Schriftliche Leistungskontrolle (EK-N)

Schriftliche Leistungskontrolle (EK-N)

Hinweis:

• F ¨ur diese schriftliche Leistungskontrolle gelten alle Hinweise, die in der Ank ¨undigung der Kontrolle aufgelistet waren. Diese Hinweise sind bei Bedarf w¨ahrend der

Leistungskontrolle verf ¨ugbar (Handzeichen gen ¨ugt).

Studentenidentifikation:

N ac h na m e V o r na m e

M at r i k e l n u m m e r

S t u d i e n g a n g

T u t o r

Sarkaft,Sven,Tim, Tsveti,Uwe

Aufgaben ¨ubersicht:

A u f g a b e S e i t e P u n k t e T h e m e n b e r e i c h

1 2 22 Homomorphismen

2 5 26 Kongruenzen

3 8 33 Grammatiken

4 12 15 Regul¨are Ausdr ¨ucke

5 14 4 Pumping Lemma

Korrektur:

A u f g a b e 1 2 3 4 5 ∑

P u n k t e 22 26 33 15 4 100

E r r e i c h t

K o r r e k t o r

E i n s i c h t

Aufgabe 1: Homomorphismen (22Punkte) Gegeben seien die Signatur Σfoo und dieΣfoo-Algebren Aund B:

Σfoo A B

s As ,{ a}^∗ Bs ,R

const:( s) const_A : As const_B : Bs

const_A ,λ const_B ,0 one:( s, s) one_A : As→As one_B : Bs→Bs

w7→aw x7→x+1

two:( s, s, s) two_A : As×As→As two_B : Bs×Bs→Bs

(w1,w2)7→w1·w2 (x,y)7→x+y a. (9Punkte)(**)

Beweise oder widerlege: Es existiert einΣfoo-Homomorphismus f : B→ A.

Hinweis:Falls f existiert, muss nur die Operationsvertr¨aglichkeit explizit nachgewiesen werden.

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b. (10Punkte)(***)

Beweise oder widerlege: Es existiert einΣfoo-Homomorphismus g: A→ B.

Hinweis:Falls gexistiert, muss nur die Operationsvertr¨aglichkeit explizit nachgewiesen werden.

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c. (3Punkte)(*)

Beweise oder widerlege: Es existiert einΣfoo-Isomorphismus h: B → A.

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Aufgabe 2: Kongruenzen (26Punkte) Gegeben seien die folgende Signatur und Algebren:

Σbar A B

low Alow ,R Blow ,Pfin(_N)

high Ahigh ,R×_R Bhigh ,N

bot:(low ) bot_A : Alow bot_B : Blow

bot_A ,0 bot_B ,∅

top:(high) top_A : Ahigh top_B : Bhigh

top_A ,(0, 0) top_B ,0

one:(high, low ) one_A : Ahigh→Alow one_B : Bhigh→Blow

(a,b)7→√

a²+b² n7→ {n}

two:(low, high, high ) two_A : Alow×Ahigh→Ahigh two_B : Blow×Bhigh→Bhigh

(a,(x,y))7→(a∗x,a∗y) (X,n)7→#(X∪ {n}) WobeiP_fin(_N) die Menge aller endlichen Teilmengen vonNbezeichnet.

a. (9Punkte)(**)

Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?

F ¨ur jedes falsche Kreuz bekommst Du einen Punkt Abzug.

Bei dieser Teilaufgabe bekommst Du mindestens0Punkte.

richtig -falsch one_A(top_A) =bot_A richtig -falsch one_A((3, 4)) =5

richtig -falsch ∀x ∈Ahigh.one_A(x)≥0 richtig -falsch two_A(2,(3, 4)) = (6, 12) richtig -falsch one_B(top_B) =bot_B richtig -falsch two_B(_{∅, 0}) =0

richtig -falsch ∀X ∈ Blow.two_B(X, 42) 6=#(X) richtig -falsch two_B({0, 1, 2, 3, 4}, 5) = 5 richtig -falsch ∃n∈ Bhigh.one_B(n) = _∅

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b. (10Punkte)(**)

SeiK = (Ks : As×As)_{s∈{low,high}} mit

Klow =_∆R

Khigh ={ ((a, b), (x, y))|_a²−_x² =y²−_b² } Beweise, dass K eine Kongruenz auf A ist.

Hinweis: Es gen ¨ugt, die Operationsvertr¨aglichkeit nachzuweisen.

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c. (7Punkte)(**)

SeiK = (Ks : Bs×Bs)_{s∈{low,high}} mit

Klow ={ (X, Y)|_#(X) = _#(Y) }

Khigh ={ (a, b)|a mod 2=b mod 2} Beweise, dass K keineKongruenz auf Bist.

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Aufgabe 3: Grammatiken (33Punkte) a. (9Punkte)(**)

Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?

F ¨ur jedes falsche Kreuz bekommt ihr einen Punkt Abzug.

Bei dieser Teilaufgabe bekommt ihr mindestens 0Punkte.

F ¨ur alleGrammatiken G = (V,A_,P,S) _gilt:

richtig -falsch WennA={ a } ist, dann ist L(G) = { a }^∗

richtig -falsch Wenn es eine Produktionsregel der FormS→Sgibt, dann erzeugt die Grammatik die leere Sprache.

richtig -falsch WennP ={S→S}, dann ist L(G) = {λ } richtig -falsch WennP ={S→S}, dann ist L(G) = _∅ richtig -falsch Wenn{ S→_λ} ∈ P, dann ist L(G) = { _λ}

richtig -falsch Wenn L(G) = ∅, dann hat jede Regel mindestens ein Nichtterminal auf der rechten Seite.

richtig -falsch Wenn jede Regel mindestens ein Nichtterminal auf der rechten Seite hat, dann istL(G) = _∅.

richtig -falsch WennG eine Sprache des Typs2erzeugt, dann hat diese Sprache auch den Typ1.

richtig -falsch WennG den Typ2 hat, dann hatG auch den Typ1.

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b. (*)

Gegeben seien

A={ a, b, c }

G_i =({ S, T, U },A,P_i,S)

P1 :S→ cS| Tac T→ λ|U U→ abSc

P2 : S→ aS |bS| abcT T→ bT| cT |cU U→ ba

P₃ :S→SaT| abT T→ c| aaU U→ a aa→ bbb

P₄ : S→ a| b |_λ |T T→ SU

aa→U U→ λ

i) (8Punkte)(*)

Entscheide durch Eintragen vonX(= ja) undX (= nein), ob die entsprechende Grammatik vom jeweiligen Typ ist. F ¨ur falsche Antworten werden Dir Punkte abgezogen. Du bekommst bei dieser Aufgabe mindestens0Punkte.

Typ 0 Typ1 Typ2 Typ3 G1

G₂ G₃ G4

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ii) (5Punkte)(**)

Gib eine Ableitung des Wortesabbbbaac inG3an.

iii) (4Punkte)(*) Gib f ¨ur jede Grammatik 2W ¨orter der durch sie erzeugten Sprache an.

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iv) (7Punkte)(**) Gib L(G₂) _und L(G₄) in Mengenschreibweise an.

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Aufgabe 4: Regul¨are Ausdr ¨ucke (15Punkte) a. (4Punkte)(*) Gib einen regul¨aren Ausdruck R1 an, so dass

L(R1) ={ _bⁿ_ba²ⁿ |_n ∈[[[1, 3]]]}

b. (5Punkte)(*) Gegeben sei

R2 =a(a+b)(ab^∗) +bba

Gib eine Grammatik G an, so dass L(G) = L(R₂)

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c. (6Punkte)(*) Gegeben seien

R3 =ab(a^∗+b^∗) R₄ =(a+b)a^∗(b+b)^∗ R₅ =(a+b)(b+a)(_ε+0)

Entscheide durch Eintragen von X(= ja) undX (= nein), ob das entsprechende Wort in der von dem regul¨aren Ausdruck erzeugten Sprache liegt.

R3 R4 R5

λ bb aaabbb abb

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Aufgabe 5: Pumping Lemma (4Punkte) Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?

F ¨ur jedes falsche Kreuz bekommst Du einen Punkt Abzug.

Bei dieser Aufgabe bekommst Du mindestens0Punkte.

F ¨ur alleSprachen A gilt:

richtig -falsch Wenn man¬PUMP(A)zeigen kann, dann ist Anicht regul¨ar.

richtig -falsch Wenn manPUMP(A) zeigen kann, dann ist Aregul¨ar.

richtig -falsch Wenn Adurch eine regul¨are Grammatik erzeugt wird, dann kann man PUMP(A) zeigen.

richtig -falsch Wenn Adurch eine nicht-regul¨are Grammatik erzeugt wird, dann kann man¬PUMP(A)zeigen.

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Auf dieser Seite l ¨ose ich einen Teil der Aufgabe : Teilaufgabe :

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