Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben

Liegen zwei unabh¨angige Stichproben X₁^A, . . . ,X_n^A_A undX₁^B, . . . ,X_n^B_B zu jeweils normalverteilten Zufallsvariablen Y^A und Y^B vor, kann eine

”Aggregation“ zu einer einzigen Stichprobe wie beim Vorliegen verbundener Stichproben so nicht durchgef¨uhrt werden.

Verglichen werden nun nicht mehr Beobachtungspaare, sondern die (getrennt) berechneten MittelwerteX^A undX^B der beiden Stichprobenrealisationen zuY^A bzw.Y^B.

Wir setzen zun¨achst dieNormalverteilungsannahme f¨ur Y^A und Y^B voraus!

Die DifferenzX^A−X^B ist wegen der Unabh¨angigkeit der Stichproben dann offensichtlich normalverteilt mit Erwartungswertµ_A−µ_B (f¨urµ_A=µ_B gilt also gerade E(X^A−X^B) = 0) und Varianz

Var(X^A−X^B) = Var(X^A) + Var(X^B) =σ²_A nA +σ_B²

nB .

Sind die beteiligten Varianzen bekannt, kann zum Vergleich vonµA undµB

somit unmittelbar ein exakter Gauß-Test konstruiert werden.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 187

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Zusammenfassung: 2-Stichproben-Gauß-Test

bei bekannten Varianzen

Anwendungs- exakt:Y^A∼N(µA, σ²_A),Y^B∼N(µB, σ_B²), σA², σ_B² bekannt voraussetzungen X1^A, . . . ,Xn^A_A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von

einfacher StichprobeX1^B, . . . ,Xn^B_B zuY^B.

Nullhypothese H0:µA=µB H0:µA≤µB H0:µA≥µB

Gegenhypothese H1:µA6=µB H1:µA> µB H1:µA< µB

Teststatistik N= X^A−X^B

q_σ2

A n_A +^σ_n^B2

B

Verteilung (H0) Nf¨urµA=µB N(0,1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X^A=_n¹

A

Pn_A

i=1Xi^A, X^B= _n¹

B

Pn_B i=1Xi^B

Kritischer Bereich (−∞,−N1−^α₂) (N1−α,∞) (−∞,−N¹−α)

zum Niveauα ∪(N₁₋^α

2,∞)

p-Wert 2·(1−Φ(|N|)) 1−Φ(N) Φ(N)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 188

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Sind die Varianzenσ²_A undσ²_B unbekannt, so ist zu unterscheiden, ob man wenigstens σ_A² =σ_B² annehmen kann oder nicht.

Im Fall ¨ubereinstimmender Varianzenσ²_A=σ_B² wird diese mit Hilfe eines gewichteten Mittelwerts S² der Stichprobenvarianzen

S_Y²A = 1 nA−1

nA

X

i=1

(X_i^A−X^A)² und S_Y²B = 1 nB−1

nB

X

j=1

(X_j^B −X^B)²

in der Form

S²= (nA−1)S_Y²A + (nB−1)S_Y²B

n_A+n_B−2 = PnA

i=1(X_i^A−X^A)²+PnB

j=1(X_j^B −X^B)² n_A+n_B −2

gesch¨atzt, ein exaktert-Test ist damit konstruierbar.

F¨ur n_A =n_B erh¨alt man die einfachere DarstellungS²= S_Y²A+S_Y²B

2 .

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 189

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Zusammenfassung: 2-Stichproben-t-Test

bei unbekannten, aber ¨ubereinstimmenden Varianzen

Anwendungs- exakt:Y^A∼N(µA, σ²_A),Y^B∼N(µB, σ_B²), µA, µB, σ_A²=σ²_B unbek.

voraussetzungen approx.: E(Y^A) =µA,E(Y^B) =µB,Var(Y^A) = Var(Y^B) unbekannt X1^A, . . . ,Xn^A_A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von

einfacher StichprobeX1^B, . . . ,Xn^B_B zuY^B.

Nullhypothese H0:µA=µB H0:µA≤µB H0:µA≥µB

Gegenhypothese H1:µA6=µB H1:µA> µB H1:µA< µB

Teststatistik t= X^A−X^B

qS² n_A +_n^S2

B

= X^A−X^B S

r nA·nB

nA+nB

Verteilung (H0) tf¨urµA=µB (n¨aherungsweise)t(nA+nB−2)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X^A=_n¹

A

Pn_A

i=1Xi^A, X^B= _n¹

B

Pn_B i=1Xi^B, S=

r(n_A−1)S²

Y A+(n_B−1)S² Y B n_A+n_B−2 =

r_P

nAi=1(X_i^A−X^A)²+P_nB

i=1(X_i^B−X^B)² n_A+n_B−2

Kritischer Bereich (−∞,−t_{nA+nB−2;1−}^α

2) (tn_A+n_B−2;1−α,∞) (−∞,−tn_A+n_B−2;1−α) zum Niveauα ∪(t_{nA+nB−2;1−}^α

2,∞)

p-Wert 2·(1−Ft(n_A+n_B−2)(|t|)) 1−Ft(n_A+n_B−2)(t) Ft(n_A+n_B−2)(t)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 190

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Beispiel: Absatzwirkung einer Werbeaktion

Untersuchungsgegenstand: Hat eine spezielle Sonderwerbeaktion positiven Einfluss auf den mittleren Absatz?

Stichprobeninformation: Messung der prozentualen Absatz¨anderungen x₁^A, . . . ,x₁₀^A inn_A= 10 Superm¨arktenohneSonderwerbeaktion und x₁^B, . . . ,x₅^B inn_B = 5 Superm¨arktenmitSonderwerbeaktion.

Annahme: F¨ur prozentuale Absatz¨anderungen Y^A ohne bzw.Y^B mit Sonderwerbeaktion giltY^A∼N(µ_A, σ²_A),Y^B∼N(µ_B, σ_B²), µ_A, µ_B, σ²_A=σ_B² unbekannt, X₁^A, . . . ,X₁₀^A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von einfacher StichprobeX₁^B, . . . ,X₅^B zu Y^B.

(Zwischen-)Ergebnisse aus Stichprobenrealisation:

x^A= 6.5, x^B = 8, s_Y²A = 20.25, s_Y²B = 23.04

⇒s=

s(n_A−1)s_Y²A+ (n_B−1)s_Y²B

nA+nB −2 =

r9·20.25 + 4·23.04

13 = 4.5944

Gew¨unschtes Signifikanzniveau:α= 0.05 Geeigneter Test:

2-Stichproben-t-Test bei ¨ubereinstimmenden, aber unbekannten Varianzen

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 191

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

1 Hypothesen:

H0:µA≥µB gegen H1:µA < µB

2 Teststatistik:

t= X^A−X^B S

r n_A·n_B

nA+nB ist unter H0t(nA+nB−2)-verteilt (f¨urµA =µB).

3 Kritischer Bereich zum Niveauα= 0.05:

K = (−∞,−t_{nA+nB−2;1−α}) = (−∞,−t_13;0.95) = (−∞,−1.771)

4 Berechnung der realisierten Teststatistik:

t= x^A−x^B s

rnA·nB

n_A+n_B = 6.5−8 4.5944

r 10·5

10 + 5 =−0.5961

5 Entscheidung:

t=−0.5961∈/ (−∞,−1.771) =K ⇒ H₀wird nicht abgelehnt!

(p-Wert:F_t(13)(t) =F_t(13)(−0.5961) = 0.2807)

Der Test kommt also zur Entscheidung, dass eine positive Auswirkung der Sonderwerbeaktion auf die mittlere prozentuale Absatz¨anderung nicht best¨atigt werden kann.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 192

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Sonderfall: Vergleich von Anteilswerten

Ein Sonderfall des (approximativen) 2-Stichproben-t-Test bei unbekannten, aber ¨ubereinstimmenden Varianzen liegt vor, wenn zwei Anteilswerte miteinander verglichen werden sollen.

Es gelte also speziell Y^A∼B(1,pA) undY^B∼B(1,pB) f¨urpA∈(0,1) und p_B ∈(0,1), außerdem seienX₁^A, . . . ,X_n^A_A sowieX₁^B, . . . ,X_n^B_B unabh¨angige einfache Stichproben vom Umfangn_A zuY^A bzw. vom Umfangn_B zuY^B. Zur ¨Uberpr¨ufung stehen die Hypothesenpaare:

H₀:p_A =p_B H₀:p_A≤p_B H₀:p_A≥p_B gegen H₁:p_A 6=p_B H₁:p_A>p_B H₁:p_A<p_B F¨ur die Varianzen vonY^A undY^B gilt bekanntlich Var(Y^A) =pA·(1−pA) bzw. Var(Y^B) =pB ·(1−pB), d.h. die Varianzen sind zwar unbekannt, unter H₀— genauer f¨urp_A=p_B — jedoch gleich.

Mit den ¨ublichen Schreibweisenbp_A:= _n¹

A

PnA

i=1X_i^A bzw.bp_B := _n¹

B

PnB

i=1X_i^B erh¨alt man f¨urS²in Abh¨angigkeit vonbpA undbpB die Darstellung:

S²= n_A·bp_A·(1−bp_A) +n_B ·bp_B·(1−bp_B) nA+nB −2

Approximation vern¨unftig, falls 5≤nAbpA≤nA−5 und 5≤nBbpB ≤nB−5 .

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 193

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Zusammenfassung: 2-Stichproben-t-Test f¨ur Anteilswerte

Anwendungs- approx.:Y^A∼B(1,pA),Y^B∼B(1,pB),pA,pB unbekannt voraussetzungen X1^A, . . . ,Xn^A_A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von

einfacher StichprobeX1^B, . . . ,Xn^B_B zuY^B.

Nullhypothese H0:pA=pB H0:pA≤pB H0:pA≥pB

Gegenhypothese H1:pA6=pB H1:pA>pB H1:pA<pB

Teststatistik t= bpA−bpB

qS² n_A +_n^S2

B

= bpA−bpB

S

rnA·nB

nA+nB

Verteilung (H0) tf¨urpA=pB n¨aherungsweiset(nA+nB−2)-verteilt (N¨aherung ok, falls 5≤nAbpA≤nA−5 und 5≤nBbpB≤nB−5) Ben¨otigte Gr¨oßen bpA= _n¹

A

Pn_A

i=1X_i^A, bpB= _n¹

B

Pn_B i=1X_i^B, S=q

n_A·bp_A·(1−bp_A)+n_B·bp_B·(1−bp_B) n_A+n_B−2

Kritischer Bereich (−∞,−t_{nA+nB−2;1−}^α

2) (tn_A+n_B−2;1−α,∞) (−∞,−tn_A+n_B−2;1−α) zum Niveauα ∪(t_{nA+nB−2;1−}^α

2,∞)

p-Wert 2·(1−Ft(n_A+n_B−2)(|t|)) 1−Ft(n_A+n_B−2)(t) Ft(n_A+n_B−2)(t)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 194

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Beispiel: Vergleich von zwei Fehlerquoten

mit approximativem 2-Stichproben-t-Test f¨ur Anteilswerte

Untersuchungsgegenstand: Vergleich von Fehlerquoten zweier Sortiermaschinen

F¨ur einen automatisierten Sortiervorgang werden eine g¨unstige (A) sowie eine hochpreisige Maschine (B) angeboten. Es soll anhand von 2 (unabh¨angigen) Testl¨aufen mit jeweilsn_A=n_B = 1000 Sortiervorg¨angen ¨uberpr¨uft werden, ob die Fehlerquotep_A bei der g¨unstigen MaschineAh¨oher ist als die Fehlerquotep_B der hochpreisigen MaschineB.

Resultat der Testl¨aufe soll jeweils als Realisation einer einfachen Stichprobe aufgefasst werden k¨onnen.

Stichprobeninformation: Bei MaschineAtraten 29 Fehler auf, bei Maschine B 21 Fehler.

(Zwischen-) Ergebnisse aus Stichprobenrealisation:bp_A= ₁₀₀₀²⁹ = 0.029, b

p_B = ₁₀₀₀²¹ = 0.021,s=q

1000·0.029·(1−0.029)+1000·0.021·(1−0.021)

1000+1000−2 = 0.156

Gew¨unschtes Signifikanzniveauα= 0.05.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 195

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

1 Hypothesen:

H0:pA≤pB gegen H1:pA >pB

2 Teststatistik:

t= bpA−bpB

S

rnA·nB

n_A+n_B ist unterH₀n¨aherungsweiset(n_A+n_B −2)-verteilt (f¨urp_A=p_B). N¨aherung ok, da 5≤29≤995 und 5≤21≤995.

3 Kritischer Bereich zum Niveauα= 0.05:

K = (tnA+nB−2;1−α,+∞) = (t1998;0.95,+∞) = (1.646,+∞)

4 Berechnung der realisierten Teststatistik:

t= bpA−bpB

s

rnA·nB

n_A+n_B = 0.029−0.021 0.1562

r1000·1000

1000 + 1000 = 1.1452

5 Entscheidung:

t= 1.1452∈/ (1.646,+∞) =K ⇒ H₀wird nicht abgelehnt!

(p-Wert: 1−F_t(1998)(t) = 1−F_t(1998)(1.1452) = 1−0.8739 = 0.1261) Der Test kommt also zum Ergebnis, dass eine h¨ohere Fehlerquote der g¨unstigen Maschine nicht best¨atigt werden kann.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 196

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.2

Approximativer 2-Stichproben-Gauß-Test

f¨ur Mittelwertvergleiche, wenn Gleichheit der Varianzen ungewiss

Kann in der Situation des exakten 2-Stichproben-t-Test (Y^A undY^B sind normalverteilt mit unbekannten Varianzen) auch unterH0keine Gleichheit der Varianzen vorausgesetzt werden, m¨ussen andere Testverfahren verwendet werden, z.B. derWelch-Test(hier nicht besprochen).

Als approximativer Test l¨asst sich (zumindest bei hinreichend großen Stichprobenumf¨angen,”Daumenregel“nA>30 undnB >30) auch eine leichte Modifikation des 2-Stichproben-Gauß-Tests aus Folie 188 verwenden.

Anstelle der (dort als bekannt vorausgesetzten) Varianzenσ²_A undσ_B² sind die erwartungstreuen Sch¨atzfunktionenS_Y²A undS_Y²B einzusetzen und der Test als approximativer Test durchzuf¨uhren.

Die Teststatistik nimmt damit die Gestalt

N= X^A−X^B rS²

Y A

nA +^S_n^{Y B2}

B

an und ist unter H₀n¨aherungsweise standardnormalverteilt.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 197

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

Varianzvergleiche bei normalverteilten Zufallsvariablen

N¨achste Anwendung:Vergleich der Varianzenσ²_A undσ_B² zweier

normalverteilterZufallsvariablenY^A∼N(µ_A, σ_A²) undY^B ∼N(µ_B, σ_B²) auf Grundlage zweier unabh¨angiger einfacher StichprobenX₁^A, . . . ,X_n^A_A vom Umfangn_A zuY^A und X₁^B, . . . ,X_n^B_B vom Umfangn_B zuY^B.

Idee:Vergleich auf Grundlage der erwartungstreuen Sch¨atzfunktionen

S_Y²A = 1 nA−1

nA

X

i=1

(X_i^A−X^A)²= 1 nA−1

_nA X

i=1

(X_i^A)²

!

−n_AX^A2

!

bzw.S_Y²B = 1 n_B −1

nB

X

i=1

(X_i^B−X^B)²= 1 n_B −1

_n XB

i=1

(X_i^B)²

!

−n_BX^B2

!

f¨ur die Varianz vonY^A bzw. die Varianz vonY^B. Es gilt ^(nA−1)·S_σ2 ^{Y A2}

A ∼χ²(nA−1) unabh¨angig von ^(nB−1)·S_σ2 ^{Y B2}

B ∼χ²(nB−1) . Geeignete Testgr¨oße l¨asst sich aus (standardisiertem) Verh¨altnis von

(nA−1)·S_{Y A}²

σ_A² und ^(nB−1)·S

2 Y B

σ²_B herleiten.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 198

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

Die Familie der F (m, n)-Verteilungen

Sind χ²_m undχ²_n stochastisch unabh¨angige, mitmbzw.nFreiheitsgraden χ²-verteilte Zufallsvariablen, so heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

F_n^m:=

χ²_m m χ²_n n

= χ²_m χ²_n · n

m

F-Verteilung mitm Z¨ahler- und nNennerfreiheitsgraden, in Zeichen F_n^m∼F(m,n).

Offensichtlich k¨onnenF(m,n)-verteilte Zufallsvariablen nur nichtnegative Werte annehmen, der Tr¨ager ist also [0,∞).

F¨ur n>2 gilt E(F_n^m) = _n−2ⁿ .

Als Abk¨urzung f¨urα-Quantile derF(m,n)-Verteilung verwenden wir (wie ¨ublich)F_m,n;α.

F¨ur die Quantile der F(m,n)-Verteilungen gilt der folgende Zusammenhang:

Fm,n;α= 1 F_n,m;1−α

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 199

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

Grafische Darstellung einiger F (m, n)-Verteilungen

f¨urm,n∈ {2,5,10}

0 1 2 3 4

0.00.20.40.60.81.0

x

f(x)

F(2, 2) F(5, 2) F(10, 2) F(2, 5) F(5, 5) F(10, 5) F(2, 10) F(5, 10) F(10, 10)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 200

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

Varianzvergleiche (Fortsetzung)

EineF(nA−1,nB−1)-verteilte Zufallsvariable erh¨alt man also in der Anwendungssituation der Varianzvergleiche durch das Verh¨altnis

(nA−1)·S_{Y A}² σ²_A (nB−1)·S_{Y B}²

σ_B²

·nB−1 n_A−1 =

S_{Y A}² σ_A² S²

Y B

σ²_B

,

das allerdings von den (unbekannten!) Varianzen σ_A² undσ_B² abh¨angt.

Gilt jedochσ_A²=σ²_B, so hat auch das Verh¨altnis

F := S_Y²A

S_Y²B

eineF(nA−1,nB −1)-Verteilung und ist somit als Testgr¨oße geeignet, wenn unterH0(eventuell im Grenzfall)σ²_A=σ_B² angenommen wird.

Offensichtlich sprechen große Werte von F eher f¨ur σ_A²> σ²_B, kleine eher f¨ur σ_A²< σ²_B, Verh¨altnisse in der N¨ahe von 1 f¨urσ_A² =σ²_B.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 201

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

Da die Klasse derF-Verteilungen von 2 Verteilungsparametern abh¨angt, ist es nicht mehr m¨oglich,α-Quantile f¨ur verschiedene

Freiheitsgradkombinationen und verschiedeneαdarzustellen.

In Formelsammlung: Tabellen (nur) mit 0.95-Quantilen f¨ur verschiedene Kombinationen vonmundnf¨ur F(m,n)-Verteilungen verf¨ugbar.

Bei linksseitigen Tests (zum Niveauα= 0.05) und zweiseitigen Tests (zum Niveauα= 0.10) muss also regelm¨aßig die ”Symmetrieeigenschaft“

F_m,n;α= 1 F_n,m;1−α

verwendet werden, um auch 0.05-Quantile bestimmen zu k¨onnen.

Der resultierende Test ist insbesondere zur ¨Uberpr¨ufung der Anwendungsvoraussetzungen f¨ur den 2-Stichproben-t-Test hilfreich.

Wichtig!

Die Normalverteilungsannahme f¨urY^A undY^B ist wesentlich. Ist diese (deutlich) verletzt, ist auch eine n¨aherungsweise Verwendung des Tests nicht mehr

angebracht.

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 202

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

0.95-Quantile der F (m, n)-Verteilungen F

n\m 1 2 3 4 5 6 7 8

1 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768 238.883 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371

3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845

4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041

5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818

6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147

7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726

8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438

9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230

10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072

11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948

12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849

13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767

14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699

15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641

16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591

17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548

18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510

19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477

20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447

30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266

40 4.085 3.232 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180

50 4.034 3.183 2.790 2.557 2.400 2.286 2.199 2.130

100 3.936 3.087 2.696 2.463 2.305 2.191 2.103 2.032

150 3.904 3.056 2.665 2.432 2.274 2.160 2.071 2.001

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 203

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

Zusammenfassung: F -Test zum Vergleich der Varianzen

zweier normalverteilter Zufallsvariablen

Anwendungs- exakt:Y^A∼N(µA, σ²_A),Y^B∼N(µB, σ_B²), µA, µB, σ_A², σ_B² unbek.

voraussetzungen X1^A, . . . ,Xn^A_A einfache Stichprobe zuY^A, unabh¨angig von einfacher StichprobeX1^B, . . . ,Xn^B_B zuY^B.

Nullhypothese H0:σ²_A=σ_B² H0:σ_A²≤σ²_B H0:σ_A²≥σ²_B Gegenhypothese H1:σ²_A6=σ_B² H1:σ_A²> σ²_B H1:σ_A²< σ²_B

Teststatistik F =S_Y²A

S_Y²B

Verteilung (H0) F unterH0f¨urσ_A²=σ²_B F(nA−1,nB−1)-verteilt Ben¨otigte Gr¨oßen X^A=_n¹

A

Pn_A

i=1Xi^A, X^B= _n¹

B

Pn_B i=1Xi^B, S_Y²A= _n¹

A−1

Pn_A

i=1(Xi^A−X^A)²=_n¹

A−1

Pn_A i=1(Xi^A)²

−nAX^A2 S_Y²B =_n¹

B−1

Pn_B

i=1(X_i^B−X^B)²=_n¹

B−1

Pn_B i=1(X_i^B)²

−nBX^B2

Kritischer Bereich [0,Fn_A−1,n_B−1;^α₂) (Fn_A−1,nB−1;1−α,∞) [0,Fn_A−1,nB−1;α) zum Niveauα ∪(F_n

A−1,n_B−1;1−^α₂,∞) p-Wert 2·min

FF(n_A−1,n_B−1)(F), 1−FF(n_A−1,n_B−1)(F) FF(n_A−1,n_B−1)(F) 1−FF(n_A−1,n_B−1)(F)

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 204

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

Beispiel: Pr¨azision von 2 Abf¨ullanlagen

Untersuchungsgegenstand: Entscheidung, ob Varianz der Abf¨ullmenge von zwei Abf¨ullanlagen ¨ubereinstimmt oder nicht.

Annahmen: Abf¨ullmengenY^A undY^B jeweils normalverteilt.

Unabh¨angige einfache Stichproben vom Umfang nA = 9 zuY^A und vom Umfang nB = 7 zu Y^B liefern realisierte Varianzsch¨atzungen s_Y²A = 16.22 sowie s_Y²B = 10.724.

Gew¨unschtes Signifikanzniveauα= 0.10.

Geeigneter Test:F-Test f¨ur die Varianzen normalverteilter Zufallsvariablen

1 Hypothesen: H₀:σ²_A=σ_B² gegen H₁:σ²_A6=σ_B²

2 Teststatistik: F= S_Y²A

S_Y²B

ist unterH0 F(nA−1,nB−1)-verteilt.

3 Kritischer Bereich zum Niveau α= 0.10:Mit F_8,6;0.05= 1/F_6,8;0.95= 1/3.581 = 0.279:

K = [0,F_{nA−1,nB−1;}^α₂)∪(F_{nA−1,nB−1;1−}^α₂,+∞) = [0,F8,6;0.05)∪(F8,6;0.95,+∞) = [0,0.279)∪(4.147,+∞)

4 Berechnung der realisierten Teststatistik:F = s_Y²A

s_Y²B

= 16.22

10.724 = 1.512

5 Entscheidung: F∈/ K ⇒ H₀ wird nicht abgelehnt!

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 205

9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabh¨angigen Stichproben 9.3

Beispiel: p-Wert bei F -Test f¨ur Varianzen (Grafik)

Abf¨ullanlagenbeispiel, realisierte TeststatistikF= 1.512,p-Wert: 0.632

0.00.10.20.30.40.50.6

x fF(8, 6)(x)

F8, 6, 0.05 F=1.512 F8, 6, 0.95

1−p=0.368 p

2=0.316 p

2=0.316

Schließende Statistik (WS 2020/21) Folie 206