierungsbedingung gewonnen.

ψ 1 = 1 0

!

zur Energie E 1 = 1

Die Berechnung der Korrekturen zu ψ G und E G erfolgt sukzessiv: ψ G → E _G ¹ → ψ _G ¹ → E _G ² → ψ ² _G → . . ..

Im unseren Fall gibt es nur die ψ ₁ “Richtung”, die orthogonal zu ψ _G ist; alle Korrekturen zu ψ _G m¨ussen also parallel zu ψ 1 sein. Mit V = σ 1 folgt

S = − 1

2 | ψ 1 ih ψ 1 | .

Man sieht leicht, dass alle ungeraden Energie-Korrekturen E _G ^2k+1 , und alle geraden Wellenfunktionkor- rekturen ψ _G ^2k m¨ussen verschwinden. F¨ur die nichtverschwindenden Korrekturen finden wir sukzessiv:

ψ _G ¹ = S[V ψ G ] = − 1

2 ψ 1 , (10)

E _G ² = (ψ G , V ψ ¹ _G ) = − 1

2 , (11)

ψ _G ³ = S

V ψ _G ² − E _G ² ψ _G ¹ − E _G ¹ ψ ² _G

= − SE _G ² ψ _G ¹ = 1

8 ψ 1 , (12)

E _G ⁴ = 1

8 . (13)

Kurz:

ψ ˜ G = ψ G +

− λ 2 + λ ³

8 + O(λ ⁵ )

ψ 1 , E ˜ G = − 1 − λ ²

2 + λ ⁴

8 + O(λ ⁶ ),

wobei die oben gefundene gest¨orte Wellenfunktion ˜ ψ G noch nicht normiert ist.

D as Problem l¨asst sich offensichtlich auch exakt l¨osen, wir finden E _ex = − √

1 + λ ² , ψ ex = ψ G − λ

1 + √

1 + λ ² ψ 1 .

Man sieht leicht, dass die St¨orungstheoretische Ergebnisse einfach Taylor-Entwicklungen der exakten L¨osungen sind, d.h. ψ ex = ˜ ψ G (die beiden Funktionen sind durch (ψ, ψ G ) = 1 normiert). Um die nor- merte Wellenfunktion ˜ Ψ G = Z ^1/2 (λ) ˜ ψ G zu bestimmen berechnen wir induktiv die Normierungs-Funktion Z (λ). Die Bedingung

Z(λ)

ψ ˜ G , ψ ˜ G

= 1 zusammen mit dem Ansatz Z = P ∞

k=0 z _n λ ⁿ , und z ₀ = 1, l¨asst die z _n ’s bestimmen. Bis auf (einschließlich) Glieder vom Ordnung λ ⁴ folgt die Relation

(1 + λz 1 + λ ² z 2 + λ ³ z 3 + λ ⁴ z 4 )

"

1 + − λ

2 + λ ³ 8

2 #

= 1

Wir finden sofort z ₁ = 0 = z ₃ ,

z 2 = − 1

4 z 4 = 3 16 , also

Z ^1/2 = 1 − λ ²

8 + 11λ ⁴

128 + O(λ ⁶ ).

Die normierte gest¨orte Wellenfunktion ist gegeben durch Ψ ˜ G ≈ Z ^1/2 ψ G + Z ^1/2

− λ 2 + λ ³

8

ψ 1 ≈

1 − λ ²

8 + 11λ ⁴ 128

ψ G +

− λ

2 + 3λ ³ 16

ψ 1

Die Hellmann-Feynman Formel, wegen der ¨ Aquivalenz von ˜ ψ G zu der exakten L¨osung ψ ex , wird auf dem Beispiel der exakten L¨osung ψ ex verifiziert. F¨ur exakte L¨osungen gilt

Z(λ) = (1 + E ) ²

λ ² + (1 + E ) ² , mit E = √ 1 + λ ² also

Ψ ex = 1

p λ ² + (1 + E ) ² [(1 + E )ψ G − λψ 1 ] . Wegen ^∂H _∂λ

= V finden wir ⁵

(Ψ ex , V Ψ ex ) = − 2λ(1 + E )

λ ² + (1 + E ) ² = − λ

E = ∂E ex

∂λ . also die Hellmann-Feynman Formel is erf¨ullt.

5

Beachte: 1 + λ

+ E = E (1 + E ).