Summierbarkeit in Banachr¨ aumen

Summierbarkeit in Banachr¨ aumen

Vorbemerkung. Seien X und I beliebige Mengen. Eine Ab- bildung f : I → X mit f(i) = x_i f¨ur alle i ∈ I definiert eine (indizierte) Familie (x_i)_i∈I von Elementen von X . Umgekehrt entspricht jeder (indizierten) Familie (x_i)_i∈I von Elementen von X eine Abbildung f : I → X .

Summierbarkeit in normierten R¨aumen bzw. Banachr¨aumen

F¨ur einen normierten K-Vektorraum (X,k k) ist die Summe von endlich vielen Vektoren von X stets erkl¨art. Wir wollen nun einen sinnvollen Begriff f¨ur die Summe einer (beliebigen) Familie von Vektoren definieren. Im folgenden wird stets K = R oder K = C sein.

Definition. Sei (X,k k) ein normierter K-Vektorraum und (x_i)_i∈I eine Familie von Elementen von X .

1) (x_i)_i∈I heißt summierbar zur Summe x ∈ X , kurz P

i∈I

x_i = x , wenn

zu jedem ε > 0 eine endliche Teilmenge E₀ ⊆ I existiert sodaß f¨ur jede endliche Teilmenge E ⊆ I mit E ⊇ E₀ gilt : kx − P

i∈E

x_ik < ε .

2) (x_i)_i∈I heißt absolut summierbar wenn (kx_ik)_i∈I summierbar in R ist.

i i∈I

{i ∈ I : x_i 6= 0} h¨ochstens abz¨ahlbar.

Beweis: F¨ur jedes n ∈ N w¨ahle eine endliche Teilmenge E_n ⊆ I sodaß f¨ur jede endliche Teilmenge E ⊆ I mit E ⊇ E_n gilt : kx − P

i∈E

x_ik < _2n¹ . Die Menge F = S

n∈N

E_n ist dann abz¨ahlbar.

Sei nun j ∈ I \F . F¨ur jedes n ∈ N gilt dann kx_jk = k P

i∈E_n∪{j}

x_i − P

i∈E_n

x_ik ≤ k P

i∈E_n∪{j}

x_i − xk+kx − P

i∈E_n

x_ik ≤

1 n ,

woraus kx_jk = 0 bzw. x_j = 0 folgt. ¤

Satz. (Cauchy-Kriterium)

Sei (X,k k) ein Banachraum und (x_i)_i∈I eine Familie von Elementen von X . Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

(1) (x_i)_i∈I ist summierbar.

(2) Zu jedem ε > 0 existiert eine endliche Teilmenge E₀ ⊆ I sodaß f¨ur jede endliche Teilmenge E ⊆ I mit E ∩E₀ = ∅ gilt : kP

i∈E

x_ik < ε .

Folgerung. Sei (X,k k) ein Banachraum. F¨ur (x_i)_i∈I gilt : 1) (x_i)_i∈I ist absolut summierbar ⇒ (x_i)_i∈I ist summierbar 2) (x_i)_i∈I ist summierbar ⇒ (x_i)_i∈I1 ist summierbar f¨ur jede Teilmenge I₁ ⊆ I .

Beweis. Sei J wiederum die Menge der endlichen Teilmengen von I und sei ε > 0 . W¨ahle E₀ ∈ J sodaß f¨ur alle E ∈ J mit E ∩ E₀ = ∅ gilt : | P

i∈E

kx_ik| < ε

(bzw. k P

i∈E

x_ik < ε f¨ur (2) ) . Es folgt dann k P

i∈E

x_ik ≤ P

i∈E

kx_ik < ε , also die Summierbarkeit von (x_i)_i∈I .

F¨ur (2) sei J₁ die Menge der endlichen Teilmengen von I₁ . Wegen E₀∩I₁ ∈ J₁ und E∩E₀ = ∅ f¨ur jedes E ∈ J₁ mit E∩(E₀∩I₁) =

∅ gilt auch kP

i∈E

x_ik < ε , und damit die Summierbarkeit von (x_i)_i∈I1 . ¤

Bemerkung. Ohne Beweis seien vermerkt, daß die Implika- tion in (1) im allgemeinen nicht umkehrbar ist. F¨ur X = C folgt allerdings aus der Summierbarkeit von (x_i)_i∈I die absolute Summierbarkeit !

Satz 4. Sei (X,k k) ein normierter Raum, P

i∈I

x_i = x und σ : I → I bijektiv.

Dann ist (x_σ(i))_i∈I summierbar und P

i∈I

x_σ(i) = x .

Beweis. Sei J die Menge der endlichen Teilmengen von I und sei ε > 0 . W¨ahle E₀ ∈ J sodaß f¨ur alle E ∈ J mit E ⊇ E₀ gilt : kx − P

i∈E

x_ik < ε . Dann ist σ⁻¹(E₀) ∈ J, und f¨ur alle F ∈ J , F ⊃ σ⁻¹(E₀) folgt

kP

i∈F

x_σ(i) − xk = k P

s∈σ(F)

x_s − xk < ε . ¤

Der Beweis der folgenden Aussage sei dem Leser ¨uberlassen.

Satz. Sei (X,k k) ein normierter K-Vektorraum, P

x_i = x ,

i∈I

y_i = y und λ ∈ K . Dann gilt : P

i∈I

(x_i + y_i) = x +y und P

i∈I

(λx_i) = λx .

Unter Verwendung des Cauchy-Kriteriums l¨aßt sich folgende Aus- sage leicht nachweisen.

Satz. Sei (H, < >) ein Hilbertraum, und (u_i)_i∈I eine Familie paarweise orthogonaler Vektoren.

Dann gilt:

(u_i)_i∈I ist summierbar (in H) ⇔ (ku_ik²)_i∈I ist summierbar (in R).

. . . .

Summierbarkeit in R.

Vereinbarung: F¨ur die IndexmengeI sei J die Menge der endlichen Teilmengen von I .

Satz. Sei (x_i)_i∈I eine Familie reeller Zahlen mit x_i ≥ 0 ∀ i ∈ I . Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

(1) (x_i)_i∈I ist summierbar.

(2) ∃ a ∈ R sodaß ∀ E ∈ J : P

i∈E

x_i ≤ a .

Beweis. (1) ⇒ (2) : Sei P

i∈I

x_i = x . Setze a := x . Aus der Definition von P

i∈I

x_i folgt sofort, daß P

i∈E

x_i ≤ a f¨ur alle E ∈ J ist.

(2) ⇒ (1) : Wegen (2) existiert x = sup{ P

i∈E

x_i : E ∈ J } .

Man sieht sofort, daß P

i∈I

x_i = x ist. ¤

Bemerkung. Sei (x_i)_i∈I eine summierbare Familie reeller Zahlen mit x_i ≥ 0 f¨ur alle i ∈ I . Sei f : I → R mit f(i) = x_i ∀ i ∈ I , und µ das Z¨ahlmaß auf I . Dann gilt offenbar :R

I

f dµ = P

i∈I

x_i

Bemerkung. Seien (x_i)_i∈I und (y_i)_i∈I Familien nichtneg- ativer reeller Zahlen, und gelte x_i ≤ y_i ∀ i ∈ I . Falls (y_i)_i∈I summierbar ist, gilt offenbar P

i∈I

x_i ≤ P

i∈I

y_i .

Mit bekannten ¨Uberlegungen aus der Maßtheorie kann schließlich folgende wichtige Verallgemeinerung gezeigt werden:

Satz. Sei A eine Menge und f : A → K (K = R oder C) . Sei wiederum

f(α) = x_α ∀ α ∈ A , und µ das Z¨ahlmaß auf A . Dann gilt : f summierbar ⇔ f integrierbar (¨uber A) .

In diesem Fall ist dann R

A

f dµ = P

α∈A

x_α .

Der Hilbertraum l

(A)

Sei nun A eine beliebige Menge und µ das Z¨ahlmaß auf P(A) . Wie bereits erw¨ahnt, ist dann der zugeh¨orige Raum L²(A) ein Hilbertraum und wird mit l²(A) bezeichnet.

l²(A) = {x : A → K : R

A

|x|²dµ < ∞} . Mit x_α = x(α) f¨ur alle α ∈ A ergibt sich R

A

|x|²dµ = P

α∈A

|x_α|² und damit

l²(A) = {x : A → K : P

α∈A

|x_α|² < ∞} .

Das Skalarprodukt im l²(A) ist gegeben durch

< x, y >= (x, y) = R

A

xydµ = P

α∈A

x_αy_α

Im speziellen ergibt sich

• f¨ur A = {1,2, ..., n} der ¨ubliche Raum l²(A) = Kⁿ ,

• und f¨ur A = N der Raum aller (reellen bzw. komplexen) Folgen

l²(A) = l² = {x = (ξ_k) : P^∞

k=1

|ξ_k|² < ∞} .