Vorkurs Mathematik

(1)

Vorkurs Mathematik

Regula Krapf

Universität Koblenz-Landau, Campus Koblenz

10. April 2017

(2)

Inhalt

1 Einleitung

2 Logik und Beweismethoden Aussagenlogik

Direkte und indirekte Beweise Fallunterscheidung

Prädikatenlogik

Existenz-und Nichtexistenzbeweise

3 Natürliche Zahlen Rekursion

Vollständige Induktion Der Binomische Lehrsatz

4 Mengen

Mengenschreibweise

Mengenoperationen und weitere Beweismethoden

(3)

Was ist Mathematik?

eine Hilfswissenschaft bzw. ein Werkzeug für die Natur- und Ingenieurwissenschaften?

Rechnen und Algorithmen?

eine Form der Kunst?

die Wissenschaft von Zahlen und Formen?

die Wissenschaft von Beweisen?

eine Sprache?

(4)

Ziel des Vorkurses

Kennenlernen der mathematischen Fachsprache Vertrautheit mit Beweisen

Struktur von Vorlesungen und Übungen Wiederholen des Schulstoffes

Erster Einblick in die Hochschulmathematik Austausch mit anderen Studienanfängern

Man lernt Mathematik nicht, man gewöhnt sich nur daran.

Paul Erdös

(5)

Einleitung: Logikrätsel

Anne, Benjamin und Carina machen folgende Aussagen:

Anne sagt: “Benjamin lügt!”

Benjamin sagt: “Carina lügt!”

Carina sagt: “Anne lügt oder Benjamin lügt!”

Wer sagt die Wahrheit?

(6)

Aussagen

Definition

Eine Aussageist ein Satz, von denen man sinnvoll und vor allem eindeutig sagen kann, ob er wahr oder falsch ist.

Welche der folgenden Sätze sind Aussagen? Sind sie wahr oder falsch?

1 Der Boden ist nass.

2 2 ist eine Primzahl.

3 Was soll das?

4 7 ist durch 3 teilbar.

5 Komm her!

6 Wenn der Mond ein gelber Käse ist, so ist die Erde eine Scheibe.

(7)

Kombinationen von Aussagen (1)

SeienA,B Aussagen.

Definition

DieNegation¬A(“nicht A”) ist genau dann wahr, wennA falsch ist.

DieKonjunktion A∧B (“AundB”) ist genau dann wahr, wennA wahr ist und B wahr ist.

DieDisjunktion A∨B (“AoderB”) ist genau dann wahr, wenn A wahr ist oderB wahr ist oder beide.

A∨B ist das sogenannteinklusive Oder, im Gegensatz zumexklusiven Oder (A∨B)∧ ¬(A∧B).

(8)

Wahrheitstafeln

Aussagen können durch sogenannteWahrheitstafeln dargestellt werden:

A B ¬A A∧B A∨B wahr wahr falsch wahr wahr wahr falsch falsch falsch wahr falsch wahr wahr falsch wahr falsch falsch wahr falsch falsch

(9)

Rechenregeln (1)

Wie lautet die Negation folgender Aussagen?

A ¬A

Koblenz ist grossundschön. Koblenz ist kleinoder hässlich.

Koblenz ist nicht grossoder nicht schön.

Koblenz ist grossoder schön. Koblenz ist kleinundhässlich.

Koblenz ist nicht grossundnicht schön.

Fazit: Die Negation vertauscht ∧ und ∨.

(10)

Rechenregeln (1)

A ¬A

(11)

Rechenregeln (1)

A ¬A

(12)

Rechenregeln (2)

Definition

Zwei Aussagen Aund B sind logisch äquivalent, falls sie dieselbe Wahrheitstafel haben. In diesem Fall schreiben wir A≡B.

Beispiel Es gilt:

1 ¬(A∧B)≡ ¬A∨ ¬B

2 ¬(A∨B)≡ ¬A∧ ¬B.

A B A∧B ¬(A∧B) ¬A ¬B ¬A∨ ¬B wahr wahr wahr falsch falsch falsch falsch wahr falsch falsch wahr falsch wahr wahr falsch wahr falsch wahr wahr falsch wahr

(13)

Rechenregeln (2)

Definition

Zwei Aussagen Aund B sind logisch äquivalent, falls sie dieselbe Wahrheitstafel haben. In diesem Fall schreiben wir A≡B.

Beispiel Es gilt:

1 ¬(A∧B)≡ ¬A∨ ¬B

2 ¬(A∨B)≡ ¬A∧ ¬B.

A B A∨B ¬(A∨B) ¬A ¬B ¬A∧ ¬B wahr wahr wahr falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr falsch falsch falsch falsch falsch falsch wahr wahr wahr wahr

(14)

Kombination von Aussagen (2)

SeienA,B Aussagen.

Definition

DieImplikationA⇒B (“Aimpliziert B” bzw. “wennAgilt, so auch B”) ist genau dann wahr, wenn, falls Awahr ist, auch B wahr ist.

DieÄquivalenzA⇔B (“A ist äquivalent zuB” bzw. “Agilt genau dann, wenn B gilt”) ist genau dann wahr, wennA⇒B und B ⇒A wahr sind.

Bei A⇒B haben wir 2 Fälle:

1 Aist wahr: Dann ist A⇒B genau dann wahr, wenn B wahr ist.

2 Aist falsch: Dann ist A⇒B immer wahr.

(15)

Die Implikation

Wir betrachten die Aussage

Wennp eine Primzahl>2 ist, so ist p ungerade,

für p∈N. Die Aussage scheint offensichtlich wahr zu sein. Das bedeutet aber, dass siefür jedes p∈Nwahr ist.

Also müssen die Aussagen

1 Wenn 1 eine Primzahl >2 ist, so ist 1 ungerade.

...

wahr sein.

(16)

Implikation und Äquivalenz

Die Implikation und die Äquivalenz haben folgende Wahrheitstafeln:

A B A⇒B A⇔B

wahr wahr wahr wahr

wahr falsch falsch falsch falsch wahr wahr falsch falsch falsch wahr wahr

(17)

Rechenregeln Implikation (1)

Wir betrachten die Aussagen A: Der Boden ist nass.

B: Es regnet.

Welche der folgenden Aussagen sind (logisch) äquivalent?

1 Wenn es regnet, dann ist der Boden nass.

2 Entweder es regnet nicht oder der Boden ist nass.

3 Wenn es nicht regnet, so ist der Boden nicht nass.

4 Wenn der Boden nicht nass ist, so hat es nicht geregnet.

(18)

Rechenregeln Implikation (2)

Satz

Für AussagenA undB giltA⇒B ≡ ¬A∨B ≡ ¬B ⇒ ¬A.

Manchmal definiert man A⇒B auch als Abkürzung von¬A∨B.

Beweis.

Wir vergleichen die Wahrheitstafeln von A⇒B,¬A∨B und ¬B⇒ ¬A:

A B A⇒B ¬A ¬A∨B ¬B ¬B ⇒ ¬A wahr wahr wahr falsch wahr falsch wahr wahr falsch falsch falsch falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr wahr wahr

(19)

Weitere Rechenregeln

Es gibt viele weitere Rechenregeln:

Satz

SeienA,B und C Aussagen. Dann gilt:

1 ¬(¬A)≡A.

2 A∨ ¬Aist immer wahr (Tertium non datur).

3 A∧ ¬Aist immer falsch.

4 A∧A≡Aund A∨A≡A (Idempotenz).

5 A∧(B∧C)≡(A∧B)∧C und

A∨(B∨C)≡(A∨B)∨C (Assoziativität).

6 A∧B ≡B∧AundA∨B≡B∨A(Kommutativität).

7 A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C)und

A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C)(Distributivität).

8 A⇔B ≡(A⇒B)∧(B ⇒A)≡(A∧B)∨(¬A∧ ¬B).

(20)

Die Implikation

Oft werden Implikationen im Alltag falsch angewendet:

Donald Trump, 2015

Free trade is terrible. Free trade can be wonderful if you have smart people.

But we have stupid people.

Die Implikation ist

You have smart people ⇒ free trade can be wonderful.

Daraus folgt aber nicht

You have stupid people ⇒ free trade is terrible.

(21)

Die Implikation

DasKäse-Paradoxon besagt Folgendes:

Käse-Paradoxon

Je mehr Käse, desto mehr Löcher.

Je mehr Löcher, desto weniger Käse.

Also: Je mehr Käse, desto weniger Käse!

Oder?

Übersetzt in die Sprache der Logik:

K ⇒L L⇒ ¬K Folglich K ⇒ ¬K? Rein logisch gesehen ist das korrekt, denn

((A⇒B)∧(B ⇒C))⇒(A⇒C) ist eine Tautologie.

(22)

Die Implikation

Käse-Paradoxon

Oder?

(23)

Die Implikation

Käse-Paradoxon

Oder?

((A⇒B)∧(B ⇒C))⇒(A⇒C) ist eine Tautologie.

(24)

Zurück zum Logikrätsel

Wir übersetzen das Rätsel in aussagenlogische Formeln:

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(25)

Zurück zum Logikrätsel

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(26)

Zurück zum Logikrätsel

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(27)

Zurück zum Logikrätsel

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(28)

Des Rätsels Lösung

Wir betrachten die Wahrheitstafel:

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

wahr wahr wahr falsch falsch falsch

wahr wahr falsch falsch wahr wahr

wahr falsch wahr wahr wahr wahr

wahr falsch falsch wahr falsch falsch

falsch wahr wahr wahr falsch wahr

falsch wahr falsch wahr wahr falsch

falsch falsch wahr falsch wahr wahr

falsch falsch falsch falsch falsch falsch

⇒ Anne und Carina sagen die Wahrheit, Benjamin lügt.

(29)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(30)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(31)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(32)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(33)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

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Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(35)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

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Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(37)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(38)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(39)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(40)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(41)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(42)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(43)

Des Rätsels Lösung

A B C A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B

(44)

Was ist ein Beweis?

Beispielen Zeichnungen

Begründungen/Erklärungen geometrische Konstruktionen

Herleitungen, bspw. durch Termumformungen vollständige Induktion

...

(45)

Was ist ein Beweis?

Blaise Pascal

Alles muß bewiesen werden, und beim Beweisen darf man nichts außer Axiomen und früher bewiesenen Sätzen benutzen.

(46)

Wieso Beweise?

Richard Dedekind

Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.

Beweise in der Mathematik und im Unterricht haben viele Funktionen:

Erkenntnissicherung

Begründung/Veranschaulichung Überzeugen und Kommunizieren

Finden von neuen mathematischen Sätzen und Begriffen

(47)

Wieso Beweise?

Richard Dedekind

Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.

Beweise in der Mathematik und im Unterricht haben viele Funktionen:

Erkenntnissicherung

Begründung/Veranschaulichung Überzeugen und Kommunizieren

Finden von neuen mathematischen Sätzen und Begriffen

(48)

Direkter Beweis

Beimdirekten Beweis möchte man eine Implikation A⇒B

beweisen.

FallsAfalsch ist, so ist die Implikation wahr.

Es bleibt also zu zeigen: WennA wahr ist, so ist auch B wahr.

Man nimmt an, dassA wahr ist und folgert, dass dann auchB wahr sein muss.

Beispiel (2. Binomische Formel)

Für alle a,b ∈Rgilt (a−b)² =a²−2ab+b².

(49)

Direkter Beweis (2)

Möchten zeigen:A⇒B. Dazu zeigt man oftZwischenresultate, also A⇒A₁ ⇒A₂⇒ · · · ⇒A_n⇒B.

Wir nehmen Aan, folgern daraus A1, dannA2,. . . , dann A_n und daraus folgern wir B.

Beispiel (Logarithmus-Gesetz) Man definiert:

log_au =x ⇐⇒a^x =u.

Dann gilt log_a(u·v) =log_a(u) +log_a(v).

(50)

Kontraposition

Definition

DieUmkehrung einer Implikation A⇒B ist die ImplikationB ⇒A.

DieKontraposition einer Implikation A⇒B ist die Implikation

¬B ⇒ ¬A.

Was ist die Umkehrung/Kontraposition von

“Wenn es regnet, so ist der Boden nass”?

Umkehrung: “Wenn der Boden nass ist, so regnet es”.

Kontraposition: “Wenn der Boden nicht nass ist, so regnet es nicht”.

(51)

Kontrapositionsbeweise

BeimKontrapositionsbeweis zeigt man¬B ⇒ ¬AstattA⇒B. Beispiel

Eine natürliche Zahl n∈Nheißt

gerade, falls es ein k ∈Ngibt mitn =2k.

ungerade, falls es ein k ∈Ngibt mit n=2k+1.

Behauptung: Wennn² gerade ist, so ist auch n gerade.

(52)

Kontrapositionsbeweise

BeimKontrapositionsbeweis zeigt man¬B ⇒ ¬AstattA⇒B. Beispiel

Eine natürliche Zahl n∈Nheißt

gerade, falls es ein k ∈Ngibt mitn =2k.

ungerade, falls es ein k ∈Ngibt mit n=2k+1.

Behauptung: Wennn² gerade ist, so ist auch n gerade.

(53)

Kontrapositionsbeweise: Stufenwinkelsatz

Der Stufenwinkelsatz besagt Folgendes:

Seieng,h undk Geraden, sodassk sowohlg als auchh schneidet. Falls g und h parallel sind, so sind alle Stufenwinkel (bzgl. k) gleich groß.

g

h

k α

β

Gilt auch die Umkehrung, d.h. wenn die Stufenwinkel von g undh (bzgl.k) gleich groß sind, sind danng undh parallel?

(54)

Widersprüche

Definition

Ein Widerspruchist eine Formel der Form A∧ ¬A.

Aus einem Widerspruch kann man alles folgern (ex falso quodlibet):

A∧ ¬A⇒B

ist immer wahr, da A∧ ¬A immer falsch ist.

Beispiel

Falls der Mond ein gelber Käse ist, so ist die Erde eine Scheibe.

Falls Bielefeld existiert, so gilt 0=1.

(55)

Widerspruchsbeweise

Wenn man in einem Beweis auf einen Widerspruch stößt, so ist die Annahme falsch: Wenn

B ⇒A∧ ¬A

wahr ist, so muss B falsch sein, da Widersprüche immer falsch sind.

Widerspruchsbeweise verwendet man wie folgt:

(1) Statt B zu zeigen, leiten wir aus¬B einen Widerspruch her.

(2) Statt A⇒B zu zeigen, leiten wir ausA∧ ¬B einen Widerspruch her.

Typ (1) ist ein Spezialfall von Typ (2).

Begründung für (2): Wenn A∧ ¬B zu einem Widerspruch führt, so ist A⇒B wahr wegen

¬(A∧ ¬B)≡ ¬A∨ ¬(¬B))≡ ¬A∨B ≡A⇒B.

(56)

Logik und Beweismethoden Direkte und indirekte Beweise

Widerspruchsbeweise: Irrationalität von √ 2:

Dierationalen ZahlenQsind alle Brüche, d.h. Zahlen der Form ^p_q mitp ∈Zund q ∈N.

Diereellen Zahlen Rsind alle Dezimalbrüche.

Dieirrationalen Zahlen R\Qsind die reellen Zahlen, die nicht rational sind, d.h. alle nicht-abbrechenden nicht-periodischen Dezimalbrüche.

Satz√

2ist irrational, d.h.√

2∈R\Q.

(57)

Widerspruchsbeweise: Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Satz des Pythagoras

Falls ein Dreieck rechtwinklig ist mit Hypothenusec und Kathetena,b, so gilta²+b² =c².

Wie lautet die Umkehrung des Satzes von Pythagoras?

Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Falls in einem Dreieck mit Seitenlängena,b und c die Gleichheit

a²+b² =c² gilt, so ist der Winkel zwischen aund b ein rechter Winkel.

(58)

Satz des Pythagoras

(59)

Satz des Pythagoras

(60)

Satz des Pythagoras

(61)

... nochmals zurück zum Logikrätsel

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(62)

... nochmals zurück zum Logikrätsel

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

Wir zeigen per Widerspruch, dass C wahr ist:

Wäre C falsch, so wäreB wahr und somitA falsch. Dann wäre aber auch

¬A∨ ¬B wahr, und somit auchC, ein Widerspruch.

Also ist C wahr und somitB falsch undA wahr, d.h. Anne und Carina sagen die Wahrheit und Benjamin lügt.

(63)

... nochmals zurück zum Logikrätsel

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(64)

... nochmals zurück zum Logikrätsel

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(65)

Einleitung: Logikrätsel

Wer sagt die Wahrheit?

(66)

Lösung durch Ausprobieren

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

Intuitive Vorgehensweise: Einfach ausprobieren, beispielsweise ob Benjamin die Wahrheit sagt:

Falls ja, so lügen Anne und Carina. Dann ist aber die Aussage “ Anne lügt oder Benjamin lügt” wahr, also sagt Carina die Wahrheit.⇒ Widerspruch!

Falls nein, so sagen Anne und Carina die Wahrheit.⇒ Alle drei Aussagen sind wahr.

(67)

Lösung durch Ausprobieren

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(68)

Lösung durch Ausprobieren

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(69)

Lösung durch Ausprobieren

A⇔ ¬B B ⇔ ¬C C ⇔ ¬A∨ ¬B.

(70)

Fallunterscheidung

BeimBeweis durch Fallunterscheidung möchte manA∨B ⇒C folgern. Dazu zeigt man

A⇒C und B ⇒C.

Ein Spezialfall ist: Statt C zeigt man A⇒C und

¬A⇒C. Beispiel

Für jedes x∈Rgiltx² ≥0.

(71)

Fallunterscheidung

A⇒C und B ⇒C.

¬A⇒C. Beispiel

(72)

Fallunterscheidung

A⇒C und B ⇒C.

¬A⇒C. Beispiel

(73)

Der Betrag

Fallunterscheidungen werden oft beiBetrags(un)gleichungen verwendet:

Für x∈Rdefinieren wir

|x|:=

(x x ≥0,

−x x <0.

DieBetragsfunktionentspricht für x<0 einer Spiegelung an der x-Achse:

−3 −2 −1 1 2 3

−1 1 2

0

(74)

Der Betrag

Fallunterscheidungen werden oft beiBetrags(un)gleichungen verwendet:

Für x∈Rdefinieren wir

|x|:=

(x x ≥0,

−x x <0.

DieBetragsfunktionentspricht für x<0 einer Spiegelung an der x-Achse:

−3 −2 −1 1 2 3

1 2

0

(75)

Prädikate

Wie kann man eine Aussage wie Alle Frauen sind schön.

Jede Primzahl>2 ist ungerade.

Es gibt keine Marsmenschen.

Jede Zahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung.

mathematisch ausdrücken?

Ein PrädikatP(x) ist eine Eigenschaft, die von einer (oder mehreren) Variablenx abhängt.

Beispiel

Beispiele für Prädikate sind S(x) = “x ist schön”.

U(x) = “x ist ungerade”.

Dann ist S(Koblenz) ist die Aussage “Koblenz ist schön”;U(2)besagt “2 ist ungerade”.

(76)

Prädikate

Beispiel

(77)

Prädikate

Beispiel

Dann ist S(Koblenz) ist die Aussage “Koblenz ist schön”;U(2)besagt “2 ist ungerade”.

(78)

Prädikate

Beispiel

(79)

Quantoren

Definition

Sei P(x) ein Prädikat.

∃x :P(x) bezeichnet die Aussage “es gibt (mindestens) einx, so dass P(x)”.

∀x :P(x) bezeichnet die Aussage “für allex giltP(x)”.

∃ heißtExistenzquantor (Merkregel: umgekehrtes “ E”)

∀ heißtAllquantor. (Merkregel: umgekehrtes “ A”) Beispiel

∀x :U(x) ist die Aussage “jedesx ist ungerade”.

U(3) ist die Aussage “3 ist ungerade”.

(80)

Quantoren

Definition

Sei P(x) ein Prädikat.

∃x :P(x) bezeichnet die Aussage “es gibt (mindestens) einx, so dass P(x)”.

∀x :P(x) bezeichnet die Aussage “für allex giltP(x)”.

∃ heißtExistenzquantor (Merkregel: umgekehrtes “ E”)

∀ heißtAllquantor. (Merkregel: umgekehrtes “ A”) Beispiel

∀x :U(x) ist die Aussage “jedesx ist ungerade”.

U(3) ist die Aussage “3 ist ungerade”.

(81)

Rechenregeln Quantoren

A ¬A

AlleFrauen sind schön Nicht alle Frauen sind schön.

Es gibt(mind.) eine Frau, die nicht schön ist.

Es gibteine schöne Frau. Es gibt keine schöne Frau.

AlleFrauen sind nicht schön.

Satz

Sei P(x) ein Prädikat. Dann gilt

1 ¬(∃x :P(x))≡ ∀x:¬P(x).

2 ¬(∀x :P(x))≡ ∃x:¬P(x).

(82)

Rechenregeln Quantoren

A ¬A

Satz

1 ¬(∃x :P(x))≡ ∀x:¬P(x).

2 ¬(∀x :P(x))≡ ∃x:¬P(x).

(83)

Rechenregeln Quantoren

A ¬A

Satz

1 ¬(∃x :P(x))≡ ∀x:¬P(x).

2 ¬(∀x :P(x))≡ ∃x:¬P(x).

(84)

Rechenregeln Quantoren

A ¬A

Satz

1 ¬(∃x :P(x))≡ ∀x:¬P(x).

2 ¬(∀x :P(x))≡ ∃x:¬P(x).

(85)

Rechenregeln Quantoren

A ¬A

Satz

1 ¬(∃x :P(x))≡ ∀x:¬P(x).

2 ¬(∀x :P(x))≡ ∃x:¬P(x).

(86)

Verallgemeinerte Quantoren

Sei Aeine Menge undP(x) ein Prädikat. Dann schreiben wir

∃x ∈A:P(x) für “es gibt einx in M, für dasP(x)gilt”

∀x ∈A:P(x) für “für jedesx inM giltP(x)”.

∃!x :P(x) für “es gibt genau einx, für dasP(x)gilt”

Beispiel

Sei F die Menge aller Frauen undS(x)das Prädikat “x ist schön”. Dann bedeutet

∀x ∈F :S(x)

“Alle Frauen sind schön”.

(87)

Verallgemeinerte Quantoren

Sei Aeine Menge undP(x) ein Prädikat. Dann schreiben wir

∃x ∈A:P(x) für “es gibt einx in M, für dasP(x)gilt”

∀x ∈A:P(x) für “für jedesx inM giltP(x)”.

∃!x :P(x) für “es gibt genau einx, für dasP(x)gilt”

Beispiel

Sei F die Menge aller Frauen undS(x)das Prädikat “x ist schön”. Dann bedeutet

∀x ∈F :S(x)

“Alle Frauen sind schön”.

(88)

Quantoren

Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Wie lautet ihre Negation?

1 ∃n∈N∀m∈N:m<n.

2 ∀x ∈R∀y ∈R:x+y=y+x.

3 ∃x ∈R:x²=2.

4 ∃x ∈Q:x²=2.

5 ∃!x :x² =2.

(89)

Reihenfolge von Quantoren

Die Reihenfolge von Quantoren spielt eine Rolle:

(1) ∀x∃y :P(x,y) und (2) ∃y∀x:P(x,y) bedeuten nicht dasselbe!

Beispiel

Nicht-mathematisches Beispiel:

1 Für jedes Schloss gibt es einen Schlüssel, der ins Schloss passt.

2 Es gibt einen Schlüssel, der in jedes Schloss passt.

Mathematisches Beispiel:

1 ∀n∈N∃m∈N:m≥n

2 ∃m∈N∀n∈N:m≥n

(90)

Reihenfolge von Quantoren

Beispiel

(91)

Reihenfolge von Quantoren

Beispiel

2 ∃m∈N∀n∈N:m≥n

(92)

Fermat-Zahlen

Beispiel

Fermat-Zahlen sind Zahlen der Form F_n=2²ⁿ +1

für n∈N. Pierre de Fermat, stellte fest, dassF0, . . . ,F4 Primzahlen sind:

F0=2²⁰+1=2¹+1=3 F1=2²¹+1=2²+1=5 F2=2²²+1=2⁴+1=17 F₃=2²³+1=2⁸+1=257.

Fermat stellte die Vermutung auf: ∀n∈N: F_n ist eine Primzahl

(93)

Fermat-Zahlen

Beispiel

F0=2²⁰+1=2¹+1=3 F1=2²¹+1=2²+1=5 F2=2²²+1=2⁴+1=17 F₃=2²³+1=2⁸+1=257.

Fermat stellte die Vermutung auf: ∀n∈N: F_n ist eine Primzahl Fast 100 Jahre später bewies Euler, dass 641 ein Teiler von F₅ ist.

(94)

Fermat-Zahlen

Beispiel

F0=2²⁰+1=2¹+1=3 F1=2²¹+1=2²+1=5 F2=2²²+1=2⁴+1=17 F₃=2²³+1=2⁸+1=257.

Fermat stellte die Vermutung auf: ∀n∈N: F_n ist eine Primzahl

(95)

Fermat-Zahlen

Beispiel

F0=2²⁰+1=2¹+1=3 F1=2²¹+1=2²+1=5 F2=2²²+1=2⁴+1=17 F₃=2²³+1=2⁸+1=257.

Fermat stellte die Vermutung auf: ∀n∈N: F_n ist eine Primzahl Fast 100 Jahre später bewies Euler, dass 641 ein Teiler von F₅ ist.

(96)

Beweise von Allaussagen

Wie beweist man eine Formel der Form

∀x :P(x) ? Man wählt ein beliebigesx0 und beweist P(x0).

Beispiel

Wir betrachten nochmals die Binomischen Formeln. Formal präzis lautet die 1. Binomische Formel

∀a∈R∀b∈R: (a+b)²=a²+2ab+b².

(97)

Beweise von Allaussagen

Beispiel

∀a∈R∀b∈R: (a+b)²=a²+2ab+b².

(98)

Beweise von Allaussagen

Beispiel

∀a∈R∀b∈R: (a+b)²=a²+2ab+b².

(99)

Gegenbeispiele

Wie kann man eine Allaussage widerlegen? D.h. wie beweist man

¬∀x:P(x) ?

Beispiel

A: Jede natürliche Zahl ist gerade.

A ist falsch, da 3 eine ungerade natürliche Zahl ist.

Um eine Aussage zu widerlegen, reicht es ein Gegenbeispielanzugeben.

(100)

Gegenbeispiele

¬∀x:P(x) ?

Beispiel

(101)

Gegenbeispiele

¬∀x:P(x) ?

Beispiel

(102)

Gegenbeispiele

¬∀x:P(x) ?

Beispiel

(103)

Gegenbeweis durch Gegenbeispiel

BeimGegenbeweis durch Gegenbeispiel beweist man

∃x :¬P(x) statt

¬∀x:P(x).

Dies reicht, da¬∀x :P(x)≡ ∃x :P(x).

Beispiel

Fallsα und β irrational sind, ist dann auch α^β irrational?

(104)

Gegenbeweis durch Gegenbeispiel

BeimGegenbeweis durch Gegenbeispiel beweist man

∃x :¬P(x) statt

¬∀x:P(x).

Dies reicht, da¬∀x :P(x)≡ ∃x :P(x).

Beispiel

Fallsα und β irrational sind, ist dann auch α^β irrational?

(105)

Existenzbeweise

Eine Existenzaussage

∃x:P(x)

kann man beweisen, indem man explizitein x angibt, für dasP(x) wahr ist.

Beispiel

Wie kann man folgende Aussagen beweisen?

1 Es gibt ein Dreieck mit Seitenlängena=3cm,b =4cm undc =5cm.

2 Das Gleichungssystem

(1) 3x−4y =2 (2) 2x+3y =7 hat eine Lösung.

(106)

Existenzbeweise

Eine Existenzaussage

∃x:P(x)

kann man beweisen, indem man explizitein x angibt, für dasP(x) wahr ist.

Beispiel

Wie kann man folgende Aussagen beweisen?

1 Es gibt ein Dreieck mit Seitenlängena=3cm,b =4cm undc =5cm.

2 Das Gleichungssystem

(1) 3x−4y =2 (2) 2x+3y =7

(107)

Das Schubfachprinzip

Beispiel

Unter 13 Personen befinden sich immer mindestens 2 Personen, die im selben Monat Geburtstag haben.

Dies ist eine Existenzaussage.

Im Allgemeinen kann man solche 2 Personen nichtexplizit angeben.

Begründung: Es gibt nur 12 Monate, aber 13 Personen: Wenn alle Personen in verschiedenen Monaten Geburtstag hätten, so müsste es mindestens 13 Monate geben!

(108)

Das Schubfachprinzip

Beispiel

(109)

Das Schubfachprinzip

Beispiel

(110)

Das Schubfachprinzip

Schubfachprinzip

Wenn man n+1 Objekten Kategorien zuordnet, so müssen mindestens zwei Objekte derselben Kategorie zugeordnet werden.

Beispiel

1 Unter drei Personen haben mindestens 2 dasselbe Geschlecht.

2 In einem Raum sind ein paar Personen versammelt. Dann gibt es mindestens zwei Personen, die dieselbe Anzahl Personen im Raum kennen.

3 Eine Gerade, die durch keinen Eckpunkt des Dreiecke ∆ABC geht, kann höchstens zwei Seiten schneiden.

(111)

Das Schubfachprinzip

Schubfachprinzip

Beispiel

(112)

Das Schubfachprinzip

Schubfachprinzip

Beispiel

(113)

Das Schubfachprinzip

Schubfachprinzip

Beispiel

(114)

Unendliche viele Primzahlen

Manchmal möchte man die Existenz unendlich vieler Objekte beweisen.

Wie geht das?

Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, wenn ihre einzigen Teiler 1 und p sind.

Theorem

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Problem: Wir können nicht alle Primzahlen 2, 3, 5, 7, 13, . . . explizit angeben.

Stattdessen kann man zeigen, dass die Aufzählung der Primzahlen nie

(115)

Unendliche viele Primzahlen

Wie geht das?

Theorem

Stattdessen kann man zeigen, dass die Aufzählung der Primzahlen nie aufhört:

∀n∈N∃p >n : p ist eine Primzahl.

(116)

Unendliche viele Primzahlen

Wie geht das?

Theorem

(117)

Unendliche viele Primzahlen

Wie geht das?

Theorem

Stattdessen kann man zeigen, dass die Aufzählung der Primzahlen nie aufhört:

∀n∈N∃p >n : p ist eine Primzahl.

(118)

Unendliche viele Primzahlen

Wie geht das?

Theorem

(119)

Das Trinker-Paradoxon

Blaise Pascal

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Trinker-Paradoxon

Es gibt jemanden in der Kneipe, sodass, wenn er trinkt, so trinken alle in der Kneipe.

Wie übersetzt man das Trinker-Paradoxon in die Sprache der Logik?

Wir schreiben T(x) für das Prädikat “x trinkt”. Dann besagt das Trinker-Paradoxon

∃x: (T(x)⇒ ∀y :T(y)).

(120)

Das Trinker-Paradoxon

Blaise Pascal

Trinker-Paradoxon

∃x: (T(x)⇒ ∀y :T(y)).

(121)

Das Trinker-Paradoxon

Blaise Pascal

Trinker-Paradoxon

∃x: (T(x)⇒ ∀y :T(y)).

(122)

Das Trinker-Paradoxon

Blaise Pascal

Trinker-Paradoxon

∃x: (T(x)⇒ ∀y :T(y)).

(123)

Wessen Beweislast???

(124)

Was sind die natürlichen Zahlen

Leopold Kronecker

Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Wir definieren dieMenge der natürlichen Zahlendurch N={0,1,2,3. . . ,}.

Andere Notationen sind N={1,2,3, . . .}und N0={0,1,2,3, . . .}.

(125)

Was sind die natürlichen Zahlen

Leopold Kronecker

Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Wir definieren dieMenge der natürlichen Zahlendurch N={0,1,2,3. . . ,}.

Andere Notationen sind N={1,2,3, . . .}und N0={0,1,2,3, . . .}.

(126)

Die Peano-Axiome

Die natürlichen Zahlen lassen sich durch die sogenanntenPeano-Axiome charakterisieren:

1 0 ist eine natürliche Zahl.

2 Für jede natürliche Zahln, istn+1 eine natürliche Zahl (der Nachfolgervon n)

3 Für jede natürliche Zahln giltn+16=0.

4 Falln undmnatürliche Zahlen sind mitn+1=m+1, so folgtn=m.

5 FallsX eine Menge natürlicher Zahlen ist mit den Eigenschaften 0∈X und

für jedesn∈X gilt auchn+1∈X, so folgtX =N(Induktionsaxiom).

(127)

Rekursion

Um Rekursion zu verstehen, muss man Rekursion verstehen.

Eine rekursiveZahlenfolge a0,a1,a2, . . . ist eine Zahlenfolge, bei der das n-te Folgengliedan+1 aus a0,a1, . . . ,a_n berechnet werden kann.

Beispiel

Wir definieren rekursiv

a_n+1 =a_n·(n+1).

Um a₄ zu berechnen, wenden wir also die Rekursionsvorschriftan:

a4 =a3·4= (a2·3)·4=a2·3·4= (a1·2)·3·4=a1·2·3·4=. . . Um a4 konkret ausrechnen zu können, müssen wir einen Anfangswert kennen, z.B.a0 odera1.

(128)

Rekursion

Beispiel

a_n+1 =a_n·(n+1).

a4 =a3·4= (a2·3)·4=a2·3·4= (a1·2)·3·4=a1·2·3·4=. . . Um a4 konkret ausrechnen zu können, müssen wir einen Anfangswert

(129)

Rekursion

Beispiel

a_n+1 =a_n·(n+1).

a4 =a3·4= (a2·3)·4=a2·3·4= (a1·2)·3·4=a1·2·3·4=. . . Um a4 konkret ausrechnen zu können, müssen wir einen Anfangswert kennen, z.B.a0 odera1.

(130)

Rekursion

Beispiel

a_n+1 =a_n·(n+1).

a4 =a3·4= (a2·3)·4=a2·3·4= (a1·2)·3·4=a1·2·3·4=. . . Um a4 konkret ausrechnen zu können, müssen wir einen Anfangswert

(131)

Rekursion

Beispiel Wir definieren

a0 =1

an+1 =an·(n+1).

Dann gilt

a1 =a0·1=1 a2 =a1·2=1·2=2 a₃ =a₂·3=2·3=6 a4 =a3·4=6·4=24 . . .

Man kann die Zahlenfolge auch explizit(ohne Rekursion) darstellen durch an =n! =1·2·. . .·n.

(132)

Rekursion

a0 =1

an+1 =an·(n+1).

Dann gilt

a1 =a0·1=1 a2 =a1·2=1·2=2 a₃ =a₂·3=2·3=6 a4 =a3·4=6·4=24 . . .

Man kann die Zahlenfolge auch explizit(ohne Rekursion) darstellen durch

(133)

Rekursion

a0 =1

an+1 =an·(n+1).

Dann gilt

a1 =a0·1=1 a2 =a1·2=1·2=2 a₃ =a₂·3=2·3=6 a4 =a3·4=6·4=24 . . .

Man kann die Zahlenfolge auch explizit(ohne Rekursion) darstellen durch an =n! =1·2·. . .·n.

(134)

Rekursion

Wenn man ein Zahlenfolge an für jedesn∈Nrekursiv definieren möchte, genügt es

1 einenAnfangswert a0 zu definieren; und

2 fallsan schon definiert ist,an+1 zu definieren (Rekursionsvorschrift).

Damit kann man an für jedesn ∈Nberechnen:

Nach Voraussetzung ista0 bekannt.

Aus a0 kann man a1 berechnen.

Aus a₁ kann man a₂ berechnen.

. . .

(135)

Rekursion

Wenn man ein Zahlenfolge an für jedesn∈Nrekursiv definieren möchte, genügt es

1 einenAnfangswert a0 zu definieren; und

2 fallsan schon definiert ist,an+1 zu definieren (Rekursionsvorschrift).

Damit kann man an für jedesn ∈Nberechnen:

Nach Voraussetzung ista0 bekannt.

Aus a₁ kann man a₂ berechnen.

. . .

(136)

Potenzen

Man kann Potenzen einer Zahl q∈Rrekursiv definieren:

q⁰ =1 qⁿ⁺¹ =qⁿ·q.

Dann istqⁿ für jedesn ∈Ndefiniert:

q⁰=1

q¹=q⁰⁺¹ =q⁰·q =1·q =q q²=q¹⁺¹ =q¹·q =q·q q³=q²⁺¹ =q²·q = (q·q)·q

...