Aufgabe H8.1: Vollst¨ andiges Differential (10 Punkte)

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik SoSe 19 Vorlesung: Dr. Michael Zacharias

Ubungen: Dr. Bj¨ ¨ orn Eichmann

Hausaufgaben¨ ubung H8 Abgabedatum: 18.06.

Aufgabe H8.1: Vollst¨ andiges Differential (10 Punkte)

In der Vorlesung wird im Zusammenhang mit den Zustandsgr¨ oßen eines makroskopischen Systems an den Begriff des vollst¨ andigen Differentials erinnert, dessen Bedeutung hier verdeutlicht sei.

(a) Gegeben sei dY = a ₁ dx ₁ + a ₂ dx ₂ mit a ₁ = x ₁ x ₂ (1 + x ² ₂ ) und a ₂ = x ₂ exp{x ² ₁ }. Ist dY ein vollst¨ andiges Differential?

(b) Was ergibt sich f¨ ur die Wegintegrale Z

C

dY und Z

C

dY mit den beiden Integrationswegen C ₁ : (0, 0) −→ (1, 0) −→ (1, 1) und C ₂ : (0, 0) −→ (0, 1) −→ (1, 1)?

(c) Wie muss f (x 1 , x 2 ) gew¨ ahlt werden, damit

dY = f(x 1 , x 2 ) x 1 x 2 (1 + x ² ₂ ) dx 1 + f (x 1 , x 2 ) x 2 exp{x ² ₁ } dx 2

ein vollst¨ andiges Differential ist? Hinweis: Machen Sie f¨ ur den “integrierenden Faktor” f (x ₁ , x ₂ ) einen Separationsansatz der Form f (x 1 , x 2 ) = g(x 1 ) h(x 2 ).

(d) Zeigen Sie, dass die Gleichung (∂p/∂U ) _{V =const} = 0 gelten w¨ urde, wenn die W¨ armemenge d ¯Q ein vollst¨ andiges Differential w¨ are, und (Bonuspunkt! ) begr¨ unden Sie, warum diese Gleichung physikalisch nicht sinnvoll ist.

Aufgabe H8.2: ¨ Anderung der W¨ armemenge (10 Punkte)

Die mit einer Temperatur¨ anderung eines thermodynamischen Systems verbundene ¨ Anderung der W¨ armemenge wird f¨ ur isobare (p = const) und isochore (V = const) Prozesse mit

d ¯Q = C _p dT bzw. d ¯Q = C _V dT

angesetzt. Die Gr¨ oßen C p und C V sind die (absoluten) W¨ armekapazit¨ aten bei konstantem Druck bzw.

konstantem Volumen.

(a) Zeigen Sie, dass allgemein gilt C V =

∂U

∂T

V

und C p = ∂U

∂T

p

+ p ∂V

∂T

p

,

wobei die Indizes die bei einem Prozess jeweils konstante Gr¨ oße bezeichnen.

(b) Berechnen Sie nun mit den Beziehungen aus (a) C _V , C _p und κ = C _p /C _V f¨ ur ein ideales Gas.

(c) Leiten Sie aus der Bedingung f¨ ur adiabatische Prozesse d ¯Q = 0 die Adiabatengleichungen T ^3/2 V = const und p V ^5/3 = const

f¨ ur ein ideales Gas her.

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