2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK)

2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK)

Punktzahl In dieser schriftlichen Leistungskontrolle sind 100 Punkte erreichbar. Wer 40 Punkte erreicht, hat die schriftliche Leistungskontrolle bestanden (Note 4.0 oder besser).

Bearbeitungsdauer Die Bearbeitungsdauer betr¨agt 75 Minuten. Ihr erhaltet zudem 15 wei- tere Minuten f¨ur das Lesen der Aufgabenstellung und das Beschriften der ausgeteilten Zettel mit Eurem Namen und Eurer Matrikelnummer.

Hilfsmittel Einziges erlaubtes Hilfsmittel ist die in der Vorlesung verwendete und auf der Vorlesungsseite bereit gestellte

”Formelsammlung“. Diese darf keine Notizen enthalten (und sie darf auch w¨ahrend der Klausur nicht als Papier oder Schmierpapier verwendet werden). Eigenes Papier darf nicht verwendet werden.

Aufgabenreihenfolge Die gegebene Reihenfolge der Aufgaben orientiert sich an der The- menreihenfolge in der Vorlesung. Es wird daher empfohlen, die Bearbeitungsreihenfolge der Aufgaben selbst durch Absch¨atzung des Aufwands f¨ur die einzelnen Aufgaben festzulegen.

ˆ Antworten zu den Aufgaben sind auf demselben Blatt zu geben, auf dem die jeweilige Aufgabenstellung steht. Dabei k¨onnen beide Seiten der Bl¨atter verwendet werden. Sofern weitere Bl¨atter ben¨otigt werden, werden diese durch uns bereitgestellt. L¨osungen zu verschiedenen Aufgaben sind stets auf unterschiedlichen Bl¨attern abzugeben!

ˆ Auf jedem abgegebenen Blatt ist die bearbeitete Aufgabe, Name und Matrikel- nummer anzugeben.

ˆ Antworten oder Teile von Antworten, die mit Rotstift oder Bleistift geschrieben oder nicht eindeutig lesbar sind, werden nicht bewertet. Es sind nur dokumentenechte Stifte zugelassen.

Name: Vorname:

Matrikelnummer: Studiengang:

(Tutorin/Tutor:)

Punkteverteilung (NICHT ausf¨ullen!):

Aufgabe 1 2 3 4 5 Σ Note

Punkte 10 25 30 20 15 100

Erreicht

Korrektor

Beantworte ohne Begr¨undung die folgenden Aussagen.

F¨ur jedes richtige Kreuz gibt es einen Punkt. F¨ur jedes falsche Kreuz gibt es einen Punkt Abzug. Insgesamt gibt es auf diese Aufgabe mindestens null Punkte.

Nicht eindeutige Markierungen werden mit Punktabzug gewertet!

(a) Gegeben sei das AlphabetA={0,1,#}. Welche der folgenden Funktionen sind [Turing-] berechenbar?

f :N² →Nmit f(n₁, n₂) ist der gr¨oßte gemeinsame Teiler von n₁ und n₂.

g :A^∗ → A^∗ mit g(w) =

(0 , fallsw∈A_L 1 , fallsw /∈A_L. h:A^∗ → A^∗ mit h(w) =w#w⁻¹.

(b) Sei A eine akzeptierbare Sprache und A_S eine Teilmenge von A, d.h. A_S ⊆ A.

Dann ist A_S immer akzeptierbar.

Wahr.

Falsch.

(c) Seien A ein beliebiges Alphabet, A ⊆ A^∗ eine beliebige entscheidbare Sprache undB ⊆ A^∗ eine beliebige semi-entscheidbare Sprache. Was gilt dann f¨urA\B?

A\B ist entscheidbar.

A\B ist akzeptierbar.

A\B ist im Allgemeinen weder entscheidbar noch akzeptierbar.

(d) Seien A ein beliebiges Alphabet und A ⊆ A^∗ eine beliebige semi-entscheidbare Sprache, deren Komplement A ebenfalls semi-entscheidbar ist. Dann ist A ent- scheidbar.

Wahr.

Falsch.

(e) Sei A ein Eingabealphabet. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

Akzeptierer m¨ussen f¨ur alle Eingaben aus A^∗ terminieren.

Entscheider m¨ussen f¨ur alle Eingaben aus A^∗ terminieren.

Akzeptierer m¨ussen f¨ur alle Eingaben aus der zu akzeptierenden Sprache in einem Endzustand terminieren.

Entscheider m¨ussen f¨ur alle Eingaben aus A^∗ in einem Endzustand terminieren.

(f) Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

O(n²)⊂O(2ⁿ)

F¨urf :N→N mit f(n) = n³ gilt f ∈O(24n²).

F¨urg :N→N mit g(n) = ¹₂n gilt g ∈O(2ⁿ).

F¨urh:N→N mit h(n) = ¹₂n² gilt h∈O(n).

(g) Gegeben sei die DTM M = ({q₀, q₁},{0,1},{0,1,},,1, δ, q₀,{q₁}), wobei δ durch den folgenden Graphen gegeben ist:

q₀ q₁

(0/0, R)

(1/1, N)

∀w∈ {0,1}^∗. dspace_M(w)≤ |w|.

Wahr.

Falsch.

Beweise nur mit Hilfe von Diagonalisierung, das die Menge aller (unendlichen) Zufalls- folgen ¨uber {0,1}, d.h. das die Menge

X ,{x₀x₁x₂x₃. . . | ∀i∈N. x_i ∈ {0,1} },

¨uberabz¨ahlbar ist.

Hinweis: Eine Zufallsfolge entsteht zum Beispiel dadurch, dass man eine M¨unze unend- lich oft wirft und f¨ur jedes Mal Kopf eine 0 und f¨ur jedes Mal Zahl eine 1 notiert. X ist die Menge aller m¨oglichen Zufallsfolgen, die auf diese Art entstehen k¨onnten.

Um die i’te Stelle der Zufallsfolge y =x₀x₁x₂x₃. . . zu benennen, k¨onnt ihr die Funktion (y)i benutzen, d.h. (y)i =xi.

Aufgabe 3 (30 Punkte) Sei A₃ wie folgt gegeben:

A₃ ={x∈ {0,1}^∗ |0∈L(M_x)}

Achtung: im Folgenden muss nur (1) oder (2) bearbeitet werden!

(1) Zeige die Unentscheidbarkeit von A₃ entweder mittels Selbstanwendung;

Im Fall (1)(also sofern Selbstanwendung verwendet wird), gelten folgende Hinweise:

– Es darf davon ausgegangen werden, dass es einer Turingmaschine m¨oglich ist, ihre eigene Kodierung auf das Band zu schreiben.

(2) oder begr¨unde die Unentscheidbarkeit von A₃ mit Reduktion.

Im Fall (2)(also sofern Reduktion verwendet wird), gelten folgende Hinweise:

– Verwende dazu die Sprache A_L aus der Formelsammlung.

– Das in der Vorlesung eingef¨uhrte Konstrukt IGNM,x darf verwendet werden.

IGN_M,x beschreibt dabei eine Maschine, die zun¨achst das Eingabewort l¨oscht, x auf das Band schreibt und dann M auf der Eingabe x simuliert, d.h. genau dann akzeptiert, wenn M bei Eingabex akzeptiert.

– Die Korrektheit der angegebenen Reduktion ist nachzuweisen.

– Die Church-Turing-These darf verwendet werden, sofern die intuitive Berechen- barkeit an der entsprechende Stelle eindeutig ist.

– F¨ur die Reduktion zu konstruierende Turingmaschinen m¨ussen nicht formal an- gegeben, sondern k¨onnen auch textuell oder graphisch beschrieben werden, so- fern die Beschreibung pr¨azise, eindeutig und vollst¨andig erfolgt.

Sei A₄ ={0,1,#} und M₄ = ({q_i |i∈[[[0,8]]]},A₄,A₄∪ { •,},,1,∆₄, q₀,{q₈}) wobei ∆₄ durch den Graphen gegeben sei (mit X ∈ {0,1}):

q₀ q₅ q₆

q₁

q₂

q₃

q₄

q₇ q₈

0 / • , R

# / # , R

0 / • , L

1 / • , R

# / # , R

1 / • , L

# / # , L

• / • , R

# / # , R

/ , N X / X , R

X / X , R

• / • , R

• / • , R X / X , L

• / • , L

• / • , R

Bitte wenden!

1. Gib in der nachfolgenden Tabelle f¨ur die vorgegeben Worte an den fehlenden Stellen jeweils dtime_M4 und dspace_M4 sowie ntime_M4 und nspace_M4 an.

w dtime_M4(w) dspace_M4(w) ntime_M4(w) nspace_M4(w) λ

0 1 2

# 2 2

1#

#1 2

## 2

0#0

1#0 2 3

01#0 10 5

0#01 7 4

10#10

11#10 10

110#11 22 7

110#110 32

2. Gib eine passende obere Schranke s: N →N f¨ur den Berechnungsaufwand bei Eingaben der L¨ange n an, d.h. es soll gelten:

ˆ ∀n∈N: dTime_M4(n)≤s(n) und

ˆ dTime_M4 ∈Θ(s).

3. Gib die Funktion nSpace_M4: N→N an.

Sei A₅ ={0,1,#} und sei die Sprache A₄ ⊆ A^∗₅ definiert als A₄ ={w∈A_U | ∃w⁰ ∈ {0,1}^∗. w =w⁰#w⁰ }

1. Welches ist das kleinste k, f¨ur das gilt A4 ∈ DTIME(n^k)? Weise die Korrektheit Deiner Antwort nach.

Dabei ist zu beachten:

ˆ F¨ur eine angegebene TMM, die eine Sprache A erkennen soll, darf ohne Nach- weis L(M) = A vorausgesetzt werden.

ˆ F¨ur eine angegebene TM M, mit dTime_M ∈O(nⁱ) darf ohne Nachweis dTimeM ∈O(nⁱ) vorausgesetzt werden.

ˆ F¨ur alle angegebenen Turingmaschinen d¨urfen jeweils nicht mehr als 8 Zust¨ande und 2 B¨ander verwendet werden.

ˆ F¨ur alle angegebenen Turingmaschinen muss zus¨atzlich eine verst¨andliche Be- schreibung angegeben werden.

Allerdings ist mit sehr hohen Punktabz¨ugen zu rechnen falls L(M) = A₄ voraus- gesetzt wird, aber L(M) 6=A4 gilt bzw. dTimeM ∈ O(nⁱ) vorausgesetzt wird, aber dTime_M ∈/O(nⁱ) gilt.

2. F¨ur welche X ∈ {P,NP} gilt A₄ ∈X? Begr¨unde Deine Antwort kurz.