Jahrgang 24 Heft 79 September 2004
MONOID
Mathematikblatt f ¨ur Mitdenker
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Eine mathematische Zeitschrift f ¨ur Sch ¨uler/innen und Lehrer/innen 1980 begr ¨undet von Martin Mettler;
seit 2001 herausgegeben vom Fachbereich Mathematik und Informatik
der Johannes Gutenberg-Universit ¨at Mainz am Rhein
Liebe Le( ¨o)serin, lieber Le( ¨o)ser!
Die NEUEN AUFGABEN warten auf L ¨osungen. Nur Mut, auch wenn du in Mathe keine
”Eins“ hast. Die Aufgaben sind so gestal- tet, dass du zur L ¨osung nicht unbedingt den Mathe-Stoff der Schule brauchst. Vielmehr wird das L ¨osen mancher Aufgabe viel mathematische Phantasie und selbstst ¨andiges Denken von dir fordern, aber auch Z ¨ahigkeit, Wille und Ausdauer.
Wichtig: Auch wer nur eine oder Teile einzelner Aufgaben l ¨osen kann, sollte teil- nehmen; der Gewinn eines Preises ist dennoch nicht ausgeschlossen.
F ¨ur Sch ¨uler/innen der Klassen 5-7 sind in erster Linie die
”Mathespielereien“ vorge- sehen; auch Sch ¨uler/innen der Klassen 8 und 9 d ¨urfen hier mitmachen, aber nur auf der Basis der halben Punktzahl. Denkt bei euren L ¨osungen daran, auch den L ¨osungsweg abzugeben!
Alle Sch ¨uler/innen, insbesondere aber jene der Klassen 8-13, k ¨onnen L ¨osungen (mit L ¨osungsweg!) zu den NEUEN AUFGABEN und zur
”Seite f ¨ur den Computer-Fan“
abgeben. (Beitr ¨age zu verschiedenen Rubriken bitte auf verschiedenen Bl ¨attern.) Abgabe-(Einsende-) Termin f ¨ur L ¨osungen ist der
30.11.2004.
(F ¨ur die Bearbeitung der
”mathematischen Entdeckungen“ und des Themas
”Wer forscht mit?“ habt ihr bis Ende des Schuljahres Zeit.)
Zuschriften bitte an folgende Anschrift:
Martin Mettler, Unterer Kurweg 29, D-67316 Carlsberg Tel.: 06356/8650; Fax: 06356/989780; e-Mail:
Im ELG Alzey k ¨onnen L ¨osungen und Zuschriften im MONOID-Kasten oder direkt an Herrn Kraft abgegeben werden, im KG Frankenthal direkt an Herrn K ¨opps.
Ferner gibt es in folgenden Orten/Schulen betreuende Lehrer, denen ihr eure L ¨osungen geben k ¨onnt: Herrn Ronellenfitsch im Leibniz-Gymnasium ¨Ostringen, Herrn Wit- tekindt in Mannheim, Herrn Jakob in der Lichtbergschule in Eiterfeld, Frau Lang- kamp im Gymnasium Marienberg in Neuss, Herrn Stapp in der Schule auf der Aue in M ¨unster, Herrn Kuntz im Wilhelm-Erb-Gymnasium Winnweiler und Herrn Meixner im Gymnasium Nonnenwerth.
Die Namen Aller, die richtige L ¨osungen eingereicht haben, werden im MONOID in der RUBRIK DER L ¨OSER und in der MONOID-Homepage im Internet erscheinen.
Wir bitten auch um neue Aufgaben, die du selbst erstellt hast, um sie in den Rubri- ken ”Mathespielereien“ und
”Neue Aufgaben“ zu ver ¨offentlichen. Diese Aufgaben sol- len aber nicht aus Lehrb ¨uchern oder Aufgabensammlungen entnommen sein, sondern deiner eigenen Phantasie entspringen. W ¨urde es dich nicht einmal reizen, eine Aufga- be zu stellen, deren L ¨osung vorerst nur du kennst?
Am Jahresende werden 20-25 Preise an die fleißigsten Mitarbeiter vergeben. Seit 1993 gibt es bei uns noch einen besonderen Preis:
Das Goldene M
Außer der Medaille mit dem goldenen M gibt es einen beacht- lichen Geldbetrag f ¨ur die beste Mitarbeit bei MONOID und bei anderen mathematischen Aktivit ¨aten, n ¨amlich:
L ¨osungen zu den NEUEN AUFGABEN und den MATHESPIE- LEREIEN, Beitr ¨age zur
”Seite f ¨ur den Computer-Fan“, Artikel schreiben, Erstellen von
”neuen Aufgaben“, Tippen von Texten f ¨ur den MONOID, Teilnahme an Wettbewerben, etc.
Und nun w ¨unschen wir euch Allen: Viel Erfolg bei eurer Mitarbeit! Die Redaktion
Eine Summenformel
F ¨ur Mathis (Sch ¨uler/innen der Kl. 5-7) von Martin Mettler
Wir stellen uns folgende Aufgaben: Zu bestimmen ist die Summe der ersten 5 (8; 19;
88;100) nat ¨urlichen Zahlen.
So lange die gegebene Zahl klein ist, schreibt man die Zahlen einfach auf und addiert
sie: 1 2 3 4 5 15; 1 2 3 4 5 6 7 8 36.
Doch bereits bei 19 wird das Aufschreiben der Zahlen langweilig. Daher schreibt man sie gar nicht alle auf. Man schreibt kurz 1 2 3 . . . 18 19 und l ¨asst den Leser verstehen, dass die drei P ¨unktchen f ¨ur die Zahlen von 4bis17 stehen; sozusagen als
”usw.“ Auch bei der Zahl88verwenden wir diese Schreibweise:
1 2 3 . . . 86 87 88
Wir geben also lediglich die ersten drei und die letzten drei Zahlen an, und es versteht sich von selbst, dass die P ¨unktchen f ¨ur alle nat ¨urlichen Zahlen von 4 bis 85 stehen.
Manchmal sind wir noch bequemer und geben nur die beiden ersten und die beiden letzten, oder nur die beiden ersten und die letzte an, doch stets ist die gleiche Zahl gemeint, n ¨amlich die Summe der ersten88 nat ¨urlichen Zahlen.
Diese Zahl will ich im Folgenden mitS88 bezeichnen (lies
”SIndex88“ oder kurz
”S88“):
S88 1 2 . . . 87 88 1 2 . . . 88
Nun haben wir die Summe verschiedenartig aufgeschrieben, aber wissen immer noch nicht, wie viel sie ausmacht.
Das Addieren all dieser88 Zahlen ist uns zu l ¨astig. Vielleicht finden wir einen k ¨urzeren Weg, vielleicht kann man die Summe nur anhand der Zahl 88 berechnen.
Euch ist vielleicht die Anekdote von dem kleinen Carl Friedrich Gauß (1777-1855) schon bekannt. – Ich erz ¨ahle sie noch mal: Als Gauß in der dritten Volksschulklas- se war, stellte eines Tages sein Lehrer als Stillbesch ¨aftigung die Aufgabe, alle Zahlen von 1bis100zu addieren, also S100 1 2 3 . . . 98 99 100zu finden.
Kaum hatte sich der Schulmeister einer anderen,
”wichtigeren“ Arbeit gewidmet, kam auch schon der kleine Gauß an sein Pult und sagte:
”Da ist sie.“ Der Lehrer fragte:
”Was denn?“
”Na die Summe!“ war die Antwort des kleinen Schlitzohrs. Der Lehrer machte sich nun lustig ¨uber ihn:
”Ach komm, in der kurzen Zeit konntest du ja nicht einmal die Zahlen alle aufschreiben, geschweige denn sie auch noch addieren.“ Der Junge blieb hartn ¨ackig:
”Ich brauch sie ja gar nicht alle aufschreiben. Gucken Sie mal!“
Der Lehrer schaute, und siehe da, der Bube hatte recht. Auf seiner Tafel hatte er mit dem Griffel die folgende Rechnung s ¨auberlich gekritzelt:
1 2 . . . 50 100 99 . . . 51
101 101 . . . 101 50 101 5050
Der kleine Junge wuchs heran und wurde einer der gr ¨oßten Mathematiker aller Zeiten.
An Hand dieses Beispiels k ¨onnen wir folgendermaßen eine allgemeine Formel f ¨ur die SummeSnder erstennnat ¨urlichen Zahlen aufstellen. Wir schreiben Sn zweimal unter- einander auf, zuerst von vorn nach hinten und dann von hinten nach vorn, und addieren
untereinander stehende Zahlen auf beiden Seiten der Gleichungen:
Sn 1 2 3 . . . n 2 n 1 n
Sn n n 1 n 2 . . . 3 2 1
2 Sn n 1 n 1 n 1 . . . n 1 n 1 n 1
Die Klammer n 1 erscheint n mal als Summand. Also ist 2 Sn n n 1 . Nun dividieren wir durch 2und erhalten:
Sn n n 1 2
Mit Hilfe dieser Formel kann man die Summen direkt berechnen, ohne alle Summan- den aufzuschreiben. Wir ¨uberpr ¨ufen dies an unseren Beispielen:
S5 5 6
2 15; S8 8 9
2 36und S100 100 101
2 50 101 5050.
Wir bestimmen auch S19 19 10 190und S88 44 89 3916.
Stehen Buchstaben in den Indizes, so erh ¨alt man weitere Formeln:
Sp 1 p 1 p 1 1
2
p 1 p 2
2 ;
Sk 1 k 1 k 1 1
2
k 1 k
2 usw.
Die Anwendungen der Grundformel 1 2 . . . n n n 1
2
sind zahlreich. So kann man sie z.B. gleich in diesem Heft in dem Beitrag ¨uber das D ¨urer-Quadrat anwenden, in dem noch weitere Summenformeln n ¨utzlich sind.
Uber Summen und das Symbol ¨
von Martin Mettler
(lies
”Sigma“) ist das große gedruckte S im Griechischen. In der Mathematik wird es als Symbol f ¨ur
”Summe“ verwendet. Auf den Seiten 3 und 4 haben wir eine Formel f ¨ur die Summe S 1 2 . . . n 1 n hergeleitet. Manchmal wollen wir die Summe nicht effektiv ausrechnen, sondern nur symbolisch angeben. Daf ¨ur verwendet man folgende Schreibweise:
1 2 . . . n 1 n
n
k 1
k
(lies: Summe aus k, wennkdie nat ¨urlichen Zahlen von1 bisndurchl ¨auft).
Mit dieser Vereinbarung ist:
n
k 1
2k 1 1 3 5 . . . 2n 3 2n 1 (1)
die Summe der ersten nungeraden nat ¨urlichen Zahlen;
n
k 1
k2 12 22 . . . n 1 2 n2 (2)
die Summe der Quadrate der erstennnat ¨urlichen Zahlen;
n 1
k 1
2k 2 4 . . . 2 n 2 2 n 1 (3)
die Summe der ersten n 1geraden nat ¨urlichen Zahlen;
n 1
k 1
n k k n 1 1 n 2 2 . . . 2 n 2 1 n 1 ; (4)
n
k 1
ak a1 a2 . . . an 1 an (5)
die Summe der ersten nGlieder der Folge a1,a2, . . . ,ak, . . . . Eigenschaften von
a)
n
k 1
c n c. In der Tat gilt
n
k 1
c c c . . . c
n-mal
n cf ¨ur jede konstante Zahlc.
b)
n
k 1
ak bk
n
k 1
ak
n
k 1
bk. In der Tat ist
n
k 1
ak
bk a1
b1 a2
b2 . . . an
bn
a1 a2 . . . an
b1 b2 . . . bn n
k 1
ak
n
k 1
bk.
c)
n
k 1
c ak c
n
k 1
ak. In der Tat gilt
n
k 1
c ak c a1 c a2 . . . c an c a1 a2 . . . an c
n
k 1
ak.
d)
n
k 1
ak m
k 1
ak n
k m 1
ak, wobei m n ist.
Unter Anwendung dieser Eigenschaften und einiger Grundformeln f ¨ur Summen kann man schon eine beachtliche Familie von Summen berechnen.
(1)
n
k 1 2k 1 2 n
k 1k n
k 11 2 n
n 1
2 n 1 n2 n n n2
Hier haben wir uns auf die Grundformel
n
k 1k 1 2 . . . n n
n 1
2 gest ¨utzt und nacheinander Eigenschaft b), c) und a) angewendet. Als Ergebnis haben wir einen kleinen mathematischen Satz erhalten: Die Summe der erstennungeraden Zahlen ist stets eine Quadratzahl.
(2) Zur Berechnung der Summe
n
k 1k2 verfahren wir wie folgt:
Laut binomischer Formel gilt: k 1 3 k3 3k2 3k 1. Also gilt n
k 1 k 1 3
n
k 1k3 3 n
k 1k2 3 n
k 1k n
k 11. Daraus folgt, indem auf beiden Seiten noch 1 addiert wird:
n
k 1k3 n 1 3 n
k 1k3 3 n
k 1k2 3 n
n 1
2 n 1. Nun subtra- hieren wir von beiden Seiten n
k 1k3, l ¨osen nach n
k 1k2auf und erhalten schließlich:
n
k 1k2 n
n 12n 1 6
(3) Die Berechnung der Summe
n 1
k 1 2k ist einfach:
n 1
k 1
2k 2
n 1
k 1
k 2 n 1 n 1 1
2 n 1 n
(4) Auf die Summe in (4) stoßen wir, wenn wir alle Zahlen aus der folgenden Tabelle spaltenweise addieren:
1 2 . . . n 2 n 1
1 2 . . . n 2
... ...
1 2
n 11 1 n 2 2 . . . 2 n 2 1 n 1
n 1
k 1
n k k n
n 1
k 1
k
n 1
k 1
k2 n2 n 1
2
n 1 n 2n 1 6
n n 1 n 1
6
n n2 1 6 Mit einem entsprechenden
”Trick“ wie bei der Herleitung der Summenformel f ¨ur n
k 1k2 k ¨onnt Ihr selbst die folgende Formel beweisen: n
k 1k3 n2
n 1 2
4
n
k 1k
2
, indem Ihr dabei von n
k 1 k 1 4 ausgeht. Anwendungen dieser Formel findet Ihr z.B. in dem Beitrag ¨uber das D ¨urer-Quadrat oder bei der L ¨osung der Mathespielerei
”Rechtecke im Rechteck“.
H ¨attest Du es gewusst?
Was ist das Napol ´eonische Dreieck?
Von Hartwig Fuchs
Napol ´eon Bonaparte hatte ein Steckenpferd, das man bei ihm wohl nicht erwartet h ¨atte:
Er war ein begeisterter Amateur-Mathematiker mit besonderer Vorliebe f ¨ur die Geome- trie. Er war auch nicht ganz erfolglos mit seinem Hobby – so verdanken wir ihm die Entdeckung des sp ¨ater nach ihm benannten Napol ´eonischen Dreiecks.
C Q
δ δ
δ B δ
δA P
R
δ
Aufgabe
ABC sein ein beliebiges Dreieck. Konstruiere die Punkte P, Q und R so, dass die mit δ bezeichneten Winkel 30 betragen.
Zeige:
Das Dreieck PQR ist gleichseitig.
Napol ´eon B.
L ¨osung
Wenn man A an PR, B an PQ, C an QR spiegelt, dann erh ¨alt man nacheinander die Punkte A,B undC. Diese scheinen in einem Punkt zusammen zu fallen. In der nach- folgenden, absichtlich nicht korrekten Skizze zeichnen wir A, B, C getrennt und set- zen
ARC wR,
BPA wP und
CQB wQ. Nun zeigen wir, dass tats ¨achlich gilt: (1)wP wQ wR 0 und somit A B C .
δ δ C Q
B δ δ
δ P A δ
β γ
R A
B C x
y z
z
y
α x
In dem drachenf ¨ormigen Viereck APARgilt x x 2α 4δ 360 ; mit4δ 120 folgt:
(2)x x 240 2α
Ganz entsprechend gilt in den Vierecken BQBP undCRCQ:
(3) y y 240 2β (4)z z 240 2γ
Aus (2), (3) und (4) erh ¨alt man mit α β γ 180
(5)x y z x y z 360
Im Sechseck APBQCR gilt f ¨ur die Innenwinkel: x y z x y z 6δ α β γ wP wQ wR 720 . Mit (5) und mit6δ 180 folgt daraus:wP wQ wR 0 . DawP,wQ,wR 0 sind, folgt (1).
Wir zeigen nun:
(6)
QPR RQP PRQ 60 . Wegen
BPA x y 180 2δ 120 folgt
QPR 12x 12y 60 . Ebenso ist
CQB y z 120 , so dass
RQP 12y 12z 60 ist, und
ARC z x 120 , so dass PRQ 12z 12x 60 gilt.
Aus (6) folgt: Das Napol ´eonische Dreieck PQR hat drei gleich große Innenwinkel; es ist also gleichseitig.
Das D ¨ urer-Quadrat
von Hartwig Fuchs
Albrecht D ¨urer (1471-1528) gilt als einer der gr ¨oßten deutschen Maler. Viel weniger bekannt ist, dass er auch zu den bedeutendsten Mathematikern seiner Zeit zu z ¨ahlen ist.
Er hat sich systematischer, kompetenter und auch sch ¨opferischer mit Mathematik be- fasst als seine Zeitgenossen – wof ¨ur seine mathematisch relevanten B ¨ucher
”Geo- metria. Unterweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt“ (1528),
”Etliche underricht, zu befestigung der Stett, Schlosz, und flecken“ (1527),
”Vier buecher von menschlicher proportion“ (1528) zeugen. In diesen Werken finden sich die fr ¨uhesten Gedanken ¨uber geometrische Transformationen und kombinatorische Geometrie, D ¨u- rers n ¨aherungsweise Konstruktion regelm ¨aßiger Vielecke, seine sehr genaue appro- ximative Winkeldreiteilung, seine Untersuchung der Muschelkurve (Conchoide), An- wendungen der Proportionenlehre. Dieser ausgewiesene Mathematiker – er lebte am Beginn der Neuzeit – sah, dass die Mathematik weithin noch gefangen war in den Fes- seln mittelalterlicher scholastischer Denkgewohnheiten, die einher gehen mit pedanti- scher Verschulung aller Wissenschaften und die der philosophischen, realit ¨atsfernen Spekulation1 und spitzfindigen Diskussion den Vorrang geben vor Beobachtung und Experiment. Seine Erkenntnis vom Zustand der Mathematik hat D ¨urer festgehalten in dem ber ¨uhmten Kupferstich von 1514, den er Melencolia nannte.
Der Titel bedarf einer Erl ¨auterung: Zu Beginn des 16. Jahrhunderts bedeutete
”Melen- colia“ nicht nur wie heute
”schwerm ¨utige Traurigkeit“ (Melancholie), sondern dar ¨uber hinaus auch noch eine Form von emotionaler Gleichg ¨ultigkeit und dadurch bedingter Handlungsunf ¨ahigkeit, welche man bei demjenigen antrifft, der sich nur in Gedanken- welten bewegt, die keinen Bezug zur Realit ¨at haben, die sie also auch nicht beeinflus- sen oder ver ¨andern k ¨onnen.
Die große von einigen mathematischen Objekten umgebene, in dumpfes Br ¨uten ver- sunkene Engelgestalt des Kupferstichs symbolisiert diesen Typ des sterilen mathema- tischen Denkers: Des Engels Blick ist ins Leere gerichtet: Er sieht weder die Natur im Hintergrund noch den kleinen gefl ¨ugelten Knaben (der vielleicht die K ¨unste darstellt) und schon gar nicht die achtlos am Boden verstreuten n ¨utzlichen Werkzeuge – und inzwischen bekommt der arme, bis auf die Knochen abgemagerte Hund zu seinen F ¨ußen nichts zu fressen!
Aber auff ¨allig und un ¨ubersehbar hat D ¨urer ¨uber den Engel ein Zahlenquadrat platziert;
gewissermaßen hat er es
”an die große Glocke“ geh ¨angt, als wolle er damit sagen:
D ¨urer-Quadrat
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
1Beispiel einer ernsthaft diskutierten scholastischen Fragestellung: Wie viele Engel k¨onnen auf einer Nadelspitze tanzen?
Seht her, hier habt ihr ein wunderbares Beispiel f ¨ur ein Produkt unfruchtbaren mathe- matischen Denkens, das meine Zeitgenossen f ¨ur ein Glanzst ¨uck und einen H ¨ohepunkt der Mathematik mit magischen Qualit ¨aten halten, w ¨ahrend es doch nur eine Zahlen- spielerei von keinerlei praktischem Nutzen ist.
Tats ¨achlich ist das
”unn ¨utze“ D ¨urer-Quadrat schon sehr bemerkenswert – besitzt es doch unerwartet viele sch ¨one und ¨uberraschende Eigenschaften.
Das D ¨urer-Quadrat enth ¨alt die vollst ¨andige Folge der ganzen Zahlen von 1 bis 16.
Bildet man die Summe der vier Zahlen in jeder der vier Zeilen, in jeder der vier Spalten und in jeder der zwei Diagonalen des D ¨urer-Quadrats, dann erh ¨alt man in allen zehn F ¨allen die Zahl34.
Die Summe der vier Zahlen in jedem der f ¨unf Teilquadrate 16 35 10 2 13
11 8 10 11
6 7 9 6
4 15 7 12
14 1 des D ¨urer-Quadrats ist jeweils 34.
Die vier Zahlen in jedem der folgenden vier horizontalen, der vier vertikalen und der zwei schr ¨agen Zweierpaare
16 3 14 1 5 10
7 12 11 8
9 6 2 13
4 15 16
5 12 1
3 10 7
14
2 6 11 15
13 9 8 4 3
5 12
14
2 9 8
15
16 13
4 1
sowie die vier Zahlen in den Eckpunkten des D ¨urer-Quadrats haben jeweils die Summe34.
Auch die vier Zahlen der Zweierpaare 16 3
9 6 2 13
7 12 5 10
4 15 11 8
14 1 und 16 2
5 11 3 13
10 8 9 7
4 14 6 12
15 1 ergeben jeweils die Summe 34.
Die zw ¨olf Zahlen am Rand des D ¨urer-Quadrats haben die Summe3 34.
Der Clou ist, dass die Zahlen so angeordnet sind, dass in den beiden mittleren Feldern der letzten Zeile die Jahreszahl der Entstehung des Bildes auftaucht, n ¨amlich1514.
