Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik SoSe 19 Vorlesung: Dr. Michael Zacharias
Ubungen: Dr. Bj¨ ¨ orn Eichmann
Hausaufgaben¨ ubung H10 Abgabedatum: 02.07.
Aufgabe H10.1: Das van der Waals-Gas (10 Punkte)
Die Zustandssumme eines van der Waals-Gases lautet Z(T, V, N ) = 1
N !
V − b λ
3 Nexp n a
kT V o
; a, b = const Zus¨ atzlich zu den ¨ ublichen Bezeichnungen ist λ = λ(T) = h/ √
2πmkT die so genannte thermische Wellenl¨ ange, die als mit- tlere De Broglie-Wellenl¨ ange eines Teilchens zu gegebener Temper- atur interpretiert werden kann. Berechnen Sie
(a) die freie Energie (Hinweis: ln(1/N !) ≈ N − N ln N );
(b) den Druck;
(c) die Entropie;
(d) die innere Energie.
Johannes Diderik van der Waals (1837- 1923) hat wesentliche Beitr¨ age zur Ther- modynamik geleistet, u.a. eine thermody- namische Theorie zur Kapillarit¨ at.
Aufgabe H10.2: Harmonische Oszillatoren (10 Punkte)
Die kanonische Zustandsumme Z
keines Systems aus N = const. (klassischen) dreidimensionalen harmonischen Oszillatoren ist gegeben durch Z
k= z
NN ! , wobei gilt:
z = 1 h
3Z Z
exp {−βE} d
3p d
3r
Dabei ist E = ~ p
22m + ar
2mit r = |~ r| und β = 1
kT . Desweiteren sind a, m, k und h Konstanten.
(a) Zeigen Sie, dass
z =
r 2m a
πkT h
!
3. Dabei kann das Integral
Z
∞0
x
2exp(−x
2) dx = √ π/4
hilfreich sein.
(b) Bestimmen Sie mit dem Ergebnis aus (a) die innere Energie U = − ∂ ln Z
k∂β des Systems und seine W¨ armekapazit¨ at bei konstantem Volumen C
V=
∂U∂TV,N
