Richtig oder falsch?

Dominik Edelmann Analysis I Übungsaufgaben

Folgen

Aufgabe 1. Für welchex∈Rist die Folge (xⁿ)_n∈N eine Cauchyfolge?

Für welchex∈Rist die Folge (x⁻ⁿ)eine Cauchyfolge?

Aufgabe 2*. Zeige, dass die Folge

a_n:=

n

X

k=1

1

k−ln(n) konvergiert.

Anleitung: Schließe aus

1+ ¹

n n

< e <

1+¹

n n+1

(Aufgabe 10) dass

1 n >ln

n+1 n

> 1 n+1.

Schließe dann aus einer der beiden Ungleichungen, dassa_n+1−an <0, d.h. die Folge ist monoton fallend. Verwende die andere Ungleichung, um zu zeigen, dassan>0 für allen. Beachte dann das Monotoniekriterium.

Anmerkung: Der Grenzwertγdieser Folge heißt Euler-Mascheroni-Konstante.

Reihen

Aufgabe 1. Berechne

∞

X

k=1

1 k(k+1) Hinweis: Partialbruchzerlegung

Aufgabe 2. Berechne

∞

X

n=1

1 4n²−1

Aufgabe 3. Wann heißt eine Reihe absolut konvergent? Wie verhalten sich die Begriffe Absolute Konvergenz und Konvergenz zueinander?

Aufgabe 4. Ist die Reihe

∞

X

n=1

2ⁿn!

nⁿ

konvergent?

1

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Aufgabe 5. Bestimme jeweils das Konvergenzverhalten der Reihen. Verwende jeweils das Quo- tientenkriterium und anschließend das Wurzelkriterium.

∞

X

n=1

2⁽⁻¹⁾ⁿ 2ⁿ

∞

X

n=1

2ⁿ 2⁽⁻¹⁾ⁿ

∞

X

n=1

5+ (−1)ⁿ 2

−n

Aufgabe 6. Für welchex∈Rkonvergiert die Reihe

∞

X

n=0

n³ 2ⁿxⁿ

Stetigkeit

Aufgabe 1. Zeige, dass die Funktionf(x) =x² nicht gleichmäßig stetig aufRist.

Aufgabe 2. Zeige, dass die Gleichung 1

1+x² =^√x

eine Lösungx> 0 besitzt. Man bestimme ein Intervall [a,b] der Länge[b−a] 6 ¹₂, in dem eine Lösung existiert.

Aufgabe 3. a) Zeige: Istf gleichmäßig stetig und(xn)eine Cauchyfolge, so ist auchf(xn)eine Cauchyfolge. b) Zeige: Istf :(a,b)→Rgleichmäßig stetig, so kannf stetig auf[a,b] fortgesetzt werden, d.h. es gibty₁,y₂, so dass die Funktion

g(x):=







y₁, x=a f(x), a < x < b y₂, x=b stetig auf[a,b] ist. (Hinweis: Teil a) verwenden.)

Differenzierbarkeit

Aufgabe 1. Bestimme die Ableitung von

e^sin(x)cos(x²) Welche Ableitungsregeln wurden verwendet?

2

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Aufgabe 2. Sei

f(x) =

(0, x6⁰ xⁿ⁺¹, x >0

Zeige:f ist aufRn-mal stetig differenzierbar. Berechnef^(k)fürk6n. Zeige dann, dassf⁽ⁿ⁾stetig aber nicht differenzierbar ist.

Aufgabe 3. Zeige

x→0lim

1−cos(x)

x² = ¹

2 Zeige für alleα6=0

x→0lim

sin(αx)

x =α

Gilt dies auch fürα=0?

Aufgabe 4. * Sei

f(x) =

(0, x6⁰ e^−1x, x >0

Zeige:f ist beliebig oft differenzierbar aufR. Anleitung: Zeige per Induktion, dass dien-te Ablei- tung gegeben ist (fürx >0) durch

f⁽ⁿ⁾(x) =p2n

1 x

e^−1x

wobeip_2n ein Polynom vom Grad6²ⁿist (muss nicht explizit bestimmt werden). Bilde dann den Differenzenquotienten.

Richtig oder falsch?

Bitte bei den richtigen Aussagen nach einem entsprechenden Satz aus der Vorlesung suchen und bei falschen Aussagen ein Gegenbeispiel finden

• Jede stetige Funktion ist differenzierbar.

• Jede stetige Funktion ist integrierbar.

• Jede differenzierbare Funktion ist stetig.

• Jede integrierbare Funktion ist stetig.

• Istf differenzierbar, so istf⁰ stetg.

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