• Ihr d ¨urft nur die Abschnitte 1 bis 2 . 4 der Formelsammlung verwenden.

(1)

Schriftliche Leistungskontrolle (ZK-N)

Hinweise:

• Ihr d ¨urft nur die Abschnitte 1 bis 2 . 4 der Formelsammlung verwenden.

• F ür diese schriftliche Leistungskontrolle gelten alle Hinweise, die in der Ank ündigung der Kontrolle aufgelistet waren. Diese Hinweise sind bei Bedarf während der

Leistungskontrolle verf ¨ugbar (Handzeichen gen ¨ugt).

Studentenidentifikation:

N ac h na m e V o r na m e

M at r i k e l n u m m e r

S t u d i e n g a n g Informatik Bachelor,

T u t o r _Arne, _Ewgenij, _Hanna, _Katja,

^Kirstin, ^Mascha, ^Sven, ^Tsveti

Aufgaben ¨ubersicht:

A u f g a b e S e i t e P u n k t e T h e m e n b e r e i c h

1 2 13 Menge

2 3 14 Bijektion

3 4 35 Relation und Quotient 4 6 28 Struktur und Auswertung 5 9 10 Strukturelle Induktion

Korrektur:

A u f g a b e 1 2 3 4 5 ∑

P u n k t e 13 14 35 28 10 100

(2)

Aufgabe 1: Menge (13 Punkte) a. (7 Punkte) (*)

Beweise:

∀ A, B . ( A ∪ B ) \ B = A \ B Achtung:

• Es darf vorausgesetzt werden, dass f ¨ur alle p ∈ _B = { T , F } _gilt:

( 1 ): p ∧ ¬ p ≡ F und ( 2 ): p ∨ F ≡ p.

• Begr ¨unde jeden Schritt.

• Lasse keine Schritte aus.

• Verwende keine Wahrheitstafeln.

b. (3 Punkte) (*)

Berechne: P ({ 0 }) × { a, b }

Achtung: Gib keine Zwischenschritte an.

c. (3 Punkte) (*)

F ülle die L ücke mit einem m öglichst einfachen Ausdruck, so dass die Aussage gilt.

∀ A, B . ⇔ ( A ∪ B = A ∩ B )

2/10

(3)

Aufgabe 2: Bijektion (14 Punkte) a. (4 Punkte) (*)

Keuze die korrekten Aussagen an.

F ¨ur jedes falsche Kreuz bekommt ihr einen Punkt Abzug.

Bei dieser Teilaufgabe bekommt ihr mindestens 0 Punkte.

Achtung: Die F¨alle eins und zwei ¨uberlappen einander jeweils teilweise.

F ¨ur alle abz¨ahlbar unendlichen Mengen A und B gilt:

A \ B ist abz¨ahlbar endlich oder abz¨ahlbar unendlich.

A \ B ist abz¨ahlbar unendlich.

A \ B ist ¨uberabz¨ahlbar.

A ∪ B ist abz¨ahlbar endlich oder abz¨ahlbar unendlich.

A ∪ B ist abz¨ahlbar unendlich.

A ∪ B ist ¨uberabz¨ahlbar.

P ( A ) ist abz¨ahlbar endlich oder abz¨ahlbar unendlich.

P ( A ) ist abz¨ahlbar unendlich.

P ( A ) ist ¨uberabz¨ahlbar.

b. (3 Punkte) (*)

Seien f : A → B und g : C → D beliebige Bijektionen.

Gib an: Eine Bijektion h : A × C → B × D.

c. (7 Punkte) (**)

Seien f : A → B und g : C → D beliebige Bijektionen.

Gib an: Eine Bijektion h : A ] C → B ] D.

(4)

Aufgabe 3: Relation und Quotient (35 Punkte) a. Sei R

1

⊆ [[[ 0, 5 ]]] × [[[ 0, 5 ]]] definiert durch R

1

, { ( x, y ) ∈ [[[ 0, 5 ]]] × [[[ 0, 5 ]]] | y = 2 ∗ x − 1 } .

i) (4 Punkte) (*) Visualisiere R

1

.

ii) (3 Punkte) (*)

Visualisiere r ( t ( s ( R

₁

))) .

iii) (3 Punkte) (*)

Gib an: # ([[[ 0, 5 ]]] /r ( t ( s ( R

₁

)))) .

iv) (5 Punkte) (**)

Visualisiere eine minimale Relation PO mit R

₁

⊆ PO, so dass PO eine partielle Ordnung ist und # ([[[ 0, 5 ]]] /s ( PO )) = 2 gilt.

4/10

(5)

b. (6 Punkte) (*)

Sei R

2

⊆ [[[ 0, 3 ]]] × [[[ 0, 3 ]]] definiert durch R

2

, t ( r ({ ( 1, 2 ) , ( 0, 3 ) , ( 2, 0 ) })) . Sortiere die Worte 20313 , 1230 , 2301 und 2031 .

_R₂

^S_R

2

^S_R

2

^S_R

2

c. (7 Punkte) (**)

Gib an: Aquivalenzen ¨ R

a

, R

b

⊆ [[[ 0 , 2 ]]] × [[[ 0 , 2 ]]] , deren Komposition keine ¨ Aquivalenz ist.

d. (7 Punkte) (***)

Seien A, B beliebig mit A ⊆ B und B 6= _∅.

Sei χ

A

mit

χ

_A

: B →{ 0, 1 } x 7→

( 1 , x ∈ A 0 , x ∈ / A gegeben.

Beweise: A = B ⇒ B /Ker ( _χ

_A

) = { B } _.

(6)

Aufgabe 4: Struktur und Auswertung (28 Punkte)

Wir definieren (wie in der ZK) zwei totale Abbildungen:

head : { 0, 1 }

^∗

\ { λ } →{ 0, 1 } ( x

₁

, . . . , x

n

) 7→ x

₁

tail : { 0, 1 }

^∗

\ { _λ } →{ 0, 1 }

^∗

( x

₁

, . . . , x

n

) 7→ ( x

₂

, . . . , x

n

) Die Signatur Σ mit Σ-Algebra A ist wie folgt definiert.

Σ A

data A

data

, { 0, 1 }

coll A

coll

, A

^∗_data

∪ { }

bool A

bool

, { M , T , V }

null : ( data ) null

_A

: A

data

null

_A

, ⁰ fail : ( coll ) fail

_A

: A

coll

fail

_A

,

swap : ( data , data ) swap

_A

: A

data

→ A

data

x 7→ | x − 1 | restart : ( coll , coll ) restart

_A

: A

coll

→ A

coll

x 7→

(

λ , x = x · x , x 6=

pow : ( data , coll , coll ) pow

_A

: A

data

× A

coll

→ A

coll

( v, x ) 7→

( , x = v · x , sonst div : ( coll , coll ) div

_A

: A

coll

→ A

coll

x 7→

( _, x ∈ { _λ, } tail ( x ) _{, sonst}

mod : ( coll, data ) mod

_A

: A

coll

→ A

data

x 7→

( , x ∈ { λ, } head ( x ) , sonst

even : ( coll , bool ) even

_A

: A

coll

→ A

bool

x 7→



 

 

M , mod

_A

( x ) = V , mod

_A

( x ) = 1 T , mod

_A

( x ) = 0 round : ( coll , coll ) round

_A

: A

coll

→ A

coll

x 7→ pow

_A

( null

_A

, mod

_A

( x ))

Das Variablensystem X und die Variablenbelegung α sind wie folgt definiert.

X , ( X

s

)

_s_∈{_data,_coll,_bool_}

X

data

, { d

₁

, d

₂

}

X

coll

, { c

₁

, c

₂

} X

bool

, { t }

α : X → A

α , ( α

s

: X

s

→ A

s

)

_s_∈{_data,_coll,_bool_}

α

data

, { ( d

₁

, 1 ) , ( d

₂

, 0 ) } ⊆ X

data

× A

data

α

coll

, { ( c

₁

, ) _, ( c

₂

, 1101 ) } ⊆ X

coll

× A

coll

α

bool

, { ( t, M ) } ⊆ X

bool

× A

bool

6/10

(7)

a. (2 Punkte) (*)

F ¨ur alle Signaturen gilt:

Wenn es keine Konstanten in der Signatur gibt, dann gibt es keine Grundterme.

Wahr Falsch b. (3 Punkte) (*)

Gib die Menge von Grundtermen zur Sorte data explizit an.

Hinweis: Die allgemeine Definition aus der Formelsammlung ist nicht gefragt.

Hinweis: Gib T

_Σ,coll

und T

_Σ,bool

nicht an.

T

_Σ,data

=

c. (9 Punkte) (*)

Berechne: xeval

^α,A_coll

( round ( pow ( d

1

, pow ( swap ( d

2

) , restart ( c

1

)))))

Hinweis: Gib mindestens drei bedeutsame Schritte an.

(8)

d. (7 Punkte) (*)

Gib an: β : X → A und f ∈ { restart, round, div } , so dass

xeval

_coll^β,A

( f ( pow ( swap ( d

1

) , pow ( mod ( c

1

) , restart ( div ( c

2

)))))) = 01.

e. (7 Punkte) (**)

Gib an: Eine Untersignatur Σ

U

von Σ, so dass

• eval

^A^Σ^U

injektiv ist und

• die Anzahl an Operatornamen von Σ

U

maximal ist.

Nenne daf ¨ur nur die aus Σ entfernten Sorten und Operatornamen.

8/10

(9)

Aufgabe 5: Strukturelle Induktion (10 Punkte) (**)

Gegeben ist ein Redukt der vorigen Algebra.

Σ

⁰

B

data B

data

, { 0, 1 }

coll B

coll

, B

^∗_data

∪ { } bool B

bool

, { M , T , V }

null : ( data ) null

_B

: B

data

null

_B

, ⁰ fail : ( coll ) fail

_B

: B

coll

fail

_B

,

restart : ( coll , coll ) restart

_B

: B

coll

→ B

coll

x 7→

(

λ , x = x · x , x 6=

even : ( coll, bool ) even

_B

: B

coll

→ B

bool

x 7→



 

 

M , mod

_B

( x ) = V , mod

_B

( x ) = 1 T , mod

_B

( x ) = 0 mod : ( coll, data ) mod

_B

: B

coll

→ B

data

• Ihr d ¨urft nur die Abschnitte 1 bis 2 . 4 der Formelsammlung verwenden.

Schriftliche Leistungskontrolle (ZK-N)

Hinweise:

• Ihr d ¨urft nur die Abschnitte 1 bis 2 . 4 der Formelsammlung verwenden.

• F ür diese schriftliche Leistungskontrolle gelten alle Hinweise, die in der Ank ündigung der Kontrolle aufgelistet waren. Diese Hinweise sind bei Bedarf während der

Leistungskontrolle verf ¨ugbar (Handzeichen gen ¨ugt).

Studentenidentifikation:

N ac h na m e V o r na m e

M at r i k e l n u m m e r

S t u d i e n g a n g Informatik Bachelor,

T u t o r Arne, Ewgenij, Hanna, Katja,

Kirstin, Mascha, Sven, Tsveti

Aufgaben ¨ubersicht:

A u f g a b e S e i t e P u n k t e T h e m e n b e r e i c h

1 2 13 Menge

2 3 14 Bijektion

3 4 35 Relation und Quotient 4 6 28 Struktur und Auswertung 5 9 10 Strukturelle Induktion

Korrektur:

A u f g a b e 1 2 3 4 5 ∑

P u n k t e 13 14 35 28 10 100

Aufgabe 1: Menge (13 Punkte) a. (7 Punkte) (*)

Beweise:

∀ A, B . ( A ∪ B ) \ B = A \ B Achtung:

• Es darf vorausgesetzt werden, dass f ¨ur alle p ∈ B = { T , F } gilt:

( 1 ): p ∧ ¬ p ≡ F und ( 2 ): p ∨ F ≡ p.

• Begr ¨unde jeden Schritt.

• Lasse keine Schritte aus.

• Verwende keine Wahrheitstafeln.

b. (3 Punkte) (*)

Berechne: P ({ 0 }) × { a, b }

Achtung: Gib keine Zwischenschritte an.

c. (3 Punkte) (*)

F ülle die L ücke mit einem m öglichst einfachen Ausdruck, so dass die Aussage gilt.

∀ A, B . ⇔ ( A ∪ B = A ∩ B )

2/10

Aufgabe 2: Bijektion (14 Punkte) a. (4 Punkte) (*)

Keuze die korrekten Aussagen an.

F ¨ur jedes falsche Kreuz bekommt ihr einen Punkt Abzug.

Bei dieser Teilaufgabe bekommt ihr mindestens 0 Punkte.

Achtung: Die F¨alle eins und zwei ¨uberlappen einander jeweils teilweise.

F ¨ur alle abz¨ahlbar unendlichen Mengen A und B gilt:

A \ B ist abz¨ahlbar endlich oder abz¨ahlbar unendlich.

A \ B ist abz¨ahlbar unendlich.

A \ B ist ¨uberabz¨ahlbar.

A ∪ B ist abz¨ahlbar endlich oder abz¨ahlbar unendlich.

A ∪ B ist abz¨ahlbar unendlich.

A ∪ B ist ¨uberabz¨ahlbar.

P ( A ) ist abz¨ahlbar endlich oder abz¨ahlbar unendlich.

P ( A ) ist abz¨ahlbar unendlich.

P ( A ) ist ¨uberabz¨ahlbar.

b. (3 Punkte) (*)

Seien f : A → B und g : C → D beliebige Bijektionen.

Gib an: Eine Bijektion h : A × C → B × D.

c. (7 Punkte) (**)

Seien f : A → B und g : C → D beliebige Bijektionen.

Gib an: Eine Bijektion h : A ] C → B ] D.

Aufgabe 3: Relation und Quotient (35 Punkte) a. Sei R

⊆ [[[ 0, 5 ]]] × [[[ 0, 5 ]]] definiert durch R

, { ( x, y ) ∈ [[[ 0, 5 ]]] × [[[ 0, 5 ]]] | y = 2 ∗ x − 1 } .

i) (4 Punkte) (*) Visualisiere R

.

ii) (3 Punkte) (*)

Visualisiere r ( t ( s ( R

))) .

iii) (3 Punkte) (*)

Gib an: # ([[[ 0, 5 ]]] /r ( t ( s ( R

)))) .

iv) (5 Punkte) (**)

Visualisiere eine minimale Relation PO mit R

⊆ PO, so dass PO eine partielle Ordnung ist und # ([[[ 0, 5 ]]] /s ( PO )) = 2 gilt.

4/10

b. (6 Punkte) (*)

Sei R

⊆ [[[ 0, 3 ]]] × [[[ 0, 3 ]]] definiert durch R

, t ( r ({ ( 1, 2 ) , ( 0, 3 ) , ( 2, 0 ) })) . Sortiere die Worte 20313 , 1230 , 2301 und 2031 .

c. (7 Punkte) (**)

Gib an: Aquivalenzen ¨ R

, R

⊆ [[[ 0 , 2 ]]] × [[[ 0 , 2 ]]] , deren Komposition keine ¨ Aquivalenz ist.

d. (7 Punkte) (***)

T u t o r _Arne, _Ewgenij, _Hanna, _Katja,

^Kirstin, ^Mascha, ^Sven, ^Tsveti

• Es darf vorausgesetzt werden, dass f ¨ur alle p ∈ _B = { T , F } _gilt:

Seien A, B beliebig mit A ⊆ B und B 6= _∅.

Beweise: A = B ⇒ B /Ker ( _χ

) = { B } _.

\ { _λ } →{ 0, 1 }

, ⁰ fail : ( coll ) fail

( _, x ∈ { _λ, } tail ( x ) _{, sonst}