Jahrgang 25 Heft 81 M ¨arz 2005
MONOID
Mathematikblatt f ¨ur Mitdenker
Eine mathematische Zeitschrift f ¨ur Sch ¨uler/innen und Lehrer/innen 1980 begr ¨undet von Martin Mettler;
seit 2001 herausgegeben vom Fachbereich Mathematik und Informatik
der Johannes Gutenberg-Universit ¨at Mainz am Rhein
Liebe Le( ¨o)serin, lieber Le( ¨o)ser!
Die NEUEN AUFGABEN warten auf L ¨osungen. Nur Mut, auch wenn du in Mathe keine
”Eins“ hast. Die Aufgaben sind so gestal- tet, dass du zur L ¨osung nicht unbedingt den Mathe-Stoff der Schule brauchst. Vielmehr wird das L ¨osen mancher Aufgabe viel mathematische Phantasie und selbstst ¨andiges Denken von dir fordern, aber auch Z ¨ahigkeit, Wille und Ausdauer.
Wichtig: Auch wer nur eine oder Teile einzelner Aufgaben l ¨osen kann, sollte teil- nehmen; der Gewinn eines Preises ist dennoch nicht ausgeschlossen.
F ¨ur Sch ¨uler/innen der Klassen 5-7 sind in erster Linie die
”Mathespielereien“ vorge- sehen; auch Sch ¨uler/innen der Klassen 8 und 9 d ¨urfen hier mitmachen, aber nur auf der Basis der halben Punktzahl. Denkt bei euren L ¨osungen daran, auch den L ¨osungsweg abzugeben!
Alle Sch ¨uler/innen, insbesondere aber jene der Klassen 8-13, k ¨onnen L ¨osungen (mit L ¨osungsweg!) zu den NEUEN AUFGABEN und zur
”Seite f ¨ur den Computer-Fan“
abgeben. (Beitr ¨age zu verschiedenen Rubriken bitte auf verschiedenen Bl ¨attern.) Abgabe-(Einsende-) Termin f ¨ur L ¨osungen ist der
15.05.2005.
Zuschriften bitte an folgende Anschrift:
Johannes Gutenberg–Universit ¨at Institut f ¨ur Mathematik
MONOID-Redaktion D-55099 Mainz
Tel.: 06131/3926107 Fax: 06131/3924389
e-Mail:
Im ELG Alzey k ¨onnen L ¨osungen und Zuschriften im MONOID-Kasten oder direkt an Herrn Kraft abgegeben werden, im KG Frankenthal direkt an Herrn K ¨opps.
Ferner gibt es in folgenden Orten/Schulen betreuende Lehrer, denen ihr eure L ¨osungen geben k ¨onnt: Herrn Ronellenfitsch im Leibniz-Gymnasium ¨Ostringen, Herrn Wit- tekindt in Mannheim, Herrn Jakob in der Lichtbergschule in Eiterfeld, Frau Lang- kamp im Gymnasium Marienberg in Neuss, Herrn Stapp in der Schule auf der Aue in M ¨unster, Herrn Kuntz im Wilhelm-Erb-Gymnasium Winnweiler, Herrn Meixner im Gymnasium Nonnenwerth, Herrn Mattheis im Frauenlob-Gymnasium Mainz und Herrn Dillmann im Gymnasium Eltville.
Die Namen Aller, die richtige L ¨osungen eingereicht haben, werden im MONOID in der RUBRIK DER L ¨OSER und in der MONOID-Homepage im Internet erscheinen.
Wir bitten auch um neue Aufgaben, die du selbst erstellt hast, um sie in den Rubri- ken ”Mathespielereien“ und
”Neue Aufgaben“ zu ver ¨offentlichen. Diese Aufgaben sol- len aber nicht aus Lehrb ¨uchern oder Aufgabensammlungen entnommen sein, sondern deiner eigenen Phantasie entspringen. W ¨urde es dich nicht einmal reizen, eine Aufga- be zu stellen, deren L ¨osung vorerst nur du kennst?
Am Jahresende werden 20-25 Preise an die fleißigsten Mitarbeiter vergeben. Seit 1993 gibt es bei uns noch einen besonderen Preis:
Das Goldene M
Außer der Medaille mit dem goldenen M gibt es einen beacht- lichen Geldbetrag f ¨ur die beste Mitarbeit bei MONOID und bei anderen mathematischen Aktivit ¨aten, n ¨amlich:
L ¨osungen zu den NEUEN AUFGABEN und den MATHESPIE- LEREIEN, Beitr ¨age zur
”Seite f ¨ur den Computer-Fan“, Artikel schreiben, Erstellen von
”neuen Aufgaben“, Tippen von Texten f ¨ur den MONOID, Teilnahme an Wettbewerben, etc.
Und nun w ¨unschen wir euch Allen: Viel Erfolg bei eurer Mitarbeit! Die Redaktion
25 Jahre MONOID
1981 – 2005
Mit dem vorliegenden MONOID-Heft Nr. 81 beginnt der 25. MONOID-Jahrgang - 20 Jahrg ¨ange hat von 1981 an bis Ende 2000 der MONOID-Begr ¨under Martin Mettler herausgegeben, 4 Jahrg ¨ange seither der Fachbereich Mathematik und Informatik der Johannes Gutenberg-Universit ¨at in Mainz. Auch der Jubil ¨aumsjahrgang wird wieder 4 Hefte umfassen (Versand im M ¨arz, Juni, September und Dezember). Dazu soll es ein Sonderheft mit vielen Knobelaufgaben geben. Die feierliche Preisverleihung wird in diesem Jahr am Ort der Entstehung von MONOID, n ¨amlich am Karolinen-Gymnasium in Frankenthal, statt finden. Wir hoffen sehr, dass Herr Mettler, der 1981 aus einem schulinternen Mathematikwettbewerb
”das Mathematikblatt f ¨ur Mitdenker“ entwickelte und der leider zur Zeit schwer erkrankt ist, bis zum Jubil ¨aumsfest am 26. November 2005 wieder so weit hergestellt ist, dass er an der MONOID-Feier teilnehmen kann.
Wir w ¨unschen ihm eine baldige Genesung!
Infolge seiner Erkrankung konnte Herr Mettler nicht mehr wie in den vielen vergange- nen Jahren die Korrektur der eingesandten L ¨osungen zu den Heften 79 und 80 selbst durchf ¨uhren. Im Januar haben wir die an ihn gesandten L ¨osungen zu Heft 79 innerhalb der Redaktion aufgeteilt; die neue Rubrik der L ¨oser(innen) findet ihr am Ende dieses Heftes und auch wieder im Internet. Mit den L ¨osungen zu Heft 80 werden wir eben- so verfahren. Bitte schickt k ¨unftig Eure L ¨osungen zu den
”Mathespielereien“ und den”Neuen Aufgaben“ an die Uni Mainz und zwar mit folgender Adresse:
Johannes Gutenberg-Universit ¨at Institut f ¨ ur Mathematik
MONOID-Redaktion D-55099 Mainz
Ab 1. April 2005 bilden die bisherigen Fachbereiche 17 (Mathematik und Informatik) und 18 (Physik) einen neuen Fachbereich 08 (Physik, Mathematik und Informatik) mit f ¨unf Instituten, darunter das Institut f ¨ur Mathematik, in dem die MONOID-Redaktion angesiedelt ist.
Das Jahr 2005 ist in mehrfacher Hinsicht ein Gedenkjahr: Am 23. Februar j ¨ahrte sich der Todestag von CARL FRIEDRICH GAUSS zum 150. Mal; am 18. April ist die 50.
Wiederkehr des Todestages von ALBERT EINSTEIN, der vor 100 Jahren die Rela- tivit ¨atstheorie begr ¨undete, und vor 200 Jahren starb am 9. Mai FRIEDRICH SCHIL-
LER. An den großen Mathematiker, Astronomen und Naturwissenschaftler Gauß er- innert David E. Rowe, Ph.D., Professor f ¨ur Geschichte der Mathematik und Natur- wissenschaften am Institut f ¨ur Mathematik in Mainz, in seinem Beitrag
”Bilder, die an C. F. Gauß erinnern“. Die Hauptwirkungsst ¨atte von Gauß war die Universit ¨atsstadt G ¨ottingen, an deren Universit ¨at jetzt der ehemalige MONOIDaner Dr. Valentin Blo- mer als Juniorprofessor forscht und lehrt. In diesem Heft geht er in seinem zweiten Beitragsteil der Frage nach:
”Wie groß ist eigentlich unendlich?“
Dr. Volker Priebe, schon seit vielen Jahren freier Mitarbeiter an MONOID, und Dr. Ste- fan Kermer, Mathematiker bei der Allianz Leben in Stuttgart, beide ebenfalls ehema- lige MONOIDaner, haben in Silvia Binder, Lehrerin f ¨ur Mathematik und Franz ¨osisch
am Rechberg-Gymnasium in Donzdorf bei G ¨oppingen, Unterst ¨utzung bei der Zusam- menstellung von L ¨osungsvorschl ¨agen zu den Aufgaben der ersten Runde des Bundes- wettbewerbs Mathematik 2005 gefunden.
Christina Fl ¨orsch (15) aus der MSS 11 am Max-Slevogt-Gymnasium in Landau be- legte 2004 mit ihrer Arbeit
”Verwandte der pythagoreischen Tripel“ den 2. Platz beim Wettbewerb
”Sch ¨uler experimentieren“ auf Landesebene. Pythagoreische Zahlentripel waren schon oft Gegenstand von MONOID-Beitr ¨agen und -Aufgaben; nun lernen wir durch Christina deren Verwandte kennen.
Ich w ¨unsche viele Anregungen bei der Lekt ¨ure der Beitr ¨age dieses Heftes und viel Spaß beim Knobeln!
Ekkehard Kroll
Wie groß ist eigentlich unendlich? (II)
von Valentin Blomer
Das letzte Mal haben wir versucht, uns eine pr ¨azise Vorstellung davon zu machen, wann zwei beliebige Mengen gleichgroß sind. Sicherlich sind die Mengen 1, 2, 3 und
2, 3, 4 gleichgroß, aber sind es zum Beispiel auch die Menge aller Primzahlen und die Menge aller Quadratzahlen? Wir haben uns auf die Definition geeinigt, dass wir zwei Mengen A,Bgenau dann gleichgroß oder gleichm ¨achtig nennen wollen, wenn es eine umkehrbar eindeutige Abbildung f: A Bgibt. Dabei heißt umkehrbar eindeutig, dass jedes b B genau ein Urbild a Abesitzt, das ihm unter der Abbildung f zuge- ordnet wird. Diese Definition kann gleichermaßen f ¨ur endliche und unendliche Mengen angewendet werden. Wir wollen außerdem eine Menge abz ¨ahlbar nennen, wenn sie gleichm ¨achtig zur Menge IN der nat ¨urlichen Zahlen ist. Wir hatten bereits gesehen, dass sowohl echte Teilmengen als auch echte Obermengen von IN gleichm ¨achtig zu IN sein k ¨onnen. Das ist eine besondere Eigenschaft unendlicher Mengen, an die man sich erst ein wenig gew ¨ohnen muss. Zum Beispiel sind die Menge IN0, die Menge aller geraden nat ¨urlichen Zahlen und die Menge aller Primzahlen allesamt abz ¨ahlbar, wie wir letztes Mal festgestellt haben. Eine sch ¨one Geschichte, bekannt als Hilberts Hotel, macht dies besonders anschaulich.
In einem etwas abgelegenen Feriengebiet an einer K ¨uste mit feinstem Sandstrand und strahlendem Sonnenschein w ¨ahrend der gesamten Sommermonate steht ein großes Hotel. Die K ¨uche ist ausgezeichnet, die Zimmer sind gem ¨utlich und das Personal ist freundlich, wenn auch manchmal etwas geistesabwesend. Sie sind n ¨amlich alle, vom Portier bis zum Barpianisten, Mathematiker, und der Hotelmanager ist niemand anders als der große G ¨ottinger Mathematiker David Hilbert selbst. Das Hotel ist wirklich sehr groß, es hat n ¨amlich unendlich viele Zimmer, genau genommen abz ¨ahlbar unendlich viele Zimmer, durchnummeriert mit1,2,3, . . . Da die Gegend als Urlaubsgebiet ausge- sprochen reizvoll ist, ist das Hotel h ¨aufig im Sommer ausgebucht. Eines Abends, das Hotel war bis zum letzten Zimmer belegt, kam ein Gast vorbei, der auch gerne noch ein Zimmer gehabt h ¨atte. Kein Problem in Hilberts Hotel. Der Portier l ¨achelte freundlich und bat den Gast aus Zimmer 1, in Zimmer 2 zu wechseln, den Gast aus Zimmer 2, ausnahmsweise in Zimmer3zu ¨ubernachten und so fort. Jeder wechselte in das Nach- barzimmer, und der eben angekommene Gast bekam das Zimmer mit der Nummer 1.
Etwas sp ¨ater kamen 5weitere G ¨aste. Der Portier z ¨ogerte nicht eine Sekunde und bat jeden Gast, 5 Zimmer weiterzuziehen, schließlich seien alle Zimmer gleichsch ¨on, und so konnte er in seinem ausgebuchten Hotel die Ank ¨ommlinge noch unterbringen. Kurz vor Mitternacht fuhr ein unendlich großer Bus auf dem Parkplatz vor mit abz ¨ahlbar unendlich vielen G ¨asten, die alle gerne in Hilberts Hotel ¨ubernachten wollten. Auch dies bereitete unserem unschlagbaren Portier keine Schwierigkeiten. Was er wohl tat?
Er bat den Gast aus Zimmer n, ins Zimmer 2n umzuziehen. Auf diese Weise wurden unendlich viele Zimmer frei, n ¨amlich alle mit ungerader Nummer, in denen die Bus- insassen ¨ubernachten konnten. Es w ¨are ¨ubrigens auch m ¨oglich gewesen, abz ¨ahlbar unendlich viele Busse mit jeweils abz ¨ahlbar unendlich vielen G ¨asten unterzubringen, aber das sei nur am Rande bemerkt.
Gibt es eigentlich ¨uberhaupt unendliche Mengen, wird man sich vielleicht nach so viel Abz ¨ahlbarkeit fragen, die man nicht abz ¨ahlen kann? Solche Mengen m ¨ussten nach obiger Definition so beschaffen sein, dass es keine umkehrbar eindeutige Abbildung von ihnen auf IN existiert; gewissermaßen m ¨ussen sogenannte ¨uberabz ¨ahlbare Men- gen so viele Elemente enthalten, dass man ihre Elemente nicht durchnummerieren kann, weil man – ganz gleich, wie man es anstellt – nie alle Elemente erreicht. Schwer vorstellbar. Cantor hat gezeigt, dass die reellen Zahlen im Intervall 0, 1 eine solche
¨uberabz ¨ahlbare Menge bilden. Dazu ist er folgendermaßen vorgegangen: Wir nehmen an, es g ¨abe doch eine umkehrbar eindeutige Abbildung f: IR0, 1 IN. Wir schrei- ben die reellen Zahlen aus 0, 1 nun nach ihrem Bild geordnet in Dezimaldarstellung untereinander:
x1 0,x11x12x13x14. . . 1 x2 0,x21x22x23x24. . . 2 x3 0,x31x32x33x34. . . 3
. . .
Dabei ist xi j die j-te Nachkommastelle der Zahl xi, die auf i abgebildet wird. Sollten zuf ¨alligerweise reelle Zahlen auftauchen, deren Dezimaldarstellung abbricht wie etwa 0, 325, so h ¨angen wir einfach unendlich viele Nullen hinten an. Nun betrachten wir eine reelle Zahl y 0,y1y2y3. . ., von deren Ziffern wir nur voraussetzen, dass yj f ¨ur alle j eine andere Ziffer als xj j ist. Welche Ziffer genau, ist uns egal, sie muss nur anders als xj j sein. Nun kommt die entscheidende ¨Uberlegung: Die Zahl y kommt in unserer Abz ¨ahlung nicht vor! Warum? Kann es nicht zum Beispiel die Zahl x3 sein, die auf die 3abgebildet wird? Nein, denn die dritte Nachkommastelle von x3ist x33, aber die dritte Nachkommastelle von y ist y3, und wir haben ja extra y3 von x33 verschieden gew ¨ahlt.
Kann y vielleicht die Zahl x9 sein? Nein, denn die neunte Nachkommastelle von x9 ist x99, und die ist verschieden vony9, der neunten Nachkommastelle vony. Allgemein un- terscheidet sich yvon xi mindestens in deri-ten Nachkommastelle, und zwar f ¨ur jedes beliebige i, also taucht yin obiger Abz ¨ahlung tats ¨achlich nicht auf. Insbesondere ist f
¨uberhaupt keine Abbildung vonIR0, 1 nachIN, denn unserer Zahl ywird ja gar kein Bild zugeordnet. Unsere Annahme, es g ¨abe eine umkehrbar eindeutige Abbildung, ist also zu einem Widerspruch gef ¨uhrt. Die reellen Zahlen im Intervall 0, 1 und erst recht alle reellen Zahlen sind also ¨uberabz ¨ahlbar. Ganz sch ¨on trickreich.
Nur so am Rande: Es gibt eine ganze Menge Leute, die Cantors Trick nicht verstan- den haben, und immer wieder aufs Neue
”beweisen“, die reellen Zahlen w ¨aren doch abz ¨ahlbar. Solche Post landet zuhauf bei Universit ¨aten, betitelt als neuer Durchbruch in der Mengenlehre, und man weiß dann nie so recht, was man damit machen soll. . .
H ¨attest Du es gewusst?
Welcher mathematische Satz wurde
” Die Eselsbr ¨ ucke“ genannt?
Von Hartwig Fuchs
Euklid
Von Euklid (um 300 v.Chr.), dem Mathematiker mit der gr ¨oßten Langzeitwirkung, ist uns
¨uber viele Generationen von Kopisten sein wichtigstes Werk, die 13 B ¨ucher
”Elemente“,
¨uberliefert. Diese
”Elemente“ nehmen eine Sonderstellung in der mathematischen Lite- ratur ein. Sie sind die einflussreichste mathematische Schrift, die jemals geschrieben wurde: Mindestens 2000 Jahre lang bildeten sie das Standardlehrbuch der Geome- trie – zun ¨achst f ¨ur die Griechen und R ¨omer, dann f ¨ur die Araber und schließlich vom fr ¨uhen Mittelalter bis weit in die Neuzeit hinein f ¨ur die Europ ¨aer – und auch heute noch beruhen viele geometrischen Schulb ¨ucher indirekt darauf.
Die 13 B ¨ucher der
”Elemente“ haben kein Vorwort, keine Einleitung; es werden keine Ziele und auch keine Methoden zur Erreichung dieser Ziele genannt; kein Kommentar erleichtert das Verst ¨andnis der behandelten Materie.
Das Buch I etwa beginnt abrupt mit 23 Definitionen; unmittelbar daran schließen sich 10 Axiome oder Postulate an. Und dann geht’s los: Es folgt ein Stakkato von 48 S ¨atzen samt ihren Beweisen.
Und der Satz 5 ist Die Eselsbr ¨ucke
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Grundlinie einander gleich.
Beweis (in Grundz ¨ugen dem des Euklid nachgebildet – vgl. Figur 1)
F E A
D
B w5 C
w1
w2
w4
w6
w3
Figur 1
1. ABC sei ein gleichschenkliges Dreieck mit AB AC .
2. Man verl ¨angere ABnachDund AC nachF, wobei CFBD sei.
3. Auf CFtrage man vonCaus die Strecke CE mit CE BD ab.
4. Man zeichne DC undBE.
5. Die Dreiecke ABE und ADCsind kongruent (SWS).
6. w1 w2, BE CD .
7. Die Dreiecke BECundBDC sind kongruent (SWS).
8. w3 w4 w5 w6, w4 w6. 9. w3 w5.
10. Im Dreieck ABCsind die Basiswinkel gleich groß.
Die Mathematiker des Mittelalters nannten diesen Satz 5 aus Euklids
”Elementen“, Buch I, samt Beweis und zugeh ¨origer Figur 1
”Die Eselsbr ¨ucke“ – in ihrer lateinischen Gelehrtensprache
”pons asinorum“.
Vielleicht r ¨uhrt diese Benennung daher, dass sie in der Figur 1 eine gewisse ¨Ahnlichkeit mit einer Br ¨ucke sahen – vgl. Figur 2 – und sie verglichen die Lage eines Scholaren mit der eines Esels:
So wie ein Esel lernen muss, dass er nur ¨uber die zerbrechlich wirkende Holzkonstruk- tion auf die andere Seite der Schlucht gelangen kann, so soll der Scholar am Beweis
des Satzes 5 exemplarisch erfahren, dass das euklidische Vorgehen – mag es noch so undurchsichtig und schwierig erscheinen – letztlich doch zum Ziel f ¨uhrt.
Figur 2
Es gibt eine andere Erkl ¨arung f ¨ur die
”Eselsbr ¨ucke“, die wir sogar vorziehen.
Der grundlegende logische Lehrstoff an den mittelalterlichen Universit ¨aten war die von Aristoteles (384-322 v.Chr.) herr ¨uhrende
”Syllogistik“, eine Theorie des logischen Schließens, die man so charakterisieren kann: Aus zwei quantifizierten Aussagen als Voraussetzung wird nach bestimmten Regeln eine dritte quantifizierte Aussage als Fol- gerung hergeleitet.
Beispiel: Einige Burgen sind Ruinen.
Alle Ruinen sind interessant. Einige Burgen sind interessant.
Die mittelalterlichen Syllogistiker unterschieden vier Formen quantifizierter Aussagen:
affirmativ negativ
(bejahend) (verneinend)
universal alle S sind P (SaP) kein S ist P (SeP)
(umfassend) Bsp.: Bsp.:
Alle Schafe sind Pflanzenfresser. Kein Schaf ist ein Pinguin.
partikular einige S sind P (SiP) einige S sind nicht P (SoP)
(vereinzelnd) Bsp.: Bsp.:
Einige Seefahrer sind Piraten. Einige Stadtr ¨ate sind nicht popul ¨ar.
Wenn man sich die vier Typen quantifizierter Aussagen paarweise anschaut, dann er- kennt man:
SaP und SoP sowie SiP und SeP stehen in kontradiktorischem Gegensatz zueinan- der: Genau eine Aussage eines Paares ist wahr, die andere ist falsch. SaP und SeP bilden ebenfalls einen Gegensatz, der aber nur kontr ¨ar ist: Die Aussagen k ¨onnen nicht beide wahr, wohl aber beide falsch sein.
Man kann diese Zusammenh ¨ange ¨ubersichtlich so darstellen:
SaP kontr¨ar
Figur 3
kontradiktorisch
SoP SeP
SiP
kontra
diktorisch negativ affirmativ
– und da ist sie wieder, die
”Eselsbr ¨ucke“ aus Figur 1. Man weiß, welche Rolle die Figur in der mittelalterlichen Logik spielte: Sie galt als unentbehrliche Ged ¨achtnisst ¨utze (pons asi- norum = Br ¨ucke der Esel) f ¨ur die Scholaren.
Daher liegt es nahe, dass man auch die Figur 1 als eine Ged ¨achtnishilfe (
”Eselsbr ¨ucke“) f ¨ur den Beweis von Euklids Satz 5 betrachtete. Wieso aber hatte der Satz 5 (samt Beweis und Figur 1) in der mittelalterlichen Geometrie einen so hohen Stellenwert, dass man ihn als einzigen von den 48 S ¨atzen aus Euklids 1. Buch der
”Elemente“ mit
dem einpr ¨agsamen Etikett
”Die Eselsbr ¨ucke“ versah? Ist es denkbar, dass er f ¨ur die Geometrie eine ¨ahnlich wichtige Rolle als Lernhilfe spielte wie die Figur 3 in der Logik?
Die Bedeutung des Satzes 5 und seine Hervorhebung als
”Die Eselsbr ¨ucke“ r ¨uhren wahrscheinlich daher, dass der f ¨ur Satz 5 gegebene Beweis das Grundmuster f ¨ur Eu- klids Verfahren enth ¨alt, nach welchem er durchg ¨angig die S ¨atze der
”Elemente“ – dem wichtigsten Geometrie(lehr)buch des Mittelalters – herleitet. Die damaligen Mathema- tiker waren daher wohl der Meinung: Wenn ein Scholar ¨uber
”Die Eselsbr ¨ucke“ gehen kann (d.h. wenn er den Beweis von Satz 5 vollkommen versteht), dann wird er auch die ¨ubrigen Beweise in den
”Elementen“ nachvollziehen k ¨onnen. Denn Euklids Bewei- se sind im wesentlichen alle nach dem gleichen, einem sogenannten synthetischen Grundmuster,
”gestrickt“:
Einzelne geometrische Elemente werden so zu einer logischen Sequenz (Herleitungs- kette) zusammengef ¨ugt, dass diese in dem zu beweisenden Satz endet.
Bei jedem synthetischen Beweis sind vorweg zwei entscheidende Fragen zu kl ¨aren – und das macht die Sache problematisch – n ¨amlich: Welche mathematischen Bausteine ben ¨otigt man? Und nach welchem Bauplan setzt man sie zusammen zu einem g ¨ultigen Beweis? Bevor man die Antworten findet, wird man viele Irrwege gegangen und in Sackgassen gelandet sein.
Das Gegenst ¨uck des synthetischen ist der analytische Beweis, der heute in den mei- sten Schulb ¨uchern gelehrt wird: Er vereinfacht oder zerlegt den zu beweisenden Satz in Aussagen, die dem Satz logisch vorausgehen und die leichter zu beweisen oder so- gar bereits bewiesen sind. Analytische Beweise wird man daher meist eher finden als synthetische.
Wir veranschaulichen die beiden Beweistypen an der gleichen Behauptung
(0) 7
5 3
5 3 8.
Synthetischer Beweis:
– bei jedem Schritt sollte man fragen: Wie kommt er darauf?
Es gilt
(1) 9 15 16
(2) 9 4 15 4 16 4
(3) 7 15 4 8
Nun folgen zwei typische synthetische Schritte
(4) 15 4 12
8 2 15 12
5 3 2 und
(5)2
5 3
5 3 Aus (4) und (5) folgt f ¨ur (3):
(6)7
5 3 2
5 3
5 3 8.
K ¨urzt man in (6) mit 5 3, so folgt die Behauptung (0).
Analytischer Beweis:
– die beiden ersten Schritte (1) und (3) stellen eine Vereinfachung von (0) dar.
Es gilt (1)
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3 2
5 3 8 2 15
2 4 15
An Stelle von (0) ist also zu zeigen:
(2) 7 4 15 8, also (3) 3 15 4.
Wegen 3 9, 4 16 ist (3) die bekannte Tatsache
(4) 9 15 16.
Damit ist (0) auf (4) zur ¨uckgef ¨uhrt, und (0) ist bewiesen, weil (4) wahr ist.
Mathematische Lese-Ecke – Lesetipps zur Mathematik
Malba Tahan:
”Beremis, der Zahlenk ¨unstler“
Der Bagdali Hank-Tade-Maiah trifft in der W ¨uste am Wegesrand auf Beremis und nimmt ihn mit nach Bagdad. Unterwegs entpuppt sich Beremis als ein Rechengenie.
Zus ¨atzlich verf ¨ugt er ¨uber eine umfassende mathematische Bildung und wird ein ums andere Mal in Anspruch genommen, um reale mathematische Probleme, wie Erbtei- lungen oder Schuldberechnungen durchzuf ¨uhren. In Bagdad wird Beremis – immer begleitet von seinem neuen Freund – dann nicht nur angetragen, der Tochter des Scheichs Iezid-Abdul-Hamid Mathematikunterricht zu erteilen, sondern er entgeht nur knapp einem Mordanschlag und wird außerdem zu einem Wettstreit mit Mathematik- gelehrten am Hofe des Kalifen herausgefordert.
Beim Lesen der Geschichte von
”Beremis, der Zahlenk ¨unstler“ f ¨uhlt man sich so, als ob man mit Kara Ben Nemsi durchs wilde Kurdistan reitet, oder Scheherezade bei einer Geschichte aus 1001 Nacht zuh ¨ort.
Geschrieben wurde das Buch von dem Professor f ¨ur Architektur Malba Tahan, der an der Universidade do Brasil h ¨ohere Mathematik lehrte. Er erg ¨anzte die Geschichte um einen kurzen Abriss ¨uber die arabische Mathematik des Mittelalters, Erl ¨auterungen zu den Rechenaufgaben sowie ein Glossar verwendeter Begriffe und biographische Anmerkungen zu genannten historischen Personen.
Moritz Maurer, Sch ¨uler der 8. Klasse des Eleonoren-Gymnasiums in Worms, der auch die Besprechung anregte, beurteilte das Buch folgendermaßen:
”Erz ¨ahlt wird die Ge- schichte von Beremis, der mit seinen mathematischen Kenntnissen nicht nur schwieri- ge Aufgaben l ¨ost, sondern auch interessante Geschichten erz ¨ahlt und zeigt, wie sch ¨on Mathematik ist. Ein lehrreiches, aber auch vergn ¨ugliches und interessantes Buch.“
Fazit: Durch die sehr ansprechende Rahmenhandlung ist
”Beremis, der Zahlenk ¨unstler“
ein ¨uberaus ansprechendes Buch, in welchem man gerne schm ¨okert. Sowohl die in die Geschichte eingebauten mathematischen Problemstellungen als auch deren L ¨osungen sind leicht nachzuvollziehen und machen jeweils Appetit auf mehr.
Gesamtbeurteilung: sehr gut Angaben zum Buch:
Malba Tahan: Beremis, der Zahlenk ¨unstler.
Patmos 2003, ISBN 3-49169066-8, 304 Seiten, 9,95 C–– . Art des Buches: Mathematisches Jugendbuch Mathematisches Niveau: (leicht) verst ¨andlich
Altersempfehlung: ab 12 Jahren
Martin Mattheis
Verwandte der pythagoreischen Tripel
von Christina Fl ¨orsch
I. Einleitung
In der mathematischen Literatur findet man vieles ¨uber die pythagoreischen Tripel. Das sind nat ¨urliche Zahlen a, b, c, f ¨ur die a2 b2 c2 gilt. Diese Zahlen lassen sich den Seiten von rechtwinkligen Dreiecken zuordnen, man spricht dann von
”pythagoreischen Dreiecken“. Seit dem Altertum (Euklid, Diophant) gibt es Formeln f ¨ur die Erzeugung pythagoreischer Tripel (a, b, c):
a 2mn, b m2 n2, c m2 n2, m,n IN, m n.
Sie sind
”primitiv“ (haben keine gemeinsamen Teiler), wennm,nselbst teilerfremd und nicht beide ungerade sind. Man erh ¨alt auf diese Weise alle primitiven Tripel. Hat man die primitiven Tripel, so hat man auch alle anderen.
Im Laufe der Jahrhunderte wurden zahlreiche Eigenschaften und Besonderheiten der pythagoreischen Tripel gefunden. Einen ¨Uberblick findet man in [Lit.1]. Ich nenne eini- ge:
Wenn m und n zwei aufeinander folgende Zahlen sind, dann sind auch a und c zwei aufeinander folgende Zahlen.
Wenn wir a und b f ¨ur m und n nehmen, so ergibt sich f ¨ur das neue c eine Qua- dratzahl.
W ¨ahlt man f ¨urmundnzwei aufeinander folgende Dreieckszahlen, so erh ¨alt man f ¨ura immer eine Kubikzahl.
Eine Seitenl ¨ange eines pythagoreischen Dreiecks ist immer durch 3, eine durch 4 und eine durch5 teilbar.
Das Produkt der L ¨angen beider Katheten ist immer durch 12teilbar.
Das Produkt aller Seitenl ¨angen ist immer durch 60 teilbar.
Der Radius des Inkreises ist ganzzahlig.
Man kann die Frage stellen, ob es außer den pythagoreischen noch andere Dreiecke gibt, deren Seitenl ¨angen ganzzahlig sind und bei denen ein Winkel eine ganze Grad- zahl hat. Diese Frage ist l ¨angst beantwortet: Mein Lehrer wies mich auf zwei Zeitschrif- tenartikel hin, in denen Formeln f ¨ur
”120 -Tripel“ und
”60 -Tripel“ (a, b, c) hergeleitet sind; a, b, c sind hier nat ¨urliche Zahlen, denen die Seitenl ¨angen von Dreiecken ABC mitγ 120 bzw.γ 60 zugeordnet werden.
Man erh ¨alt alle primitiven120 -Tripel in der Gestalt (2mn n2,m2 n2,m2 n2 mn), wenn die Zahlen m,n IN (m n) teilerfremd sind und m n nicht durch 3 teilbar ist.
Man erh ¨alt alle primitiven 60 -Tripel in den Gestalten (1, 1, 1), (2mn n2, m2 n2, m2 n2 mn) und (m2 2mn, m2 n2, m2 n2 mn), wenn die Zahlen m,n IN, m n2, teilerfremd sind undm n nicht durch3 teilbar ist [Lit. 2 und 3].
Außer den pythagoreischen Dreiecken und diesen 120 - und 60 -Dreiecken gibt es keine anderen, welche die oben genannte Bedingung erf ¨ullen. Das l ¨asst sich mit dem Kosinussatz begr ¨unden: c2 a2 b2 2abcosγ. F ¨ur 120 und 60 ist der Kosinus rational ( 12 bzw. 12). 90 , 60 und 120 sind die einzigen rationalen Winkel zwischen 0 und 180 f ¨ur die 2abcosγ eine ganze Zahl ergibt. Nur in diesen F ¨allen kann mit
a und b auch c eine nat ¨urliche Zahl sein. Außer den Formeln ist ¨uber die 120 -Tripel und60 -Tripel kaum etwas bekannt. Das Ziel meiner Arbeit ist, f ¨ur diese Tripel ¨ahnliche Eigenschaften zu finden wie sie f ¨ur die pythagoreischen Tripel bekannt sind; dabei sollen Gemeinsamkeiten wie auch gegens ¨atzliches Verhalten herausgestellt werden.
II. Die Eigenschaften der 120 - und 60 -Dreiecke
1. Tabellen
Zun ¨achst habe ich mir ¨uber BASIC-Programme Listen f ¨ur primitive pythagoreische Tri- pel, f ¨ur primitive 120 - und f ¨ur primitive 60 - Tripel erzeugt. Um die Zahlen m, n mit ggT 1 auszuschließen, habe ich im Programm den euklidischen Algorithmus ver- wendet. In den folgenden Tabellen sind jeweils zwanzig 90 -, 120 - und 60 -Tripel auf- gef ¨uhrt.
90 Tripel m n a
2mn b
m2 n2 c m2 n2
2 1 4 3 5
3 2 12 5 13
4 1 8 15 17
4 3 24 7 25
5 2 20 21 29
5 4 40 9 41
6 1 12 35 37
6 5 60 11 61
7 2 28 45 53
7 4 56 33 65
7 6 84 13 85
8 1 16 63 65
8 3 48 55 73
8 5 80 39 89
8 7 112 15 113
9 2 36 77 85
9 4 72 65 97
9 8 144 17 145
10 1 20 99 101
10 3 60 91 109
120 Tripel m n a
2mn n2 b
m2 n2 c m2 n2 mn
2 1 5 3 7
3 1 7 8 13
3 2 16 5 19
4 3 33 7 37
5 1 11 24 31
5 3 39 16 49
5 4 56 9 61
6 1 13 35 43
6 5 85 11 91
7 2 32 45 67
7 3 51 40 79
7 5 95 24 109
7 6 120 13 127
8 1 17 63 73
8 3 57 55 97
8 7 161 15 169
9 1 19 80 91
9 2 40 77 103
9 4 88 65 133
9 5 115 56 151
60 Tripel
m n Fall 1:a 2mn n2 Fall 2:a m2 2mn b m2 n2 c m2 n2 mn
3 1 5 3 8 7
4 1 7 8 15 13
5 2 16 5 21 19
6 1 11 24 35 31
7 1 13 35 48 43
7 3 33 7 40 37
8 3 39 16 55 49
9 1 17 63 80 73
9 2 32 45 77 67
9 4 56 9 65 61
2. Besondere Teiler der Zahlen a , b , c
Wenn ich von
”Seitenl ¨angen“ rede, meine ich immer nur die Maßzahl. Wenn ich von 120 - und 60 -Dreiecken rede, meine ich immer nur solche mit ganzzahligen Seiten- l ¨angen.
Man sieht gleich, dass sich am Anfang viele Primzahlen f ¨ur c ergeben. Bei den 120 - Dreiecken wie auch bei den 60 -Dreiecken sind die Seitenl ¨angen c immer ungerade, dies ergibt sich aus den jeweiligen Formeln (c m2 n2 mnbzw.c m2 n2 mn;
dabei k ¨onnen mundnnicht beide gerade sein). Ich zeige jetzt, dasscbei einem 120 - Tripel nie durch 3 teilbar ist. Dazu sehe ich mir an, welche Dreier-Reste die Zahl c m2 n2 mnbei allen m ¨oglichen Formen vonmundnhat;mundnk ¨onnen die Formen 3l,3l 1(mitl IN0) haben, wobei sie aber nicht0sein d ¨urfen.
1. Fall: m 3k undn 3l 1 (k,l IN0) c
3k 2
3l 1 2 3k
3l 1 9k2 9l2 6l 1 9kl 3k
3
3k2 k 3l2 2l 3kl 1
2. Fall: m 3k 1undn 3l (k,l IN0) F ¨urc ergibt sich die gleiche Form wie im 1. Fall.
3. Fall:m 3k 1undn 3l 1(k,l IN0) oderm 3k 1undn 3l 1(k,l IN) Das kann nicht vorkommen, denn m nw ¨are durch3 teilbar.
4. Fall: m 3k 1undn 3l 1(k IN0,l IN) Eine Rechnung wie im 1. Fall f ¨uhrt zum Ergebnis c 3
3k2 2k 3l2 2l 3kl k l 1.
Weil c bei der Division durch 3 immer den Rest 1 hat, ist c 1 durch 3 teilbar. c 1 beschreibt immer eine gerade Zahl und ist daher immer durch6 teilbar.
Als N ¨achstes beweise ich, dass cauch nie durch 5teilbar ist (f ¨ur das 120 -Tripel).
m 5kund n 5l 1(k,l IN0) c
5k 2
5l 1 2 5k˙
5l 1 25k 25l2 10l 1 25kl 5k
5
5k2 5l2 2l 5kl k 1
Diese Rechnung habe ich auch f ¨ur m 5k, n 5l 2 und m 5k 1, n 5l 2 gemacht und habe nie den Rest 0 erhalten. Auf dieselbe Art habe ich gezeigt, dass c bei den 60 -Tripeln auch nie durch 3 oder 5 teilbar ist und bei der Division durch 6 immer den Rest 1 l ¨asst. Weil c nie durch 2, 3, 5 teilbar ist, ist c vor allem f ¨ur kleinere Zahlen oft eine Primzahl.
Setze ich m 2k 1und n 2l (k IN0, l IN), ist also m ungerade undn gerade, dann erhalte ich f ¨ur aimmer eine durch8teilbare Zahl (bei den 60 -Tripeln nur bei der Form 2mn n2). Wenn ich m 2k 1 und 2l 1 (k,l IN0) setze (m und n beide ungerade), dann erhalte ich f ¨urb immer eine durch 8teilbare Zahl.
3. Bei welchen Tripeln
a, b, c
ist b eine Kubikzahl?
Bei einem Blick auf die Listen der 60 - und 120 -Dreiecke f ¨allt auf, dass b manchmal eine Kubikzahl ist (z.B.
7, 8, 13 und
3, 8, 7 ). Man findet jedoch keine bei den Sei- tenl ¨angen a oder c. Wenn man sich m und n genauer anschaut, sieht man, dass es sich bei ihnen um zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen handelt.
Dreieckszahlen entstehen aus Dreiecksmustern:
1
3
6
10 . . . . . .
Die k-te Dreieckszahl dk ist die Summe der ersten k nat ¨urlichen Zahlen; es gilt die Formel dk k
k 1
2 , k IN.
Satz: Wenn mundnaufeinander folgende Dreieckszahlen sind, dann erh ¨alt man f ¨ur b immer eine Kubikzahl.
Beweis: Es soll gelten: m kk2 1 und n k21k. Dann gilt f ¨ur die 60 - und die 120 -Tripel
b m2 n2
k
k 1 2
2
k 1 k 2
2
k2 k2
4 k2 k 2
4 k4 2k3 k2
k4 2k3 k2 4
4k3
4 k3 q.e.d.
Sind m und n aufeinander folgende Dreieckszahlen, dann ist b immer eine Kubik- zahl. Das Umgekehrte stimmt nicht. Z.B. ist
533, 33, 547 ein 120 -Tripel, aber das zugeh ¨orige m ist gleich14, undnist gleich 13.
Auch f ¨ur die pythagoreischen Tripel ist b m2 n2; deshalb gilt der Satz auch f ¨ur pythagoreische Tripel (siehe Einleitung).
4. K ¨ onnen 60
- und 120
-Dreiecke ganzzahlige Fl ¨acheninhalte ha- ben?
F ¨ur den Fl ¨acheninhalt des pythagoreischen Dreiecks gilt A 12ab 12
2mn
m2 n2 mn
m2 n2 , und Aist damit ganzzahlig. Dagegen ist der Fl ¨acheninhalt der60 - und120 -Dreiecke irrational, wie ich jetzt zeigen will:
Die allgemeine Formel f ¨ur den Fl ¨acheninhalt von Dreiecken lautet F 12
Seite
Seite
Sinus des eingeschlossenen Winkels, z.B. F 12absinγ. Weil sin 60 12 3 und sin 120 12 3 ist, kann der Fl ¨acheninhalt eines 120 - oder eines 60 -Dreiecks nie ganzzahlig sein.
5. Der Inkreis von 60
- und 120
-Dreiecken
Der Radius des Inkreises bei pythagoreischen Dreiecken ist ganzzahlig (siehe Einlei- tung). Wie ist das bei 60 - und120 -Dreiecken?
(Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.)
C A
B
b
a r r c
60 r
Der Fl ¨acheninhalt eines 60 -Dreiecks l ¨asst sich durch F 12absin 60 12ab12 3 14ab 3 oder F 12cr 12br 12ar darstellen (siehe links: Zerle- gung in Teildreiecke, r sei der Radius des Inkrei- ses). Es gilt also:
F 12cr 12br 12ar 14ab 3 12r
a b c 14ab 3 r ab
2 3
a b c
Der Inkreisradius eines60 -Dreiecks ist deshalb immmer irrational. Dasin 60 sin 120 gilt, ist der Inkreisradius auch bei einem 120 -Dreieck stets irrational. Hier habe ich die Rechnung f ¨ur pythagoreische Tripel aus [Lit.4, S.58f.] auf 120 - und 60 -Dreiecke
¨ubertragen.
6. Der Umkreis von 60
- und 120
-Dreiecken
Der Umkreisradius eines pythagoreischen Dreiecks ist rational (r 12c).
(Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten ist der Mittelpunkt des Umkreises und liegt beim pythagoreischen Dreieck in der Mitte von AB.)
Wie ist das bei 120 - und60 -Dreiecken?
r C A
B a c
120 b r 240
Ich benutze den Satz vom Umfangswinkel:
Jeder Umfangswinkel eines Kreises ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel ¨uber dem gleichen Kreisbogen.
Der Kosinus-Satz liefert
c2 r2 r2 2r
r
cos 120 r2 r2 2r2
12 r2 r2 r2 3r2, alsor c3 3 Der Umkreisradius eines120 -Dreiecks ist deshalb immer irrational.
Jetzt mache ich dasselbe f ¨ur das60 -Dreieck:
b A
a r c
B
r C 60
120
Auch hier giltc2 3r2, also ist der Umkreisradius wieder irrational:r 3c 3.
7. Generationen von 60
- und 120
-Tripeln
Die Kathetenl ¨angen aundbeines60 - und120 -Dreiecks sollen selbst als Erzeugende mund n eines neuen 60 - bzw. 120 -Dreiecks dienen. Ist z.B.
5, 3, 7 ein 120 -Tripel, dann erh ¨alt man ein neues mit m 5undn 3.
F ¨ur ein120 -Tripel gilt:
aneu 2ab b2, bneu a2 b2 , cneu a2 b2 ab aneu 2
m2 n2
2mn n2
m2 n2 2
4m3n 2m2n2 4mn3 2n4 m2 2m2n2 n2 bneu
2mn n2 2
m2 n2 2
4m2n2 4mn3 n4
m4 2m2n2 n4
m4 6m2n2 4mn3
cneu
2mn n2 2
m2 n2 2
2mn n2
m2 n2
4m2n2 4mn3 n4 m4 2m2n2 n4 2m3n 2mn3 n2m2 n4
3m2n2 2mn3 n4 m4 2m3n
m2 n2 mn 2
F ¨ur das 60 -Dreieck habe ich dieselbe Rechnung durchgef ¨uhrt und habe das gleiche Ergebnis erhalten. Wie bei den pythagoreischen Tripeln (s. Kap. I.) ist die neue Hypo- tenuse eine Quadratzahl (das alte c2). Durch wiederholte Anwendung erh ¨alt man f ¨urc besondere Potenzen. Beispiel f ¨ur ein 60 -Tripel:
m n a 2mn n2 b m2 n2 c m2 n2 mn
3 1 4 8 7
8 5 55 39 49
55 39 2769 1504 2401
Die Seitenl ¨ange c hat in diesem Beispiel immer die Form72n (n IN).
8. Gibt es gleichschenklige 60
- und 120
-Dreiecke?
Es gibt keine pythagoreischen Dreiecke, die gleichschenklig sind (a2 a2 2a2 c2 c 2a). Gibt es 120 - und 60 -Dreiecke, die gleichschenklig sind? Ich beant- worte die Frage zuerst f ¨ur60 -Dreiecke:
c2 a2 b2 ab. Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handeln soll, muss a b gelten, also c2 a2 a2 a2 a2, c a, d.h. das Dreieck ist gleichseitig.
Das einzige gleichschenklige 60 -Dreieck mit ganzzahligen Seitenl ¨angen ist also das gleichseitige Dreieck.
Jetzt beantworte ich die Frage f ¨ur die 120 -Dreiecke:
c2 a2 b2 ab. Auch hier soll es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handeln, deshalb muss a b gelten:c2 a2 a2 a2 3a2, c 3a. Die Seitenl ¨ange c w ¨are irrational wie bei den pythagoreischen Dreiecken. Daher gibt es auch keine gleich- schenkligen 120 -Dreiecke.
9. Zwei 60
-Dreiecke k ¨ onnen zu einem gleichseitigen Dreieck zu- sammengesetzt werden
60
60 5 3
8 7 8
F ¨ur das 60 -Dreieck gibt es zwei Formeln zur Erzeugung der Seitenl ¨ange a: a1 m2 2mn und a2 2mn n2. Daher k ¨onnen 60 -Dreiecke entstehen, deren Seitenl ¨angen sich zwar in a unterscheiden, bei denen b und c jedoch voll- kommen gleich sind. Addiert man a1 zu a2, so entsteht b (a1 a2 m2 2mn 2mn n2 m2 n2 b). Wenn man die zwei 60 -Dreiecke nun an den Seiten c zusammenlegt, ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck.
F ¨ur ein 120 -Dreieck ist so etwas nicht m ¨oglich, da es keine 120 -Dreiecke gibt, bei denen zweimal zwei Seiten gleich lang sind.
10. Fast-gleichschenklige 120
-Dreiecke
Es gibt wie schon in Kap.8 erw ¨ahnt keine gleichschenkligen pythagoreischen Dreiecke.
F ¨ur die Pythagoreer war dies unangenehm. Sie suchten daher nach rechtwinkligen
