ist nur f¨ ur zwei Ladungen im Vakuum g¨ ultig.

Isotrope Dielektrika

Das Coulombsche Gesetz in der Form

^F=1/(4π0)^|q1||q2|

r2

ist nur f¨ ur zwei Ladungen im Vakuum g¨ ultig.

Versuche mit der Cavendish-Drehwaage mit fl¨ ussigen oder gasf¨ ormigen Isolatoren zwischen den beiden Ladungen ergeben stets Kr¨ afte, die kleiner sind als jene, die im Vakuum auftreten. Das Medium, der Isolator zwischen den Ladungen, nach M. Faraday Dielektrikum genannt, hat also einen Einfluss auf die elektrischen Felder.

In der Natur gibt es keine vollkommenden Nichtleiter bzw. Isolatoren, jedoch ist der Ladungstransport in einem Isolator so gering, dass wir Isolatoren in sehr guter N¨ aherung als ideale Nichtleiter behandeln k¨ onnen. Isolatoren sind f¨ ur das elektrische Feld durchl¨ assig, w¨ ahrend Leiter das Feld abschirmen. Wie gerade erw¨ ahnt bezeichnet man Isolatoren als Dielektrika.

Zum Spannungsbegriff V = R Ed~ ~ r in einem Plattenkondensator mit Dielektrikum:

s

s s 2 s

3 4

1

+ −

Dielektrikum F¨ ur einem Plattenkondensator, in dem in der oberen H¨ alfte ein Dielek- trikum steckt, muss nach der Definition der Spannung als Arbeit pro Ladungseinheit (W = q R Ed~ ~ r = qV ) die Spannung zwischen den Punk- ten 2-1 und 3-4 gleich und die Arbeit ¨ uber den Weg 1-2-3-4 null sein.

D.h.:

(i) Die Wege 2-3 und 4-1 laufen auf ¨ Aquipotentialfl¨ achen und die Arbeit ist null.

(ii) In Anbetracht der Nichtexistenz eines Perpetuum mobile 1. Art muss gelten: W

₁₋₂

= −W

₃₋₄

. Die Spannungsdefinition mit oder ohne ein Dielektrikum bleibt damit gleich. Bez¨ uglich des Einflusses nichtleitender Materie (Isolatoren, Dielektrika) auf elektrische Felder zeigen Experimente Folgendes:

À Wird ein Dielektrikum zwischen die Platten eines geladenen Kondensators geschoben, wobei sich die Ladung nicht ¨ andert, so verkleinert sich die urspr¨ ungliche Potentialdifferenz V

₁

− V

₂

, respektive wird die elektrische Feldst¨ arke E ~ oder der effektive Plattenabstand reduziert. Das Ausmass der Verkleinerung h¨ angt vom jeweiligen Material ab.

+Q

−Q

A

A

? 6 d

? E ~ V

₁

− V

₂

= V

+Q

−Q

Q =konst.

A

? E ~

⁰

< ~ E A V

₁⁰

− V

₂⁰

= V

⁰

< V Á Wird ein Dielektrikum zwischen die Platten eines ge-

ladenen Kondensators geschoben, wobei mit einer an- gelegten Batterie die Spannung konstant gehalten wird, dann erh¨ oht sich die Ladung des Kondensators und es fliesst ein Strom.

+Q

⁰

−Q

⁰

I

Q

⁰

> Q V =konst.

? E ~

Der mikroskopische Grund hierf¨ ur liegt darin, dass auch Isolatoren aus positiven und negativen Ladungen bestehen. Wird nun ein Isolator in ein elektrische Feld gebracht, so k¨ onnen in den Atomen elektrische Di- polmomente induziert oder in Molek¨ ulen bereits vorhandene Dipolmomente im Feld ausgerichtet werden.

− j

+ j

−q +q

*

d ~ Das Dipolmoment wird definiert als ~ p .

= q · d , ~ (1) wobei seine Richtung definitionsgem¨ ass von der negativen zur positiven Ladung zeigt. Der Abstand d ~ ist ein Mass f¨ ur die Asymmetrie der Ladungen.

Im ¨ ausseren elektrischen Feld werden also positive und negative Ladungen gegeneinander verschoben; die Materie wird polarisiert. W¨ ahrend sich die Ladungen im Inneren des K¨ orpers immer noch aufheben, treten an den

Oberfl¨ achen Ladungen +σ

p

, −σ

p

auf, wobei der K¨ orper als Ganzes neutral

± ± ± ± ± ± ± ± ±

± ± ± ± ± ± ± ± ±

± ± ± ± ± ± ± ± ±

± ± ± ± ± ± ± ± ±

E ~ +σ

p

−σ

p

66666666

− j

+ j F ~ = −q ~ E F ~ = q ~ E

- *

d ~

bleibt; er besitzt nun ein elektrisches Dipolmoment. Daher k¨ onnen auch Isolatoren in elektrischen Feldern Kr¨ afte erfahren. Ein konstantes Feld erzeugt ein Drehmoment ~ τ = q · d ~ × E ~ und dreht die einzelnen Dipole, w¨ ahrend ein inhomogenes, mit dem Ort sich ¨ anderndes Feld eine Kraft F ~ = ∇(q ~ d ~ E) auf die Dipole aus¨ ubt.

Die Polarisation P ~ eines K¨ orpers ist definiert als Dipolmomente pro Volumeneinheit ~ p/∆V . Sie hat f¨ ur isotrope Dielektrika die Richtung des angelegten Feldes E, und es gilt ~

P ~ .

= χ

e

ε

◦

E ~

As Vm · V

m

= C

m

²

. (2)

χ

_e

ist die materialabh¨ angige elektrische Suszeptibilit¨ at. Sie kann mittels einer Federkonstanten k zwischen den zwei Ladungen interpretiert werden: Seien kd = F = eE, ~ p = e ~ d = e

²

E/k, dann ist ~ P ~ = e

²

E/(k ~ ∆V ) und χ

_e

= e

²

/(kε

_◦

∆V ). Da die elektrische Suszeptibilit¨ at dimensionslos ist, hat P ~ die Dimension von ε

_◦

E ~ [C/m

²

]. Wir betrachten nun ein rechteckiges St¨ uck Dielektrikum der Dicke d und der Fl¨ ache A im elektrischen Feld E. Das gesamte Dipolmoment ist ~

” Polarisation·Volumen“, also P · ∆V = P · Ad.

Anderseits ist ein Dipolmoment definiert als

” Ladung · Abstand der Ladungen“, q · d, wonach hier P · A gleich der unbeweglichen Polarisationsladung σ

p

A sein muss:

d σ

_p

Q

p

= σ

p

A

P P P q

−Q

_p

= −σ

_p

A

- E ~ P ~

P · Ad = Q

_p

· d = σ

_p

· A · d , d.h. | P ~ | = σ

_p

.

Hierbei ist σ die bewegliche und σ

_p

die feste Polarisationsfl¨ achen- ladungsdichte. Allgemein gilt P

n

= σ

p

– die Normalkomponente der Polarisation ist gleich der Fl¨ achenladungsdichte an der Oberfl¨ ache eines Dielektrikums. P ~ zeigt mit Gleichung (1) von −σ

p

nach +σ

p

.

Dies erkl¨ art die Verkleinerung der Potentialdifferenz im Kondensator. Zus¨ atzlich zu den Ladungen auf der Kondensatorplatte treten entgegengesetzte Polarisationsladungen σ

_p

auf, sodass die Feldst¨ arke im Innern des Dielektrikums verkleinert wird. F¨ ur das effektive Feld E

⁰

eines ebenen Plattenkondensators gilt: ε

_◦

E

⁰

= σ − σ

_p

.

−−−−−−−−−−−−−−−−

++++++++++++++++

+ + + + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − − − −

Leiter Leiter

−Q = −σA

+Q_p=+σ_pA

−Qp=−σpA

+Q = +σA

? E ~

? D ~

? P ~

6 E ~

p

? E ~

Vac

Dielektrikum

Die Anwesenheit polarisierbarer Materie modifiziert ganz allge- mein das elektrische Feld. Statt mit der Polarisation und Polari- sationsladungen zu rechnen, ist es oft zweckm¨ assig, ein weiteres Vektorfeld einzuf¨ uhren, n¨ amlich die dielektrische Verschiebung

D ~ .

= ε

_◦

E ~ + P . ~ (3)

Die Bezeichnung Verschiebung wurde von Maxwell eingef¨ uhrt, um damit die Verschiebung der positi- ven und negativen Ladungen im Dielektrikum durch das ¨ aussere Feld zu charakterisieren. F¨ ur den Fall isotroper

¹

Dielektrika (Gl¨ aser, Plastik, polykristalline Materialien, kubische Kristalle) gilt mit (2), (3):

P ~ = χ

e

ε

◦

E , ~ und mit ε := 1 + χ

e

: D ~ = ε

◦

E ~ + P ~ = ε

◦

(1 + χ

e

) E ~ = ε

◦

ε ~ E C

m

²

. (4) Die dimensionslose Materialkonstante ε heisst relative Dielektrizit¨ atskonstante. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Optik (Bsp. Brechungsindex). χ

e

ist wieder die Suszeptibilit¨ at; im Vakuum ist χ

e

= 0, ε = 1 und damit D ~ = ε

◦

E. ~

1

Anisotrope Dielektika sind i.A. nichtkubische Kristalle mit einer Kristallstruktur, die in verschiedenen Raumrichtungen

unterschiedlich ist. Die Dielektrizit¨ atskonstante

ε

ist dann ein Tensor und

D~

steht nicht parallel zu

E.~

Dielektrizit¨ atskonstanten ε und χ

e

einiger Materialien bei Normaldruck und 20

^◦

C; es ist immer ε > 1.

Material ε χ

_e

Material ε χ

_e

Vakuum 1 0 Luft 1.00059 0.0059

He 1.000060 0.000060 O

2

1.000486 0.000486

Benzol 2.3 1.3 Aceton 21 20

Bernstein 2.8 1.8 TiO

2

40. . . 80 40. . . 80 Paraffin 1.9 . . . 2.2 1.1 Glas 5 . . . 7 4 . . . 6

Wasser 81 80 Eis 3 2

Zusammenfassung der Grundversuche:

V=konstant Q=konstant

V = V

Vac

V = V

Vac

/ε < V

Vac

Q = εQ

Vac

> Q

Vac

Q = Q

Vac

E = E

Vac

E = E

Vac

/ε < E

Vac

D = σ = εε

_◦

E = εε

_◦

E

Vac

D = σ = εε

_◦

E = ε

_◦

E

Vac

C = Q/V = εC

Vac

= εε

_◦

A/d C = Q/V = εC

Vac

= εε

_◦

A/d

Mit einem Dielektrikum kann die Kapazit¨ at eines Kondensators um ε erh¨ oht werden. (E

Vac

, V

Vac

und C

_Vac

sind die Gr¨ ossen im Vakuum.)

Der verallgemeinerte Gauss’sche Satz

F¨ ur einen Kondensator mit Dielektrikum gilt mit dem Gauss’schen Satz

²

, H Ed ~ ~ A = q

ein

/

0

,

−−−−−−−−−−−−−−−−

++++++++++++++++

+ + + + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − − − −

σ

p

6 E

_n^L

= 0 σ

? E

n

Dielektrikum Leiter

Leiter

I

Ed ~ ~ A = Z

E

_n

dA = 1 ε

◦

Z

(σ − σ

_p

)dA = 1 ε

◦

Z

(σ − P

_n

)dA , oder mit Q, der wahren Ladung ohne Polarisationsladung,

ε

_◦

Z

E

n

dA + Z

P

n

dA = Z

σdA = Q ; und da aus Gleichung (3) D ~ = ε

_◦

E ~ + P ~ ist, also D

n

= ε

_◦

E

n

+ P

n

, erhalten wir hieraus den

allgemeinen Gauss’schen Satz I

Dd ~ ~ A = Z

D

_n

dA = Q (5)

bzw. - in differentieller Form - die 1. Maxwell Gleichung mit Dielektrikum ∇ · D ~ = ρ . (6)

Der Fluss des D-Feldes durch eine ~ geschlossene Fl¨ ache ist gleich der Summe der eingeschlossenen Ladun- gen. Die Polarisationsladungen sind im D-Feld enthalten und d¨ ~ urfen auf der rechten Seite der Gleichung nicht mitgez¨ ahlt werden. Die differentielle Form Gl.(6) ist die 1. Maxwell Gleichung mit einem Dielektri- kum; sie wird analog zur 1. Maxwell Gleichung

³

ohne Dielektrikum (∇ E ~ = ρ/ε

_◦

) hergeleitet.

Elektrostatische Probleme mit Dielektrika k¨ onnen entweder mit den Gr¨ ossen E, σ, ~ ~ P , σ

_p

gel¨ ost werden, oder mit E, σ, ~ ~ D. Da die dielektrische Verschiebung D ~ die Polarisationsladungen bereits einschliesst, m¨ ussen nur noch die wahren Ladungen ber¨ ucksichtigt werden. (Im Allgemeinen ist D ~ das einfachere Feld

2

Vgl. Halliday, Kap.24-4.

3

Siehe Erg¨ anzungen

” Die Poissongleichung“.

zur Berechnung, aus dem dann das physikalische Feld E ~ abgeleitet werden kann.) Die Feldst¨ arke in einem Dielektrikum variiert im atomaren Bereich von Ort zu Ort, sie kann daher nur als ein Mittelwert ¨ uber einen gr¨ osseren Volumenbereich aufgefasst und nicht etwa atomistisch interpretiert werden.

Beispiele zu Dielektrika

Das Verhalten der Feldst¨ arken an den Grenzfl¨ achen.

a) Leiter-Dielektrikum Eine geschlossene Gauss’sche Fl¨ ache habe die Form einer Pillenschachtel, mit der Grund- und Deckfl¨ ache d ~ A parallel zur Grenzfl¨ ache. E ~ und D ~ stehen senkrecht auf der Leiter- oberfl¨ ache, im Innern des Leiters sind beide Felder null. Mit dem allgemeinen Gauss’schen Satz, H D d ~ ~ A = Q, integriert ¨ uber die geschlossene Fl¨ ache, wobei die Integrale ¨ uber die Seitenfl¨ achen sich aufheben, gilt

+ +

+ +

+ +

+

−

−

−

−

−

−

− σ σ

p

ε

Leiter

E = 0 D = 0

Dielektrikum

@

@

@

@ @

@

@

@

@ @

dA D ~ E ~

P ~

@

@

@

@

@

@

@

@

@

D · dA = σ · dA also D = D

⊥

= σ.

Daraus folgt mit D = εε

◦

E und D = ε

◦

E + P sowie der Eigenschaft, dass P ~ von −σ

p

nach +σ

_p

zeigt (| P ~ | = −σ

p

, siehe Gleichung (1)):

E = D εε

_◦

= σ

εε

_◦

⇒ σ

p

= −P = ε

_◦

E − D = −σ

1 − 1 ε

,

eine Beziehung zwischen σ

p

auf dem Dielektrikum und σ auf dem Leiter.

b) Dielektrikum-Dielektrikum

ε

₂

ε

1

@

@

@

@

@

@

@

@

@ @ R

@ @ R

D_2n D_1n

D ~

2

D ~

₁

@

@

@

@

@

@

@ @ 1 *

Tr¨ agt die Trennfl¨ ache nur Polarisationsladungen, d.h. σ

p

6= 0 und σ = 0, so gilt mit Gl. (5) (wobei sich die Fl¨ achenintegrale ¨ uber die Seiten- fl¨ achen der Pillenschachtel wiederum aufheben): D

1n

dA − D

2n

dA = 0, also D

1n

= D

2n

bzw. ε

1

E

1n

= ε

2

E

2n

. Die Normalkomponente von D ~ ist an der Trennfl¨ ache stetig. Die Normalkomponente von E ~ ¨ andert sprunghaft.

ε

₂

ε

1 A

D

C B

@

@

@

@

@

@

@

@

@ @ R

@ @ R

E1t

E2t

E ~

₂

E ~

1

@

@

@

@

@

@

@ @ 1

*

Wird ferner ein geschlossener Weg ABCD betrachtet, wobei AB=CD= d, d parallel zur Trennfl¨ ache, so gilt mit H Ed~l ~ = 0, integriert ¨ uber den geschlos- senen Weg, wobei sich die Wegintegrale ¨ uber die Seitenstrecken senkrecht zur Trennfl¨ ache aufheben (das elektrostatische Feld hat ein Potential, daher gilt ∇ × E ~ = 0): E

_1t

d − E

_2t

d = 0, also E

_1t

= E

_2t

bzw. D

_1t

/ε

₁

= D

_2t

/ε

₂

. In Worten ausgedr¨ uckt: Die Tangentialkomponente von E ~ ist an der Trenn- fl¨ ache stetig, die Tangentialkomponente von D ~ hingegen ¨ andert sprunghaft.

Die obigen zwei Eigenschaften f¨ uhrt zum Brechungsgesetz der Feldlinien an der Trennfl¨ ache (vgl. das Brechungsgesetz in der Optik): Es ist tan α

₁

= E

_1t

/E

_1n

und tan α

₂

= E

_2t

/E

_2n

und damit lautet das

ε

₁

ε

₂

6

6

E_1n

E2n

E2t

E1t

>

E ~

2

E ~

1

α

₂

α

₁

Brechungsgesetz (mit E

_1t

= E

_2t

) : tan α

₁

tan α

2

= E

_2n

E

1n

= ε

₁

ε

2

.

c) Plattenkondensator mit einem Teil eines Dielektrikums Um die Durchschlagfestigkeit eines

Plattenkondensators bei konstanter Spannung zu verbessern, steckt jemand ein Dielektrikum zwischen

die Platten, das nur einen Teil des Plattenabstandes f¨ ullt. Es gilt f¨ ur den Abstand d

ε

ohne Dielektrikum

1

2 V =konst.

ε

_◦

ε

6

? d

ε

d 6

?

E

0

=

_d+d^V

ε

(ohne Dielektrikum), und mit Dielektrikum D

1

= ε

◦

E

1

= D

2

= εε

◦

E

2

⇒ E

2

= E

1

/ε .

Somit ist V =

2

Z

1

E ds = E

₁

d + 1

ε E

₁

d

_ε

= E

₁

d + d

_ε

ε

= E

₀

(d + d

_ε

).

Da ε > 1 folgt E

0

< E

1

, d.h. im Luftspalt wird das Feld gr¨ osser und dieser so “ge- sch¨ utzte” Kondensator schl¨ agt, wenn mit E

1

die Durchschlagsfeldst¨ arke erreicht wird, eher durch. Statt- dessen h¨ atte die Dicke des Dielektrikums gerade so gew¨ ahlt werden m¨ ussen, dass d = 0 gegolten h¨ atte.

d) Felder einer Kugel oder einer Punktladung im unendlichen Dielektrikum k¨ onnen wie die E-Felder im Vakuum geschrieben werden, es muss einzig ~ ε

◦

durch εε

◦

ersetzt werden:

D ~ = Q~ r

4πr

³

, ~ E = Q~ r

εε

_◦

4πr

³

. F¨ ur zwei Punktladungen Q

1

und Q

2

gilt F ~ = E(~ ~ r

12

) · Q = Q

₁

· Q

₂

~ r

₁₂

εε

_◦

4πr

³₁₂

; durch das Dielektrikum wird die Kraft zwischen den zwei Ladungen gegen¨ uber derjenigen im Vakuum um den Faktor

¹_ε

verringert.

Eine atomistische Interpretation der Dielektrizit¨ atskonstante

Eine atomistische Interpretation der Dielektrizit¨ atskonstante muss im molekularen Bau der Materie ge- sucht werden. Es gibt nichtpolare, bez¨ uglich ihrer Ladung symmetrische Molek¨ ule (z.B. CO

2

) und polare, unsymmetrische (z.B. H

2

O):

O

j

C

j

O

j CO

2

CH

4 C

i

A A A A x x

x

H x H

Nichtpolare Molek¨ ule

Die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungen fallen zu- sammen, die symmetrischen Molek¨ ule haben kein permanentes Dipol- moment. Ein ¨ ausseres E-Feld verschiebt die Ladungen und induziert ~ damit einen elektrischen Dipol proportional zum Feld E ~

_F

am Molek¨ ul

~

p

_e

= p

_m

· E ~

_F

, wobei p

_m

die molekulare elektrische Polarisierbarkeit, eine Konstante des Molek¨ uls, ist. E ~

_F

ist nicht elementar berechenbar, es h¨ angt vom Einfluss der Nachbarmolek¨ ule ab, kann aber f¨ ur isotrope Substanzen durch das innere Feld und die Polarisation ausgedr¨ uckt werden als E ~

_F

= E ~

_innen

+ P /(3ε ~

_◦

) . F¨ ur n Molek¨ ule ist dann n · ~ p

e

= P ~ = n · p

m

( E ~

innen

+ P /(3ε ~

_◦

)) ⇒ P ~ = [(n · p

m

)/(1 −

^n·p_3ε^m

◦

)] E ~

innen

, und mit D ~ = εε

_◦

E ~ = ε

_◦

E ~ + P ~ sowie P ~ = ε

_◦

(ε − 1) E ~ : n · p

m

3ε

_◦

= ε − 1

ε + 2 – die Clausius-Masotti Formel . Damit besteht ein Zusammenhang zwischen der makroskopischen Dielektrizit¨ atskonstanten ε und der mikroskopischen, molekularen elektrischen Polarisierbarkeit p

m

. Die induzierten Dipole tragen mit dem Wert ε zum Wert εε

_◦

, der absoluten Dielektrizit¨ atskonstanten des Materials, bei. ε ist nicht von der Temperatur abh¨ angig.

H

j

O

j X X

H

j H

2

O

H

j

Cl

j HCl

Polare Molek¨ ule

Die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungen fallen nicht zusammen. Polare, nichtsymmetrische Molek¨ ule haben daher ein per- manentes Dipolmoment ~ p = q ~ d (mit dem Abstand der beiden Schwer- punkte d). ~

P As·m V/m

1 3 5 10^-3 °C^-11/T 1

10^{-3 9} .

HCl

CH₄ .

Im E-Feld erhalten die zun¨ ~ achst ungeordneten Dipole eine Orientierung

in Feldrichtung und erzeugen damit eine Polarisierung des Dielektri-

kums. Dieser Polarisierung wirkt die W¨ armebewegung mit zunehmender

Temperatur entgegen – ε ist von der Temperatur abh¨ angig. Zus¨ atzlich

muss, wie bei den nichtpolaren Molek¨ ulen, noch der Anteil der indu-

zierten Dipole ber¨ ucksichtigt werden.Eine genaue Berechnung der Tempe-

raturabh¨ angigkeit ist elementar nicht m¨ oglich. Die Frequenzabh¨ angigkeit

ε = ε(ω) ist wichtig f¨ ur die Optik.