Schriftliche Leistungskontrolle (EK)

Schriftliche Leistungskontrolle (EK)

Hinweis:

• F ¨ur diese schriftliche Leistungskontrolle gelten alle Hinweise, die in der Ank ¨undigung der Kontrolle aufgelistet waren. Diese Hinweise sind bei Bedarf w¨ahrend der

Leistungskontrolle verf ¨ugbar (Handzeichen gen ¨ugt).

Studentenidentifikation:

N ac h na m e V o r na m e

M at r i k e l n u m m e r

S t u d i e n g a n g

T u t o r

Sarkaft,Sven,Tim,Tsveti,Uwe

Aufgaben ¨ubersicht:

A u f g a b e S e i t e P u n k t e T h e m e n b e r e i c h

1 2 22 Homomorphismen

2 5 26 Kongruenzen

3 8 33 Grammatiken

4 12 15 Regul¨are Ausdr ¨ucke

5 14 4 Pumping Lemma

Korrektur:

A u f g a b e 1 2 3 4 5 ∑

P u n k t e 22 26 33 15 4 100

E r r e i c h t

K o r r e k t o r

E i n s i c h t

Aufgabe 1: Homomorphismen (22Punkte) Gegeben seien die Signatur Σfoo und dieΣfoo-Algebren Aund B:

Σfoo A B

s As ,R Bs ,N

const:( s) const_A : As const_B : Bs

const_A ,0 const_B ,0 one:( s, s) one_A : As→As one_B : Bs→Bs

x7→x+1 x7→x+1

two:( s, s, s) two_A : As×As→As two_B : Bs×Bs→Bs

(x,y)7→x+y (x,y)7→x+y a. (7Punkte)(*)

Beweise oder widerlege: Es existiert einΣfoo-Homomorphismus f : B→ A.

Hinweis:Falls f existiert, muss nur die Operationsvertr¨aglichkeit explizit nachgewiesen werden.

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b. (10Punkte)(***)

Beweise oder widerlege: Es existiert einΣfoo-Homomorphismus g: A→ B.

Hinweis:Falls gexistiert, muss nur die Operationsvertr¨aglichkeit explizit nachgewiesen werden.

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c. (5Punkte)(*)

Beweise oder widerlege: Es existiert einΣfoo-Isomorphismus h: B → A.

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Aufgabe 2: Kongruenzen (26Punkte) Gegeben seien die folgende Signatur und Algebren:

Σbar A B

low Alow ,N Blow ,{ a, b}^∗

high Ahigh ,P(_N) Bhigh ,N×_N

bot:(low ) bot_A : Alow bot_B : Blow

bot_A ,0 bot_B ,λ

top:(high) top_A : Ahigh top_B : Bhigh

top_A ,∅ top_B ,(0, 0)

one:(high, low ) one_A : Ahigh→Alow one_B : Bhigh→Blow

X7→

(0 , fallsX =_∅

min(X) , sonst (x,y)7→a^xb^y

two:(low, high, high ) two_A : Alow×Ahigh→Ahigh two_B : Blow×Bhigh→Bhigh

(a,X)7→ { a} ∪X (w,(x,y))7→(x+|w|_a,y+|w|_b) Wobei min das kleinste Element einer Teilmenge vonNliefert.

a. (9Punkte)(**)

Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?

F ¨ur jedes falsche Kreuz bekommst Du einen Punkt Abzug.

Bei dieser Teilaufgabe bekommst Du mindestens0Punkte.

richtig -falsch one_A(_N) =0

richtig -falsch one_A({2, 5, 4, 1, 8, 2, 7 }) ={ 1} richtig -falsch ∀n∈ _N.two_A(n,{ 1, 2, 3}) 6={ 1, 2, 3} richtig -falsch one_B((3, 1)) = aaabbb

richtig -falsch one_B(top_B) =bot_B

richtig -falsch two_B(aba,(21, 41)) = (22, 43)

richtig -falsch ∀(x,y) ∈ Bhigh.two_B(λ,(x,y)) = (x,y) richtig -falsch ∀w∈ Blow.two_B(w,(0, 0)) = (0, 0) richtig -falsch ∃(x,y) ∈ Bhigh.one_B((x,y)) =b^xa^y

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b. (7Punkte)(*)

SeiK = (Ks : As×As)_{s∈{low,high}} mit

Klow ={ (x, y)|x mod 3=y mod 3}

Khigh ={ (x, y)|one_A(x) mod 2=one_A(y) mod 2} Beweise, dass K keineKongruenz auf A ist.

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c. (10Punkte)(**)

SeiK = (Ks : Bs×Bs)_{s∈{low,high}} mit

Klow ={ (x, y) | x, y ∈Blow∧ |x|_a− |x|_b =|y|_a− |y|_b }

Khigh ={ ((a, b), (x, y))| (a, b), (x, y) ∈ Bhigh∧a−b =x−y} Beweise, dass K eine Kongruenz auf Bist.

Hinweis:

• |w|_a liefert die Anzahl der Vorkommen des Symbols a im Wortw.

• Es gen ¨ugt, die Operationsvertr¨aglichkeit nachzuweisen.

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Aufgabe 3: Grammatiken (33Punkte) a. (9Punkte)(**)

Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?

F ¨ur jedes falsche Kreuz bekommst Du einen Punkt Abzug.

Bei dieser Teilaufgabe bekommst Du mindestens0Punkte.

F ¨ur alleGrammatiken G= (V,A_,P,S) _gilt:

richtig -falsch Wenn L(G) = ∅, dann gibt es inGeine Produktionsregel der Form α →λ.

richtig -falsch Wenn es eine Produktionsregel der Formα →_λ gibt, dann ist L(G) = { λ}.

richtig -falsch WennS→λ∈ P, dann ist L(G) ={ λ }. richtig -falsch WennS→_λ∈ P, dann istλ ∈_L(G)_. richtig -falsch WennS→λ∈ P, dann ist L(G) =_∅.

richtig -falsch Wenn es keine Produktionsregel der Formα → βmitα ∈ V und β∈ A^∗ gibt, dann ist L(G) = _∅.

richtig -falsch Wenn es keine Produktionsregel der Formα → βmit β∈ A^∗ gibt, dann ist L(G) = _∅.

richtig -falsch WennG eine Sprache des Typs3erzeugt, dann hat diese Sprache auch den Typ2.

richtig -falsch WennG den Typ3 hat, dann hat sie auch den Typ2.

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b. (*)

Gegeben seien A={ a, b }

G_i =({ S, T, U},A,P_i,S)

P1 :S→ aS| baT T→ λ|U U→ abSa

P2 : S→ bS| aS|baT T→ bT| aT |bU U→ b

P₃ :S→ aS| abT T→ aaU|bTa U→ b

aa→ bbb

P₄ : S→ a| b |_λ |T T→ aabTa aa→U

U→ λ|S

i) (8Punkte)(*)

Entscheide durch Eintragen vonX(= ja) undX (= nein), ob die entsprechende Grammatik vom jeweiligen Typ ist. F ¨ur falsche Antworten werden Dir Punkte abgezogen. Du bekommst bei dieser Aufgabe mindestens0Punkte.

Typ 0 Typ1 Typ2 Typ3 G1

G₂ G₃ G4

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ii) (5Punkte)(**)

Gib eine Ableitung des Wortesw=bbbbbbbbinG3 an.

Hinweis: what die L¨ange 8.

iii) (4Punkte)(*) Gib f ¨ur jededer Grammatiken G1 bis G4je zwei verschiedene W ¨orter der durch sie erzeugten Sprache an.

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iv) (7Punkte)(**) Gib L(G₂) _{und L}(G₄) in Mengenschreibweise an.

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Aufgabe 4: Regul¨are Ausdr ¨ucke (15Punkte)

a. (4Punkte)(*) Gib einen regul¨aren Ausdruck R1 an, so dass L(R1) ={ _aⁿ_babaⁿ | _n∈[[[1, 3]]] }

b. (5Punkte)(*) Gegeben sei

R1 =a^∗+ (ab)^∗+b^∗

Gib eine regul¨are Grammatik Gan, so dass L(G) =L(R₂)

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c. (6Punkte)(*) Gegeben seien

R3 =(a(ab+a)^∗+ (bba+b)^∗)^∗ R₄ =(b+ab+ba)ba(a)^∗(aba)^∗ R₅ =(((b)^∗a)^∗b)^∗

Entscheide durch Eintragen von X(= ja) undX (= nein), ob das entsprechende Wort in der von dem regul¨aren Ausdruck erzeugten Sprache liegt. F ¨ur falsche Antworten werden Dir Punkte abgezogen. Du bekommst bei dieser Aufgabe mindestens0Punkte.

R3 R4 R5

λ b babaaba bba

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Aufgabe 5: Pumping Lemma (4Punkte) Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?

F ¨ur jedes falsche Kreuz bekommst Du einen Punkt Abzug.

Bei dieser Aufgabe bekommst Du mindestens0Punkte.

F ¨ur alleSprachen A gilt:

richtig -falsch Wenn manPUMP(A) zeigen kann, dann ist Aregul¨ar.

richtig -falsch Wenn man¬PUMP(A)zeigen kann, dann ist Anicht regul¨ar.

richtig -falsch Wenn Aregul¨ar ist, dann kann manPUMP(A)zeigen.

richtig -falsch Wenn Anicht regul¨ar ist, dann kann man¬PUMP(A)zeigen.

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Auf dieser Seite l ¨ose ich einen Teil der Aufgabe : Teilaufgabe :

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