Fl¨achenformeln 06

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6. Klasse ¨ Ubungsaufgaben 6

Fl¨achenformeln 06

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Dazu muss eventuell beim Ausdrucken mit dem adobe acrobat reader

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”Tats¨achli- che Gr¨oße“ eingestellt werden, damit der Ausdruck in einer Gr¨oße von 100 % erscheint.

1. Berechne die Fl¨acheninhalte:

15 mm

6

? 1 cm (a)

1,5 cm

6

? 1,2 cm (b)

Z Z

Z Z 90^◦ 1¹₄ cm

1²₃ cm (c)

Z Z

ZZ 2,4 cm 0,6 cm

6

? 9 mm (d)

2. Finde eine Formel f¨ur die Fl¨ache einer Raute mit den Diagonaleneundf!

Eine Raute (auch Rhombus genannt) ist ein Viereck, in dem alle Seiten gleich lang sind. Diese sind dann auch immer parallel, so dass die Raute ein spezielles Parallelogramm ist. Außer mit der Formel f¨ur die Parallelogramm-Fl¨ache kann man die Fl¨ache einer Raute auch mit Hilfe der Diagonaleneundf bestimmen, die sich senkrecht halbieren.

HH

HH

HH H

HH HH

e f H

3. Gegeben ist die nebenstehende Karte, die stark ver- einfacht Schleswig-Holstein im Maßstab 1:4 000 000 zeigt. N¨ahere das Fl¨achenst¨uck durch ein Parallelo- gramm mit etwa gleicher Fl¨ache, entnimm der Karte die entsprechenden Maße, rechne im Maßstab um und berechne damit die ungef¨ahre Fl¨ache von Schleswig- Holstein!

Hamburgq L¨ubeckq Kiel q

4.

aa

aaa!!!!!

rot rot

weiß

Berechne den prozentualen Anteil (auf ganze Prozent gerundet) der ro- ten Farbe des nebenstehenden Wap- pens!

5. Berechne die Oberfl¨ache des Zelts (einschließ- lich Boden)!

@

@

@ C

C C

C C

C

C C

C C

C C

2,5 m 1,5 m 1,8 m

6

?

1,2 m

6. Gegeben ist ein Parallelogramm mit AB = CD = 12 cm und H¨ohe 5 cm.

Die Seite[AB]ist durch den Mittelpunkt M in zwei gleich große Teile geteilt. Wie muss man die Seite[CD]teilen, damit die entstehenden Fl¨achenst¨ucke I, II und III (siehe Skizze) gleich groß sind?

, ,

, ,

, ,

, ,, L

L L

L L

L

LL

I II III

A B

C D

M

L K

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6. Klasse L¨osungen 6

Fl¨achenformeln 06

1. (a) Parallelogramm:A=g·h= 15mm·1cm= 15·10mm² = 150mm² = 1,5cm² (b) Dreieck:A= ¹₂ ·a·h_a= ¹₂ ·1,5·1,2cm² = 0,9cm²

(c) Dreieck mit Grundlinie c = 1¹₄ cm= ⁵₄ cm und darauf senkrechter H¨ohe h_c= 1²₃ cm= ⁵₃ cm:A= ¹₂ ·c·h_c = ¹₂ · ⁵₄ · ⁵₃ cm² = ²⁵₂₄ cm² = 1₂₄¹ cm²

(d) Trapez mit Mittelliniem= ^0,6+2,4₂ cm= 1,5cm und H¨oheh= 0,9cm:

A=m·h= 1,5·0,9cm² = 1,35cm²

2. Betrachtet man die Raute als halbes Rechteck, so sieht

man die FormelA= ¹₂ ·e·f

HH

H H

HH

e

f

3. Maßstab: 1 cm Karte entsprechen 4 000 000 cm = 40 km Natur.

(Lexikon:

15770 km²)

Hamburgq L¨ubeckq Kielq

Bei nebenstehendem Parallelogramm, bei dem un- gef¨ahr gleich viel Land außerhalb des Parallogramms liegt wie innerhalb des Parallelogramms fehlt, misst man als Grundlinie (auf der Karte senkrecht in Nord- S¨ud-Richtung verlaufend) 2,8 cm und als H¨ohe (Ab- stand der beiden Parallelen in West-Ost-Richtung ge- messen) 3,5 cm.

2,8 cm Karte= 2,8^∧ ·40km= 112km Natur, 3,5 cm= 3,5^∧ ·40km= 140km Natur.

Also Parallelogrammfl¨acheA=g·h= 112·140km² = 15680km² ≈16000km² 4. Rote Fl¨ache: Zwei Trapeze mit parallelen Seitena= 3,2cm undc= 3,6cm und H¨ohe

h= 1cm, alsoA_rot = 2·^a+c₂ ·h= 2· ^3,2+3,6₂ ·1cm² = 6,8cm². Das gesamte Wappen kann z. B. zerlegt werden (siehe Skizze) in ein Rechteck (3,2 cm lang und 3 cm breit) und ein Dreieck (Grundlinie 3 cm und H¨ohe 0,6 cm):

A_ges = 3,2·3cm²+ ¹₂ ·3·0,6cm² = 9,6cm²+ 0,9cm² = 10,5cm². Prozentualer Anteil: ^A_A^rot

ges = _10,5^6,8 = 68 : 105 = 0,647. . .≈65%

aaa!!!

5. Boden: Rechteck1,8·2,5m² = 4,5m².

Zwei rechteckige Dachfl¨achen:2·2,5·1,5m² = 7,5m² Zwei dreieckige Seitenfl¨achen:2· ¹₂ ·1,8·1,2m² = 2,16m² Gesamte Oberfl¨ache:4,5m²+ 7,5m²+ 2,16m² = 14,16m² 6. Fl¨ache des Parallelogramms:A= 12·5cm² = 60cm²

Also m¨ussen die St¨ucke I, II, III je 20 cm² groß sein.

Das Dreieck II hat H¨oheh = 5cm. DamitA= ¹₂ ·KL·h= ¹₂ ·KL·5cm= 20cm² ist, muss die DreiecksgrundlinieKL= 8cm sein. Somit bleiben12cm−8cm = 4 cm f¨ur die oberen Begrenzungslinien der St¨ucke I und III.

I und III sind Trapeze mit gleicher Fl¨ache 20 cm², gleicher H¨ohe 5 cm und gleicher

”Grundseite“ AM = M B = 6 cm. Also muss auch die andere Parallelseite oben gleich lang sein, also je 2 cm. Somit wird die Seite[CD]im Verh¨altnis 2:8:2 geteilt.