Hilfsmittel Einziges erlaubtes Hilfsmittel ist die in der Vorlesung verwendete und auf der Vorlesungsseite bereit gestellte

(1)

2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK)

Punktzahl In dieser schriftlichen Leistungskontrolle sind 100 Punkte erreichbar. Wer 40 Punkte erreicht, hat die schriftliche Leistungskontrolle bestanden (Note 4.0 oder besser).

Bearbeitungsdauer Die Bearbeitungsdauer betr¨ agt 75 Minuten. Ihr erhaltet zudem 15 wei- tere Minuten f¨ ur das Lesen der Aufgabenstellung und das Beschriften der ausgeteilten Zettel mit Eurem Namen und Eurer Matrikelnummer.

Hilfsmittel Einziges erlaubtes Hilfsmittel ist die in der Vorlesung verwendete und auf der Vorlesungsseite bereit gestellte

” Formelsammlung“. Diese darf keine Notizen enthalten (und sie darf auch w¨ ahrend der Klausur nicht als Papier oder Schmierpapier verwendet werden). Eigenes Papier darf nicht verwendet werden.

Aufgabenreihenfolge Die gegebene Reihenfolge der Aufgaben orientiert sich an der The- menreihenfolge in der Vorlesung. Es wird daher empfohlen, die Bearbeitungsreihenfolge der Aufgaben selbst durch Absch¨ atzung des Aufwands f¨ ur die einzelnen Aufgaben festzulegen.

• Antworten zu den Aufgaben sind auf demselben Blatt zu geben, auf dem die jeweilige Aufgabenstellung steht. Dabei k¨ onnen beide Seiten der Bl¨ atter verwendet werden. Sofern weitere Bl¨ atter ben¨ otigt werden, werden diese durch uns bereitgestellt. L¨ osungen zu verschiedenen Aufgaben sind stets auf unterschiedlichen Bl¨ attern abzugeben!

• Auf jedem abgegebenen Blatt ist die bearbeitete Aufgabe, Name und Matrikel- nummer anzugeben.

• Antworten oder Teile von Antworten, die mit Rotstift oder Bleistift geschrieben oder nicht eindeutig lesbar sind, werden nicht bewertet. Es sind nur dokumentenechte Stifte zugelassen.

Name: Vorname:

Matrikelnummer: Studiengang:

(Tutorin/Tutor:)

Punkteverteilung (NICHT ausf¨ ullen!):

Aufgabe 1 2 3 4 5 Σ Note

Punkte 10 20 24 24 22 100

Erreicht

Korrektor

(2)

Aufgabe 1 (10 Punkte) Beantworte ohne Begr¨ undung die folgenden Aussagen.

F¨ ur jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt. F¨ ur jedes falsche Kreuz gibt es einen Punkt Abzug. Insgesamt gibt es auf diese Aufgabe mindestens null Punkte.

Nicht eindeutige Markierungen werden mit Punktabzug gewertet!

Bei dieser Aufgabe gibt es NUR 10 Punkte; verlieren Sie also nicht zuviel Zeit!

(a) Welche der folgenden Mengen k¨ onnen oder m¨ ussen unendlich groß sein?

Ein Alphabet A.

Eine Sprache A.

Die Menge aller regul¨ aren Sprachen L ₃ .

Die Menge aller kontextsensitiven Sprachen L 1 .

(b) Welche W¨ orter enth¨ alt die Sprache A ^∗ , wenn die Sprache A leer ist?

A ^∗ enth¨ alt keine W¨ orter.

A ^∗ enth¨ alt das Wort λ.

A ^∗ enth¨ alt unendlich viele W¨ orter.

(c) Sei A = L(G) eine regul¨ are Sprache, die durch eine Grammatik G beschrieben wird. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

G muss regul¨ ar sein.

Wenn G eine regul¨ are Grammatik ist, dann muss G kontextfrei sein.

Wenn G keine regul¨ are Grammatik ist, dann muss G kontextfrei sein.

(d) Sei A = L(G) eine Sprache, die durch eine kontextfreie Grammatik G beschrie- ben wird. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

Dann gibt es immer eine kontextsensitive Grammatik G ⁰ mit L(G ⁰ ) = A.

Dann gibt es manchmal aber nicht immer eine kontextsensitive Grammatik G ⁰ mit L(G ⁰ ) = A.

Dann gibt es keine kontextsensitive Grammatik G ⁰ mit L(G ⁰ ) = A.

(3)

(e) Welche der folgenden Aussagen treffen f¨ ur alle regul¨ aren Sprachen A zu?

Es gibt (mindestens) einen regul¨ aren Ausdruck, der A beschreibt.

PUMP(A).

A ist endlich, d.h. ∃n ∈ N . #(A) = n.

(f) Welche der folgenden Aussagen treffen f¨ ur alle kontextfreien aber nicht regul¨ aren Sprachen A zu?

Es gibt keinen regul¨ aren Ausdruck, der A beschreibt.

¬PUMP(A).

Es gibt eine kontextfreie Grammatik G mit L(G) = A.

A ist endlich, d.h. ∃n ∈ N . #(A) = n.

(4)

Aufgabe 2 (20 Punkte) Gegeben seien die Signatur Σ _Bool , die Σ _Bool -Algebren A und B und das Variablensystem X , (X s ) s∈{bool } mit X bool , {x}.

Σ _Bool A B

bool A _bool , {0, 1} B _bool , Z

⊥ : λ → bool ⊥ _A , 0 ⊥ _B , 0

> : λ → bool > _A , 1 > _B , 1

¬ : bool → bool ¬ _A : A _bool → A _bool ¬ _B : B _bool → B _bool y 7→

( 1, falls y = 0

0, falls y = 1 y 7→ y + 1

∧ : bool · bool → bool ∧ _A : A _bool × A _bool → A _bool ∧ _B : B _bool × B _bool → B _bool (y, z) 7→ y · z (y, z) 7→ y · z

y · z steht in den Algebren A und B f¨ ur die Multiplikation der Zahlen y und z.

1. (8 Punkte) Beweise die Aussage

P ₁ , A | = ( ∧(x, >) = x )

mit Hilfe der Funktion xeval. Gib dazu alle m¨ oglichen Variablenassignments f¨ ur das Variablensystem X in der Algebra A an und pr¨ ufe f¨ ur jede dieser Variablenassi- gnments die Aussage P ₁ .

2. (12 Punkte) Beweise die Aussage

∀t ∈ T _Σ

_Bool

_,bool . P ₂ (t) mit P ₂ (t) , eval(B) _bool (t) ≥ 0 nur mit Hilfe von struktureller Induktion.

Achte auf die Vollst¨ andigkeit und Nachvollziehbarkeit Deiner Argumentation.

(5)

Gegeben seien das Alphabet A = {a, b}, die Signatur Σ Â _regExp und die Σ Â _regExp -Algebra E Â aus der Formelsammlung, der regul¨ are Ausdruck

RA , (a + 0) (a ^∗ ) a

+ (bb) ^∗ ( + a) und die Sprache

A , {w ∈ A ^∗ | (w = aa ⁿ a ∨ w = (bb) ^m y) ∧ n, m ∈ N ∧ y ∈ {λ, a}} .

1. (5 Punkte) Gib 5 verschiedene W¨ orter an, die in der Sprache A enthalten sind.

2. (2 Punkte) Gib 2 verschiedene W¨ orter aus A ^∗ an, die nicht in der Sprache A enthalten sind.

3. (6 Punkte) Gib eine regul¨ are Grammatik G _A an, welche die Sprache A erzeugt.

4. (11 Punkte) Beweise mit Hilfe der Σ ^A _regExp -Algebra E ^A , dass der regul¨ are Ausdruck RA die Sprache A beschreibt.

Begr¨ unde jeden Schritt. Anwendungen derselben Definition d¨ urfen in einem Schritt zusammengefasst werden, das betrifft insbesondere auch die Anwendung der Defini- tionen von term Â und eval(E Â ) _exp und die Definitionen in E Â .

Achte auf die Vollst¨ andigkeit und Nachvollziehbarkeit Deiner Argumentation.

(6)

Aufgabe 4 (24 Punkte) Gegeben seien das Alphabet A = {a, b} und die Grammatiken G _i = ({S, T, U}, A, P _i , S) f¨ ur i ∈ {1, 2, 3, 4} mit

P ₁ : S → a | b | aT P ₂ : S → aaSb | SU | aUb T → bS aUb → ab | bUa | aaUbb

ab → ba

P ₃ : S → λ | aT | Ub P ₄ : S → T | U | TU T → λ | bT T → a | aTa | bTb U → b | aT | Ub U → b | aUb | bUa

1. (6 Punkte) Welche der W¨ orter λ, aba und ababb werden von der Grammatik G ₁ erzeugt und welche nicht? Begr¨ unde Deine Antwort.

2. (4 Punkte) Gib einen regul¨ aren Ausdruck an, der die Sprache L(G ₁ ) beschreibt.

3. (7 Punkte) Gib die Sprache L(G ₄ ) als Menge an. Du kannst dazu die Funktion alt : A ^∗ → A ^∗ mit

alt(w) =



 

 

λ, falls w = λ

a · alt(w ⁰ ), falls w = b · w ⁰ b · alt(w ⁰ ), falls w = a · w ⁰ verwenden.

Hinweis: L(G ₄ ) =

w ∈ {a, b} ^∗ | S ⇒ ^∗ _G

₄

w gen¨ ugt an dieser Stelle nicht.

4. (7 Punkte) Gib die Typen der Grammatiken G ₁ , G ₂ , G ₃ und G ₄ nach Chomsky in der folgenden Tabelle an.

Typ-0 Typ-1 Typ-2 Typ-3 G ₁

G ₂ G ₃ G 4

Achte auf die Vollst¨ andigkeit und Nachvollziehbarkeit Deiner Argumentation.

(7)

1. (15 Punkte) Beweise nur mit Hilfe des Pumping Lemmas, dass die Sprache A ,

0 ^g 1 ^h | g, h ∈ N ∧ g ≥ h nicht regul¨ ar ist.

2. (7 Punkte) (a) Gib den

” kleinsten“ Typ der Sprache A in der Chomsky Hierarchie an.

(b) Untermauere Deine Behauptung durch die Angabe einer Grammatik G vom angegebenen Typ mit L(G) = A.

Hinweis: Die Angabe der Gramatik G f¨ ur die Sprache A gen¨ ugt hier. Es muss nicht bewiesen werden, dass f¨ ur die angegebene Grammatik G tats¨ achlich L(G) = A gilt.

Achte auf die Vollst¨ andigkeit und Nachvollziehbarkeit Deiner Argumentation.

(8)

(9)

(10)

Hilfsmittel Einziges erlaubtes Hilfsmittel ist die in der Vorlesung verwendete und auf der Vorlesungsseite bereit gestellte

2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK)

Punktzahl In dieser schriftlichen Leistungskontrolle sind 100 Punkte erreichbar. Wer 40 Punkte erreicht, hat die schriftliche Leistungskontrolle bestanden (Note 4.0 oder besser).

Bearbeitungsdauer Die Bearbeitungsdauer betr¨ agt 75 Minuten. Ihr erhaltet zudem 15 wei- tere Minuten f¨ ur das Lesen der Aufgabenstellung und das Beschriften der ausgeteilten Zettel mit Eurem Namen und Eurer Matrikelnummer.

Hilfsmittel Einziges erlaubtes Hilfsmittel ist die in der Vorlesung verwendete und auf der Vorlesungsseite bereit gestellte

” Formelsammlung“. Diese darf keine Notizen enthalten (und sie darf auch w¨ ahrend der Klausur nicht als Papier oder Schmierpapier verwendet werden). Eigenes Papier darf nicht verwendet werden.

Aufgabenreihenfolge Die gegebene Reihenfolge der Aufgaben orientiert sich an der The- menreihenfolge in der Vorlesung. Es wird daher empfohlen, die Bearbeitungsreihenfolge der Aufgaben selbst durch Absch¨ atzung des Aufwands f¨ ur die einzelnen Aufgaben festzulegen.

• Auf jedem abgegebenen Blatt ist die bearbeitete Aufgabe, Name und Matrikel- nummer anzugeben.

• Antworten oder Teile von Antworten, die mit Rotstift oder Bleistift geschrieben oder nicht eindeutig lesbar sind, werden nicht bewertet. Es sind nur dokumentenechte Stifte zugelassen.

Name: Vorname:

Matrikelnummer: Studiengang:

(Tutorin/Tutor:)

Punkteverteilung (NICHT ausf¨ ullen!):

Aufgabe 1 2 3 4 5 Σ Note

Punkte 10 20 24 24 22 100

Erreicht

Korrektor

Aufgabe 1 (10 Punkte) Beantworte ohne Begr¨ undung die folgenden Aussagen.

F¨ ur jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt. F¨ ur jedes falsche Kreuz gibt es einen Punkt Abzug. Insgesamt gibt es auf diese Aufgabe mindestens null Punkte.

Nicht eindeutige Markierungen werden mit Punktabzug gewertet!

Bei dieser Aufgabe gibt es NUR 10 Punkte; verlieren Sie also nicht zuviel Zeit!

(a) Welche der folgenden Mengen k¨ onnen oder m¨ ussen unendlich groß sein?

Ein Alphabet A.

Eine Sprache A.

Die Menge aller regul¨ aren Sprachen L 3 .

Die Menge aller kontextsensitiven Sprachen L 1 .

(b) Welche W¨ orter enth¨ alt die Sprache A ∗ , wenn die Sprache A leer ist?

A ∗ enth¨ alt keine W¨ orter.

A ∗ enth¨ alt das Wort λ.

A ∗ enth¨ alt unendlich viele W¨ orter.

(c) Sei A = L(G) eine regul¨ are Sprache, die durch eine Grammatik G beschrieben wird. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

G muss regul¨ ar sein.

Wenn G eine regul¨ are Grammatik ist, dann muss G kontextfrei sein.

Wenn G keine regul¨ are Grammatik ist, dann muss G kontextfrei sein.

(d) Sei A = L(G) eine Sprache, die durch eine kontextfreie Grammatik G beschrie- ben wird. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

Dann gibt es immer eine kontextsensitive Grammatik G 0 mit L(G 0 ) = A.

Dann gibt es manchmal aber nicht immer eine kontextsensitive Grammatik G 0 mit L(G 0 ) = A.

Dann gibt es keine kontextsensitive Grammatik G 0 mit L(G 0 ) = A.

(e) Welche der folgenden Aussagen treffen f¨ ur alle regul¨ aren Sprachen A zu?

Es gibt (mindestens) einen regul¨ aren Ausdruck, der A beschreibt.

PUMP(A).

A ist endlich, d.h. ∃n ∈ N . #(A) = n.

(f) Welche der folgenden Aussagen treffen f¨ ur alle kontextfreien aber nicht regul¨ aren Sprachen A zu?

Es gibt keinen regul¨ aren Ausdruck, der A beschreibt.

¬PUMP(A).

Es gibt eine kontextfreie Grammatik G mit L(G) = A.

A ist endlich, d.h. ∃n ∈ N . #(A) = n.

Aufgabe 2 (20 Punkte) Gegeben seien die Signatur Σ Bool , die Σ Bool -Algebren A und B und das Variablensystem X , (X s ) s∈{bool } mit X bool , {x}.

Σ Bool A B

bool A bool , {0, 1} B bool , Z

⊥ : λ → bool ⊥ A , 0 ⊥ B , 0

> : λ → bool > A , 1 > B , 1

¬ : bool → bool ¬ A : A bool → A bool ¬ B : B bool → B bool y 7→

( 1, falls y = 0

0, falls y = 1 y 7→ y + 1

∧ : bool · bool → bool ∧ A : A bool × A bool → A bool ∧ B : B bool × B bool → B bool (y, z) 7→ y · z (y, z) 7→ y · z

y · z steht in den Algebren A und B f¨ ur die Multiplikation der Zahlen y und z.

1. (8 Punkte) Beweise die Aussage

P 1 , A | = ( ∧(x, >) = x )

mit Hilfe der Funktion xeval. Gib dazu alle m¨ oglichen Variablenassignments f¨ ur das Variablensystem X in der Algebra A an und pr¨ ufe f¨ ur jede dieser Variablenassi- gnments die Aussage P 1 .

2. (12 Punkte) Beweise die Aussage

∀t ∈ T Σ

,bool . P 2 (t) mit P 2 (t) , eval(B) bool (t) ≥ 0 nur mit Hilfe von struktureller Induktion.

Achte auf die Vollst¨ andigkeit und Nachvollziehbarkeit Deiner Argumentation.

Gegeben seien das Alphabet A = {a, b}, die Signatur Σ A regExp und die Σ A regExp -Algebra E A aus der Formelsammlung, der regul¨ are Ausdruck

RA , (a + 0) (a ∗ ) a

+ (bb) ∗ ( + a) und die Sprache

A , {w ∈ A ∗ | (w = aa n a ∨ w = (bb) m y) ∧ n, m ∈ N ∧ y ∈ {λ, a}} .

1. (5 Punkte) Gib 5 verschiedene W¨ orter an, die in der Sprache A enthalten sind.

2. (2 Punkte) Gib 2 verschiedene W¨ orter aus A ∗ an, die nicht in der Sprache A enthalten sind.

3. (6 Punkte) Gib eine regul¨ are Grammatik G A an, welche die Sprache A erzeugt.

4. (11 Punkte) Beweise mit Hilfe der Σ A regExp -Algebra E A , dass der regul¨ are Ausdruck RA die Sprache A beschreibt.

Begr¨ unde jeden Schritt. Anwendungen derselben Definition d¨ urfen in einem Schritt zusammengefasst werden, das betrifft insbesondere auch die Anwendung der Defini- tionen von term A und eval(E A ) exp und die Definitionen in E A .

Achte auf die Vollst¨ andigkeit und Nachvollziehbarkeit Deiner Argumentation.

Aufgabe 4 (24 Punkte) Gegeben seien das Alphabet A = {a, b} und die Grammatiken G i = ({S, T, U}, A, P i , S) f¨ ur i ∈ {1, 2, 3, 4} mit

P 1 : S → a | b | aT P 2 : S → aaSb | SU | aUb T → bS aUb → ab | bUa | aaUbb

ab → ba

P 3 : S → λ | aT | Ub P 4 : S → T | U | TU T → λ | bT T → a | aTa | bTb U → b | aT | Ub U → b | aUb | bUa

1. (6 Punkte) Welche der W¨ orter λ, aba und ababb werden von der Grammatik G 1 erzeugt und welche nicht? Begr¨ unde Deine Antwort.

2. (4 Punkte) Gib einen regul¨ aren Ausdruck an, der die Sprache L(G 1 ) beschreibt.

Die Menge aller regul¨ aren Sprachen L ₃ .

(b) Welche W¨ orter enth¨ alt die Sprache A ^∗ , wenn die Sprache A leer ist?

A ^∗ enth¨ alt keine W¨ orter.

A ^∗ enth¨ alt das Wort λ.

A ^∗ enth¨ alt unendlich viele W¨ orter.

Dann gibt es immer eine kontextsensitive Grammatik G ⁰ mit L(G ⁰ ) = A.

Dann gibt es manchmal aber nicht immer eine kontextsensitive Grammatik G ⁰ mit L(G ⁰ ) = A.

Dann gibt es keine kontextsensitive Grammatik G ⁰ mit L(G ⁰ ) = A.

Aufgabe 2 (20 Punkte) Gegeben seien die Signatur Σ _Bool , die Σ _Bool -Algebren A und B und das Variablensystem X , (X s ) s∈{bool } mit X bool , {x}.

Σ _Bool A B

bool A _bool , {0, 1} B _bool , Z

⊥ : λ → bool ⊥ _A , 0 ⊥ _B , 0

> : λ → bool > _A , 1 > _B , 1

¬ : bool → bool ¬ _A : A _bool → A _bool ¬ _B : B _bool → B _bool y 7→

∧ : bool · bool → bool ∧ _A : A _bool × A _bool → A _bool ∧ _B : B _bool × B _bool → B _bool (y, z) 7→ y · z (y, z) 7→ y · z

P ₁ , A | = ( ∧(x, >) = x )

mit Hilfe der Funktion xeval. Gib dazu alle m¨ oglichen Variablenassignments f¨ ur das Variablensystem X in der Algebra A an und pr¨ ufe f¨ ur jede dieser Variablenassi- gnments die Aussage P ₁ .

∀t ∈ T _Σ

_,bool . P ₂ (t) mit P ₂ (t) , eval(B) _bool (t) ≥ 0 nur mit Hilfe von struktureller Induktion.

Gegeben seien das Alphabet A = {a, b}, die Signatur Σ Â _regExp und die Σ Â _regExp -Algebra E Â aus der Formelsammlung, der regul¨ are Ausdruck

RA , (a + 0) (a ^∗ ) a

+ (bb) ^∗ ( + a) und die Sprache

A , {w ∈ A ^∗ | (w = aa ⁿ a ∨ w = (bb) ^m y) ∧ n, m ∈ N ∧ y ∈ {λ, a}} .

2. (2 Punkte) Gib 2 verschiedene W¨ orter aus A ^∗ an, die nicht in der Sprache A enthalten sind.

3. (6 Punkte) Gib eine regul¨ are Grammatik G _A an, welche die Sprache A erzeugt.

4. (11 Punkte) Beweise mit Hilfe der Σ ^A _regExp -Algebra E ^A , dass der regul¨ are Ausdruck RA die Sprache A beschreibt.

Begr¨ unde jeden Schritt. Anwendungen derselben Definition d¨ urfen in einem Schritt zusammengefasst werden, das betrifft insbesondere auch die Anwendung der Defini- tionen von term Â und eval(E Â ) _exp und die Definitionen in E Â .

Aufgabe 4 (24 Punkte) Gegeben seien das Alphabet A = {a, b} und die Grammatiken G _i = ({S, T, U}, A, P _i , S) f¨ ur i ∈ {1, 2, 3, 4} mit

P ₁ : S → a | b | aT P ₂ : S → aaSb | SU | aUb T → bS aUb → ab | bUa | aaUbb

P ₃ : S → λ | aT | Ub P ₄ : S → T | U | TU T → λ | bT T → a | aTa | bTb U → b | aT | Ub U → b | aUb | bUa

1. (6 Punkte) Welche der W¨ orter λ, aba und ababb werden von der Grammatik G ₁ erzeugt und welche nicht? Begr¨ unde Deine Antwort.

2. (4 Punkte) Gib einen regul¨ aren Ausdruck an, der die Sprache L(G ₁ ) beschreibt.

3. (7 Punkte) Gib die Sprache L(G ₄ ) als Menge an. Du kannst dazu die Funktion alt : A ^∗ → A ^∗ mit

a · alt(w ⁰ ), falls w = b · w ⁰ b · alt(w ⁰ ), falls w = a · w ⁰ verwenden.

Hinweis: L(G ₄ ) =

w ∈ {a, b} ^∗ | S ⇒ ^∗ _G

4. (7 Punkte) Gib die Typen der Grammatiken G ₁ , G ₂ , G ₃ und G ₄ nach Chomsky in der folgenden Tabelle an.

Typ-0 Typ-1 Typ-2 Typ-3 G ₁

G ₂ G ₃ G 4

0 ^g 1 ^h | g, h ∈ N ∧ g ≥ h nicht regul¨ ar ist.