Bachelorarbeit: Operatortheorie auf Tensorprodukten von Banachr¨aumen

Bachelorarbeit: Operatortheorie auf Tensorprodukten von Banachr¨aumen

Philip Scheberan

26. November 2018

Inhaltsverzeichnis

0.1 Einleitung . . . 2 0.2 Notation und einf¨uhrende Bemerkungen . . . 3

1 Tensorprodukte von Banachr¨aumen 4

1.1 Das algebraische Tensorprodukt . . . 4 1.2 Das Tensorprodukt von Banachr¨aumen . . . 8

2 Operatortheorie auf Tensorproduktr¨aumen 20

2.1 Nukleare Operatoren . . . 20 2.2 Integrale und Pietsch-integrale Operatoren . . . 21

0.1 Einleitung

Diese Arbeit besch¨aftigt sich mit dem Tensorprodukt von Banachr¨aumen. Das Tensor- produkt ist eine algebraische Konstruktion, welche oft in der Physik Anwendung findet, wobei man dabei meist das Tensorprodukt von Hilbertr¨aumen betrachtet.

Wenn man etwas allgemeiner das Tensorprodukt von Banachr¨aumen beleuchtet, erh¨alt man einige sehr interessante Resultate.

Im ersten Kapitel wird zuerst das Tensorprodukt als algebraische Konstruktion vorge- stellt. Wir definieren dabei das Tensorprodukt zweier Vektorr¨aume als Teilraum der li- nearen Funktionale auf dem Raum aller Bilinearformen auf diesen Vektorr¨aumen. Wenn man das Tensorprodukt zweier Banachr¨aume bildet, induziert dieses auf intuitive Art und Weise zwei Normen, die projektive und injektive Norm. Der Aufbau des Kapitels und die vorgestellten Resultate und Beweise orientieren sich dabei großteils an [Ry].

Im zweiten Kapitel werden die zuvor konstruierten Normen etwas genauer studiert. Da- bei stehen die Klassen der nuklearen, integralen und Pietsch-integralen Operatoren im Zentrum. Als Grundlage f¨ur die vorgestellten Resultaten dienen dabei [Ry] und [DU].

0.2 Notation und einf¨ uhrende Bemerkungen

Die nachfolgenden Resultate ¨uber das algebraische Tensorprodukt wurden f¨ur Vektorr¨aume

¨

uberC formuliert, k¨onnen jedoch auch allgemeiner f¨ur einen beliebigen Skalark¨orper auf die gleiche Art und Weise gezeigt werden.

Im weiteren betrachten wir Banachr¨aume ¨uberC und bezeichnen f¨ur einen Banachraum X dessen algebraischen Dualraum mit X^∗ und dessen topologischen mit X⁰. Elemente von X^∗ werden ¨ublicherweise mit x^∗ bezeichnet, Elemente vonX⁰ mit x⁰.

Wir bezeichnen mit K₁^X(0) die abgeschlossene Kugel in X mit Radius 1 um die Null.

F¨urx∈Xundx^∗ ∈X^∗ verwenden wir meist die Notation f¨ur duale Paare. Wir schreiben hx, x^∗i:=x^∗(x).

Sind zwei R¨aume X und ˜X isomorph zueinander, schreiben wirX ' X. Sind sie isome-˜ trisch isomorph zueinander, schreiben wir X ∼= ˜X.

F¨ur einen Maßraum (Ω,Σ, µ) bezeichnen wir mit L₁(µ) die ¨Aquivalenzklassen aller be- tragsm¨aßig integrierbaren Funktionen und mir L∞(µ) die ¨Aquivalenzklassen aller Funk- tionen, deren wesentliches Supremum endlich ist. Wir bezeichnen mit|µ|(Ω) die Variation des Maßes µ.

Kapitel 1

Tensorprodukte von Banachr¨ aumen

Dieses Kapitel behandelt zuerst das Tensorprodukt zweier Vektorr¨aume im rein algebrai- schen Sinn und wie dieses konkret konstruiert werden kann. Setzt man zus¨atzlich voraus, dass diese Vektorr¨aume Banachr¨aume sind, kann man ausgehend von den gegebenen Normen die projektive und injektive Norm auf dem Tensorprodukt definieren. Nach Ver- vollst¨andigung des Tensorproduktes unter diesen Normen erhalten wir jene Banachr¨aume, die im Zentrum dieser Arbeit stehen.

1.1 Das algebraische Tensorprodukt

Sind X, Y und Z Vektorr¨aume ¨uber C, so heißt eine Abbildung A : X×Y → Z, vom kartesischen Produkt X×Y nach Z bilinear, falls

A(α₁x₁+α₂x₂, y) = α₁A(x₁, y) +α₂A(x₂, y) und A(x, β₁y₁+β₂y₂) = β₁A(x, y₁) +β₂A(x, y₂)

f¨ur alle x, x₁, x₂ ∈X,y, y₁, y₂ ∈Y und f¨ur alle Skalare α₁, α₂, β₁, β₂ ∈C.

Wir bezeichnen mit B(X×Y, Z) als die Menge aller bilinearen Abbildungen von X×Y nachZ. Man zeigt unschwer, dass dieser Raum ein Vektorraum ist. Im FallZ =Cspricht man von Bilinearformen und schreibt kurz B(X×Y). F¨ur x∈ X und y ∈ Y definieren wir x⊗y als das Punktauswertungsfunktional im Punkt (x, y), also

x⊗y:

B(X×Y) → C A 7→ A(x, y) ,

f¨ur jede Bilinearform A auf X×Y. Im folgenden Abschnitt betrachten wir vorerst nur den Fall Z =C.

Definition 1.1 Sind X und Y Vektorr¨aume ¨uber C, dann bezeichnet man mit X ⊗Y den Unterraum vonB(X×Y)^∗, der durch alle Elemente der Formx⊗yaufgespannt wird.

Diesen Raum nennt man das (algebraische) Tensorprodukt von X und Y. Die Elemente des Tensorproduktes heißen Tensoren.

Ein Tensor v inX⊗Y hat also die Form v =

n

X

i=1

λ_i(x_i⊗y_i) f¨ur n∈N, x_i ∈X, y_i ∈Y und komplexe λ_i ∈C.

Aus der Tatsache, dass Elemente der Formx⊗yauf bilinearen Abbildungen wirken, folgt auch die Bilinearit¨at der Abbildung

τ :

X×Y → X⊗Y (x, y) 7→ x⊗y .

Korollar 1.2 F¨urx, x₁, x₂ ∈X, y, y₁, y₂ ∈Y und λ∈C gilt (i) (x₁+x₂)⊗y=x₁⊗y+x₂⊗y,

(ii) x⊗(y₁+y₂) =x⊗y₁ +x⊗y₂, (iii) λ(x⊗y) = (λx)⊗y =x⊗(λy), (iv) 0⊗y=x⊗0 = 0.

Die Darstellung eines Tensors als Linearkombination von Elementen der Formx⊗yist im Allgemeinen nicht eindeutig. Auf die Frage, ob eine Linearkombination dem Nulltensor entspricht, geht das folgende Resultat ein.

Proposition 1.3 Sind X und Y Vektorr¨aume ¨uberC, M ⊆ X^∗ eine punktetrennende Teilmenge von X^∗ und N ⊆Y^∗ eine punktetrennende Teilmenge von Y^∗, also x^∗(x) = 0 f¨ur alle x^∗ ∈M impliziert x = 0, y^∗(y) = 0 f¨ur alle y^∗ ∈N impliziert y = 0. Dann sind f¨ur v =Pn

i=1xi⊗yi ∈X⊗Y folgende Aussagen ¨aquivalent:

(i) v = 0;

(ii) Pn

i=1x^∗(x_i)y^∗(y_i) = 0, f¨ur alle x^∗ ∈M, y^∗ ∈N; (iii) Pn

i=1x^∗(x_i)y_i = 0, f¨ur alle x^∗ ∈M; (iv) Pn

i=1y^∗(y_i)x_i = 0, f¨ur alle y^∗ ∈N. Beweis.

(i) ⇒ (ii): Seien x^∗ ∈ M und y^∗ ∈ N gegeben. Wir definieren die Bilinearform B durch B(x, y) = x^∗(x)y^∗(y). Es folgt 0 =v(B) =Pn

i=1x^∗(x_i)y^∗(y_i).

(ii)⇒(iii): WeilN eine punktetrennende Teilmenge vonY^∗ist, folgt aus 0 =Pn

i=1x^∗(x_i)y^∗(y_i) = y^∗ Pn

i=1x^∗(x_i)y_i

f¨ur alley^∗ ∈N, dass Pn

i=1x^∗(x_i)y_i = 0.

(iii) ⇒ (i): Sei v = Pn

i=1x_i ⊗y_i 6= 0. O.B.d.A. k¨onnen wir annehmen, dass y₁, . . . , y_n linear unabh¨angig sind. Denn falls y_n =Pn−1

j=1 λ_jy_j mit λ₁, . . . λ_n∈C, dann folgt v =

n−1

X

i=1

x^∗_i ⊗y_i+x^∗_n⊗

n−1

X

j=1

λ_jy_j

=

n−1

X

i=1

(x^∗_i +λ_ix^∗_n)⊗y_i.

Wegen 0⊗y= 0 k¨onnen wir zus¨atzlich x₁ 6= 0 annehmen. WeilM eine punktetrennende Teilmenge von X^∗ ist, existiert ein x^∗ ∈ M, sodass x^∗(x₁) 6= 0. Da der Nullvektor nur trivial aus y1, . . . , yn linearkombiniert werden kann, ist auch Pn

i=1x^∗(xi)yi ungleich dem Nullvektor.

Auf genau die gleiche Weise beweist man (ii) ⇒ (iv) und (iv)⇒ (i).

Bemerkung 1.4 F¨ur v ∈X⊗Y stimmt die Summe aus Proposition 1.3 (ii) ¨uberein mit v(Bx^∗,y^∗), wobei Bx^∗,y^∗ die durch Bx^∗,y^∗(x, y) =x^∗(x)y^∗(y) definierte Bilinearform ist.

Proposition 1.5 Sind X, Y und Z Vektorr¨aume ¨uber C, dann ist die durch Ψ(B)(v) =

n

X

i=1

B(x_i, y_i), v =

n

X

i=1

x_i⊗y_i

definierte Abbildung eine lineare Bijektion Ψ :B(X×Y, Z)→L(X⊗Y, Z).

Beweis. Sei B :X×Y →Z eine bilineare Abbildung. Wir definieren die Abbildung ˜B : X⊗Y →Z durch ˜B Pn

i=1x_i⊗y_i

=Pn

i=1B(x_i, y_i). Damit diese Abbildung wohldefiniert ist, m¨ussen wir zeigen, dass die Definition unabh¨angig von der gew¨ahlten Darstellung von v ist, also dass ausv =Pn

i=1xi⊗yi =Pn

i=1xˆi⊗yˆi immerPn

i=1B(xi, yi) =Pn

i=1B(ˆxi,yˆi) folgt. Dazu reicht es, aus Pn

i=1x_i⊗y_i = 0 die Beziehung Pn

i=1B(x_i, y_i) = 0 zu folgern.

Falls Pn

i=1x_i⊗y_i = 0, so ist f¨ur jedes z^∗ ∈Z^∗ die Zusammensetzung z^∗◦B ein bilineares Funktional, welches

z^∗

n

X

i=1

B(x_i, y_i)

=

n

X

i=1

z^∗◦B(x_i, y_i) =

z^∗◦B,

n

X

i=1

x_i⊗y_i

= 0 erf¨ullt. Nachdem dies f¨ur alle z ∈ Z^∗ gilt, folgt Pn

i=1B(x_i, y_i) = 0. Also ist die Ab- bildung Ψ(B) = ˜B eine wohldefinierte und offensichtlich lineare Abbildung von X⊗Y nach Z. Um die Bijektivit¨at von Ψ zu zeigen, definieren wir uns explizit die Inverse.

F¨ur S ∈ L(X ⊗Y, Z) folgt aus der Bilinearit¨at der Abbildung τ : (x, y) 7→ x⊗y, dass die Zusammensetzung S◦τ ein Element von B(X×Y, Z) ist. Man erkennt leicht, dass Ψ(S ◦τ) = S und (Ψ(B)◦τ)(x, y) = Ψ(B)(x⊗y) = B(x, y) f¨ur B ∈ B(X×Y, Z) gilt.

Also ist Ψ eine Bijektion mit Inverse Ψ⁻¹ :S 7→S◦τ.

Korollar 1.6 Sind X und Y Vektorr¨aume ¨uber C, dann gilt (X⊗Y)^∗ 'B(X×Y).

Definition 1.7 Die letzten beiden Resultate pr¨agen die Begriffsbildung, eine bilineare Abbildung zu linearisieren. Gemeint ist dabei die Identifikation von B ∈ B(X ×Y, Z) mit der Abbildung ˜B = Ψ(B)∈L(X⊗Y, Z), wie sie im Beweis konstruiert wurde.

Korollar 1.8 Sind X, Y, Z, W Vektorr¨aume ¨uberCund S:X →Z,T :Y →W lineare Abbildungen, dann existiert eine lineare Abbildung

S⊗T :

X⊗Y → Z⊗W x⊗y 7→ Sx⊗T y f¨ur alle x∈X und y∈Y.

Beweis. Die Abbildung (x, y)7→(Sx)⊗(Sy)∈Z⊗W ist wohldefiniert und bilinear f¨ur alle x∈X und y∈Y. Somit folgt die Aussage aus Proposition 1.5.

Tensoren als lineare und bilineare Abbildungen

Wir haben das Tensorprodukt als Teilraum linearer Funktionale auf B(X×Y) definiert.

Es gibt jedoch andere Vorgehensweisen, das Tensorprodukt zu konstruieren. Im folgen- den Abschnitt werden weitere M¨oglichkeiten diskutiert, wie Tensoren verstanden werden k¨onnen.

Proposition 1.9 Seien X und Y Vektorr¨aume ¨uber C und f¨ur x ∈ X und y ∈ Y sei Bx,y ∈B(X^∗ ×Y^∗) definiert durch Bx,y(x^∗, y^∗) = x^∗(x)y^∗(y). Dann ist durch

ι:

X⊗Y → B(X^∗×Y^∗) x⊗y 7→ B_x,y , eine lineare, injektive Abbildung definiert.

Beweis. Offensichtlich ist die Abbildung (x, y)7→Bx,y ∈B(X^∗×Y^∗) bilinear, womit aus Proposition 1.5 folgt, dass eine eindeutige, lineare Abbildung ι :X⊗Y →B(X^∗ ×Y^∗) existiert mitι(x⊗y) = B_x,y. AusPn

i=1B_xi,yi = 0 folgt wegen Proposition 1.3 mitM =X^∗ und N =Y^∗, dass Pn

i=1xi⊗yi = 0. Also ist ι injektiv.

Proposition 1.10 Seien X und Y Vektorr¨aume ¨uber C und L_x,y ∈ L(X^∗, Y) sowie Rx,y ∈L(Y^∗, X) definiert durchLx,y :x^∗ 7→x^∗(x)yund Rx,y :y^∗ 7→y^∗(y)xf¨ur allex∈X und y∈Y. Dann sind durch

ι_L :

X⊗Y → L(X^∗, Y)

(x⊗y) 7→ L_x,y und ι_R :

X⊗Y → L(Y^∗, X) (x⊗y) 7→ R_x,y

injektive und lineare Abbildungen definiert.

Beweis. Offensichtlich sind die Abbildungen (x, y) 7→ L_x,y und (x, y) 7→ R_x,y bilinear.

Damit existieren wegen Proposition 1.5 zwei eindeutige lineare Abbildungenι_L:X⊗Y → L(X^∗, Y) und ι_R:X⊗Y →L(Y^∗, X) mit ι_L(x⊗y) = L_x,y und ι_R(x⊗y) = R_x,y. F¨ur v =Pn

i=1x_i⊗y_i gilt ι_L(v)(x^∗) =

n

X

i=1

x^∗(x_i)y_i und ι_R(y^∗) =

n

X

i=1

y^∗(y_i)⊗x_i. Weil ausPn

i=1x^∗(x_i)y_i = 0 bzw.Pn

i=1y^∗(y_i)⊗x_i = 0 wegen Proposition 1.3 mitM =X^∗ und N =Y^∗ immerv = 0 folgt, sind ι_L und ι_R injektiv.

Proposition 1.11 Seien X und Y Vektorr¨aume ¨uber C und L_x^∗_,y ∈ L(X, Y) definiert durch L_x^∗_,y :x7→x^∗(x)y f¨ur alle x^∗ ∈X und y∈Y und R_x,y^∗ ∈L(Y, X) definiert durch L_x^∗_,y :y 7→y^∗(y)xf¨ur allex∈X und y^∗ ∈Y. Dann sind durch

ι_L :

X^∗⊗Y → L(X, Y)

(x^∗⊗y) 7→ L_x^∗_,y , ι_R:

X⊗Y^∗ → L(Y, X) (x⊗y^∗) 7→ R_x,y^∗ injektive und lineare Abbildungen definiert.

Beweis. Offensichtlich ist die Abbildung (x^∗, y) 7→ Lx^∗,y bilinear, weshalb mit Pro- position 1.5 eine eindeutige lineare Abbildung ι_L : X^∗ ⊗Y → L(X, Y) existiert mit ι_L(x^∗⊗y) =L_x^∗_,y. Es bleibt die Injektivit¨at zu zeigen.

Sei v = Pn

i=1x^∗_i ⊗yi ∈ X^∗ ⊗Y ungleich Null. Ist ιX die kanonische Einbettung von X nach X^∗∗, dann ist ι_X(X) eine punktetrennende lineare Teilmenge von X^∗. Gem¨aß Proposition 1.3 existiert ein x ∈ X, sodass Pn

i=1ι_X(x)(x^∗_i)y_i = Pn

i=1x^∗_i(x)y_i 6= 0. Also istιL injektiv. ¨Ahnlich verf¨ahrt man mit ιR :X⊗Y^∗ →L(Y, X).

Bemerkung 1.12 Die Einbettungen aus den Propositionen 1.9-1.11 bezeichnen wir als die kanonischen Einbettungen der jeweiligen Tensorprodukte in die entsprechenden R¨aume bilinearer oder linearer Funktionen.

1.2 Das Tensorprodukt von Banachr¨ aumen

Das projektive Tensorprodukt

Sind X und Y zwei Banachr¨aume,x∈X und y∈Y, dann liegt es nahe, dass eine Norm auf dem Tensorprodukt die Ungleichung

kx⊗yk =kxk kyk

erf¨ullt. Diese Tatsache f¨uhrt zu folgender Definition einer Norm.

Satz 1.13 Sind X und Y Banachr¨aume ¨uberC, dann ist durch π(v) := inf{

n

X

i=1

kxik kyik : v =

n

X

i=1

xi⊗yi}

eine Norm aufX⊗Y definiert. Weiters giltπ(x⊗y) =kxk kyk f¨ur allex∈X undy∈Y. Wir nennen diese Norm die projektive Norm. Falls spezifiziert werden muss, um welche Banachr¨aume es sich handelt, schreiben wirπ_X,Y(v).

Beweis. Angenommen es giltπ(v) = 0 f¨urv ∈X⊗Y. W¨ahle beliebigex⁰ ∈X⁰ und y⁰ ∈ Y⁰. Dann existiert f¨ur alle >0 eine Darstellungv =Pn

i=1x_i⊗y_i, sodassPn

i=1kx_ik ky_ik ≤ . Ist B_x⁰_,y⁰ die Bilinearform aus Bemerkung 1.4, dann erhalten wir

|v(B_x⁰_,y⁰)|=

n

X

i=1

x⁰(x_i)y⁰(y_i)

≤kx⁰k ky⁰k.

Weil beliebig gew¨ahlt war, gilt v(B_x⁰_,y⁰) = 0 und mit Proposition 1.3 angewandt auf M =X⁰ und N =Y⁰ folgt v = 0.

Wir zeigen nun π(λv) = |λ|π(v). Im Fall, dass λ gleich Null ist, folgt die Aussage aus dem schon Gezeigten. Sei alsoλ6= 0 undv =Pn

i=1x_i⊗y_i eine Darstellung vonv. Wegen λv=Pn

i=1(λx_i)⊗y_i gilt π(λv)≤

n

X

i=1

kλxik kyik =|λ|

n

X

i=1

kxik kyik.

Da die Darstellung vonv beliebig gew¨ahlt war, bleibt die Gleichung erhalten, wenn man das Infimum bildet, alsoπ(λv)≤ |λ|π(v). Mit der gleichen ¨Uberlegung gilt

π(v) = π(λ⁻¹λv)≤ |λ⁻¹|π(λv).

Daraus folgt |λ|π(v)≤π(λv) und insgesamt π(λv) = |λ|π(v).

Als n¨achstes zeigen wir die Dreiecksungleichung. Seien u, v ∈ X⊗Y und sei >0. Wir w¨ahlen Darstellungen u=Pn

i=1x_i⊗y_i und v =Pn

i=1w_i ⊗z_i, sodass

n

X

i=1

kx_ik ky_ik ≤π(u) + 2 und

n

X

i=1

kw_ik kz_ik ≤π(v) + 2. Pn

i=1xi⊗yi+Pn

i=1wi⊗zi ist eine Darstellung von u+v, welche π(u+v)≤

n

X

i=1

kx_ik ky_ik+

n

X

i=1

kw_ik kz_ik ≤π(u) +π(v) + erf¨ullt. Da beliebig gew¨ahlt war, folgt π(u+v)≤π(u) +π(v).

Schlussendlich ist π(x⊗ y) = kxk kyk zu zeigen. Dazu w¨ahlen wir x⁰ ∈ K₁^X0(0) und y⁰ ∈K₁^Y0(0), sodass x⁰(x) =kxk und y⁰(y) =kyk, und definieren die Bilinearform B auf X×Y durch B(z, w) =x⁰(z)y⁰(w). Ihre Linearisierung ˜B erf¨ullt

B˜

n

X

i=1

x_i⊗y_i ≤

n

X

i=1

|B˜(x_i⊗y_i)|=

n

X

i=1

|x⁰(x_i)y⁰(y_i)| ≤

n

X

i=1

kx_ik ky_ik,

was |B(v)| ≤˜ π(v) f¨ur alle v ∈ X ⊗Y impliziert. Somit ist ˜B ein beschr¨anktes lineares Funktional auf dem Raum (X⊗Y, π) mit Abbildungsnorm kBk ≤1. Insbesondere gilt

kxk kyk =B(x, y) = ˜B(x⊗y)≤π(x⊗y).

Die umgekehrte Ungleichungπ(x⊗y)≤ kxk kyk folgt unmittelbar aus der Definition von

π.

Definition 1.14 Wir bezeichnen mit X⊗_π Y das Tensorprodukt X⊗Y versehen mit der projektiven Norm undX⊗ˆ_πY als dessen Vervollst¨andigung. Den BanachraumX⊗ˆ_πY nennt man das projektive Tensorprodukt der Banachr¨aume X und Y.

Bemerkung 1.15 F¨ur Banachr¨aume X, Y und Z heißt eine bilineare Abbildung B : X ×Y → Z beschr¨ankt, falls eine Konstante C > 0 existiert, sodass kB(x, y)k_Z ≤ Ckxk_Xkyk_Y f¨ur alle x∈X und y∈Y. Wir bezeichnen mit B(X×Y, Z) die Menge aller beschr¨ankten, bilinearen Abbildungen. Man zeigt leicht, dass diese einen Vektorraum bilden, und dass

kBk = sup{kB(x, y)k_Z : x∈X, y ∈Y, kxk_X ≤1, kyk_Y ≤1}

eine Norm darauf ist. Außerdem ist der Vektorraum aller beschr¨ankten Bilinearformen, versehen mit dieser Norm, ein Banachraum; siehe Anhang A.1.

Eine bilineare Abbildung ist genau dann beschr¨ankt, wenn sie stetig ist; siehe Anhang A.2.

Bemerkung 1.16 F¨ur einen normierten Raum (X,k.k), dessen Vervollst¨andigung ( ˆX,k.k) und einen Banachraum (Y,k.k) ist die Abbildung

Lb( ˆX, Y) → Lb(X, Y)

T 7→ T|_X (1.1)

ein isometrischer Isomorphismus. Dies folgt sofort aus der Tatsache, dass jede beschr¨ankte lineare Abbildung von X nach Y normtreu auf die Vervollst¨andigung ˆX fortgesetzt wer- den kann; vgl. Satz 2.5.2 in [BKW].

Das folgende Resultat erweitert Proposition 1.5 auf Banachr¨aume und l¨asst uns den Dual- raum des projektiven Tensorprodukts bestimmen.

Lemma 1.17 Seien X, Y und Z Banachr¨aume ¨uber C und B(X×Y, Z) der Raum al- ler beschr¨ankten bilinearen Abbildungen von X ×Y nach Z und Ψ : B(X ×Y, Z) → L(X⊗Y, Z) die Abbildung aus Proposition 1.5. Dann ist Ψ|_B(X×Y,Z) : B(X ×Y, Z) → L_b(X⊗_πY, Z) ein isometrischer Isomorphismus.

Beweis. Sei B : X×Y → Z eine beschr¨ankte bilineare Abbildung und betrachte ˜B = Ψ(B)∈L(X⊗Y, Z). F¨urv =Pn

i=1x_i⊗y_i ∈X⊗Y gilt

B(v)˜ Z

=

n

X

i=1

B(x_i, y_i) Z

≤ kBk

n

X

i=1

kx_ik_Xky_ik_Y.

Bildet man das Infimum ¨uber alle Darstellungen von v, dann folgt kB(v)k ≤ kBk˜ π(v).

Also ist ˜B beschr¨ankt mit Abbildungsnorm kBk ≤ kBk. Andererseits gilt˜ kB(x, y)k =kB˜(x⊗y)k ≤ kBk kxk kyk˜ ,

insgesamt alsokBk=kBk. Es bleibt die Surjektivit¨˜ at zu zeigen. Gegeben sei eine lineare AbbildungA ∈L_b(X⊗Y, Z). Dann ist Ψ⁻¹(A)∈B(X×Y, Z) und erf¨ullt Ψ(Ψ⁻¹A) = A.

Dabei ist Ψ⁻¹(A) beschr¨ankt, denn es gilt (Ψ⁻¹A)(x, y)

=

Ψ(Ψ⁻¹A)(x⊗y))

=kA(x⊗y)k ≤ kAk kxk kyk.

Mit Bemerkung 1.16 schließen wir auf die folgende Aussage.

Korollar 1.18 SeienX,Y undZ Banachr¨aume ¨uberCundB(X×Y, Z) der Raum aller beschr¨ankten bilinearen Abbildungen von X×Y nach Z. Ist Ψ|B(X×Y) :B(X×Y, Z)→ L_b(X ⊗Y, Z) wie in Lemma 1.17, und definieren wir f¨ur B ∈ B(X ×Y) die lineare Abbildung ˆΨ(B) : X⊗ˆ_πY → Z als die stetige Fortsetzung von Ψ(B) auf X⊗ˆ_πY, so ist Ψ :ˆ B(X×Y)→Lb(X⊗ˆπY) ein isometrischer Isomorphismus.

Korollar 1.19 Sind X, Y und Z Banachr¨aume ¨uberC und B(X×Y, Z), dann gilt f¨ur den topologischen Dualraum des projektiven Tensorprodukts

(X⊗ˆ_πY)⁰ ∼=B(X×Y).

Bemerkung 1.20 F¨ur eine Indexmenge I und einen Banachraum X uber¨ C nennt man eine Familie x= (x_i)i∈I ∈X absolut summierbar, falls

kxk₁ := lim

A∈E(I)

X

i∈A

kx_ik_X <+∞,

wobei (E(I),) die gerichtete Menge aller endlichen Teilmengen von I, versehen mit AB :⇔A⊆B, ist; siehe Abschnitt 5.3 und 5.4 in [Ka].

Mit `<sub>1</sub>(I, X) bezeichnen wir die Menge aller absolut summierbaren Tupel (x<sub>i</sub>)i∈I mit x<sub>i</sub> ∈ X, i ∈ I. Man erkennt leicht, dass diese, versehen mit der punktweisen Additi- on, einen Vektorraum bilden und k.k<sub>1</sub> eine Norm darauf ist. Dieser Raum ist sogar ein Banachraum; siehe Anhang A.3. Im Fall X = C schreiben wir kurz `₁(I). F¨ur k ∈ I definieren wir den k-ten kanonischen Einheitsvektor als e_k := (δ_ik)i∈I, wobei δ_ik f¨ur das Kronecker-δ steht.

F¨ur x = (x_i)_i∈I definieren wir dessen Tr¨ager supp(x) := {i ∈ I : x_i 6= 0}. Weil x absolut summierbar ist, muss S_n(x) := {i ∈ I : |x_i| < 1/n} endlich sein. Wegen supp(x) =∪n∈NS_n(x) ist der Tr¨ager von x infolge h¨ochstens abz¨ahlbar.

Satz 1.21IstXein Banachraum ¨uberCundIeine beliebige Indexmenge und bezeichnen wir mitJ die Abbildung

J :

`<sub>1</sub>(I)⊗X → `₁(I, X) (a⊗x) 7→ (aix)i∈I

, a= (a_i)i∈I ∈`₁(I), x∈X.

Dann existiert eine eindeutige Fortsetzung ˜J : `<sub>1</sub>(I) ˆ⊗<sub>π</sub>X → `₁(I, X) von J. Diese Forstsetzung ist ein isometrischer Isomorphismus und f¨ur (xi)i∈I ∈ `1(I, X) erf¨ullt sie J(˜P

i∈Ie_i⊗x_i) = (x_i)i∈I.

Beweis. Zu a = (ai)i∈I ∈ `1(I) und x ∈ X betrachten wir (aix)i∈I ∈ X<sup>I</sup>. Dieses Tupel ist sogar absolut summierbar, also (a<sub>i</sub>x)i∈I ∈`₁(I, X), denn

X

i∈I

ka_ixk_X ≤(X

i∈I

|a_i|)kxk_X =kak₁kxk_X.

Da die Abbildung (a, x) 7→ (a_ix)_i∈I ∈ `<sub>1</sub>(I, X) bilinear ist, ist mit Proposition 1.5 die Abbildung J :`₁(I)⊗X→`₁(I, X) durch J(a⊗x) = (a_ix)i∈I wohldefiniert. Wir zeigen als n¨achstes, dass J isometrisch ist.

Sei dazu v =Pn

k=1a_k⊗x_k∈`<sub>1</sub>(I)⊗X mit a<sub>k</sub>= (a<sub>ki</sub>)i∈I ∈`₁(I) und x_k ∈X. Dann gilt kJ(v)k₁ =

n

X

k=1

a_kix_k

i

1

=X

i∈I

n

X

k=1

a_kix_k X

≤X

i∈I n

X

k=1

ka_kix_kk_X =

n

X

k=1

X

i∈I

|a_ki| kx_kk_X

=

n

X

i=k

ka_kk₁kx_kk_X. Bildet man das Infimum ¨uber alle Darstellungen von v, so folgt kJ(v)k₁ ≤π(v).

F¨ur die umgekehrte Ungleichung w¨ahlen wir wie vorher eine Darstellungv =Pn

k=1a_k⊗x_k mit a_k = (a_ki)_i∈I. Definieren wir (v_i)_i∈I ∈ `₁(I, X) durch v_i := Pn

k=1a_kix_k, dann gilt J(v) = (v_i)i∈I.

Wir zeigen, dassP

i∈Ie_i⊗v_igegenvin`<sub>1</sub>(I) ˆ⊗<sub>π</sub>Xkonvergiert. Daf¨ur definieren wir f¨ur jede endliche MengeA ⊆I die Abbildung Π<sub>A</sub> :`₁(I)→`₁(I) durch Π_A((a_i)_i∈I) :=P

j∈Aa_je_j. Dann konvergiert Π_A((a_i)i∈I) f¨urA∈ E(I) gegen (a_i)i∈I, denn f¨ur (a⁰_i)i∈I, definiert durch a⁰_i =a_i, i6∈A, a⁰_i = 0 sonst, gilt

kΠ_A(a)−ak=kX

j∈A

a_je_j−(a_i)i∈Ik=k(a⁰_i)i∈Ik=X

i∈I

|a⁰_i|=X

i∈I

|a_i| −X

i∈A

|a_i|, wodurch

A∈Elim(I)kΠ(a)−ak=X

i∈I

|ai| − lim

A∈E(I)

X

i∈A

|ai|= 0.

Somit gilt π

v−X

i∈A

e_i⊗v_i

=π ⁿ

X

k=1

a_k⊗x_k−X

i∈A n

X

k=1

e_i⊗(a_kix_k)

=π ⁿ

X

k=1

a_k⊗x_k−X

i∈A

(a_kie_i)⊗x_k

=π n

X

k=1

a_k−Π_A(a_k)

⊗x_k

≤

n

X

k=1

ka_k−Π_A(a_k)k_`

1(I)kx_kk_X ^A∈E(I)−→ 0.

Damit erhalten wir π(v) = π X

i∈I

e_i⊗v_i

=π lim

A∈E(I)

X

i∈A

e_i⊗v_i

= lim

A∈E(I)π X

i∈A

e_i⊗v_i

≤ lim

A∈E(I)

X

i∈A

kv_ik=X

i∈I

kv_ik₁ =kJ(v)k₁.

Damit ist J eine Isometrie von `<sub>1</sub> ⊗ X nach `₁(I, X). Weil `<sub>1</sub>(I, X) vollst¨andig ist, existiert mit Satz 2.5.2 aus [BKW] eine eindeutige beschr¨ankte, lineare Fortsetzung J˜:`₁(I) ˆ⊗_πX 7→`₁(I, X), welche auch isometrisch ist.

F¨ur x= (x_i)i∈I ∈`₁(I, X) gilt X

i∈I

ke_i⊗x_ik_π ≤X

i∈I

kx_ik_X <+∞.

Also konvergiert ˜x = P

i∈Ie_i ⊗ x_i unbedingt und wir erhalten ˜x ∈ `<sub>1</sub>(I) ˆ⊗<sub>π</sub>X. Wegen J(e<sub>i</sub>⊗x<sub>i</sub>) = e<sub>i</sub>x<sub>i</sub> ∈`₁(I, X) folgt aus der Stetigkeit von ˜J, dass ˜J(˜x) =x.

Lemma 1.22 Sind X, Y, Z, W Banachr¨aume ¨uber C und S : X → Z, T : Y → W beschr¨ankte, lineare Abbildungen, dann ist durch

S⊗_π T :

X⊗ˆ_πY → Z⊗ˆ_πW x⊗y 7→ Sx⊗T y

eine beschr¨ankte, lineare Abbildung definiert. Dabei giltkS⊗_π Tk =kSk kTk.

Beweis. Mit Korollar 1.8 existiert eine lineare Abbildung S⊗T :X⊗Y →Z ⊗W mit (S⊗T)(x⊗y) = Sx⊗T y f¨ur allex∈X und y∈Y. F¨urv =Pn

i=1x_i⊗y_i ∈X⊗Y gilt π (S⊗T)v

=π

n

X

i=1

(Sx_i)⊗(T y_i)

≤ kSk kTk

n

X

i=1

kx_ik ky_ik.

Bildet man das Infimum ¨uber alle Darstellungen vonv, dann folgtkS⊗Tk ≤ kSk kTk.

Damit ist S⊗T eine beschr¨ankte lineare Abbildung. Aus (S⊗T)(x⊗y) = (Sx)⊗(T y) folgtkS⊗Tk ≥ kSk kTk, insgesamt alsokS⊗Tk =kSk kTk. Mit Satz 2.5.2 aus [BKW]

existiert eine eindeutige lineare und beschr¨ankte FortsetzungS⊗_πT : X⊗ˆ_πY →Z⊗ˆ_πW

mit gleicher Abbildungsnorm.

Definition 1.23 Sind X undZ normierte R¨aume ¨uberC, dann heißt ein beschr¨ankter, linearer Operator Q : X → Z ein Quotientenoperator, falls Q surjektiv ist und kzk = inf{kxk : x∈X, Q(x) =z} f¨ur alle y∈Y erf¨ullt.

Bemerkung 1.24 Man ¨uberlegt sich leicht, dass die zweite Bedingung Definition 1.23 bedeutet, dassQdie offene Einheitskugel inX auf die offene Einheitskugel inZ abbildet.

Somit gilt dann Z ∼=X/ker Qund kQk = 1.

Lemma 1.25 Sind X und Y normierte R¨aume undQ:X →Y ein Quotientenoperator, so ist auch die stetige Fortsetzung ˆQ : ˆX → Yˆ von Q auf die Vervollst¨andigung ˆX von X in die Vervollst¨andigung ˆY von Y ein Quotientenoperator.

Beweis. Weil ˆX die Vervollst¨andigung vonXist, existiert eine isometrische Abbildungι: X →X, wobeiˆ ι(X) dicht in ˆX liegt. Wir setzen im folgenden N :=ι(ker(Q))^Xˆ. F¨ur den Beginn des Beweises zeigen wir, dass die Vervollst¨andigung vonX/ker(Q) ¨ubereinstimmt mit ˆX/N. Weil ˆX ein Banachraum ist, ist es auch ˆX/N, wobeiX/ker(Q) und ˆX/N mit der Faktorraumnorm versehen sind, also

kx+ ker(Q)k_X/ker(Q) = inf{kx−wk_X : w∈ker(Q)}, f¨urx∈X, kˆx+NkX/Nˆ = inf{kˆx−zkXˆ : z ∈N}, f¨ur ˆx∈XˆX/Nˆ . Wegen ι(ker(Q))⊆N ist die Abbildung

κ:

X/ker(Q) → X/Nˆ x+ ker(Q) 7→ ι(x) +N

wohldefiniert und linear. Wir zeigen zuerst, dass κ isometrisch ist. Weilι isometrisch ist, gilt

kx+ ker(Q)k_X/ker(Q) = inf{kx−wk_X : w∈ker(Q)}

= inf{kι(x)−ι(w)kXˆ : w∈ker(Q)}

≥inf{kι(x)−zkXˆ : z ∈N}=kκ(x+ ker(Q))kX/Nˆ .

F¨urz ∈N existiert eine Folge (w_n)n∈Nmitw_n∈ker(Q), sodass limn→∞kz−ι(w_n)kXˆ = 0.

Es folgt

kx+ ker(Q)k_X/ker(Q) ≤inf{kι(x)−ι(w_n)kXˆ : n∈N} ≤ kι(x)−zkXˆ.

Bilden wir das Infimum ¨uber allez ∈N, erhalten wir die umgekehrte Ungleichung, womit sich κ als isometrisch herausstellt.

Zu ˆx+N ∈ X/Nˆ w¨ahlen wir eine Folge (x_n)_n∈N mit x_n ∈ X, sodass kι(x_n)−xkˆ _Xˆ f¨ur n→ ∞ gegen 0 konvergiert. Dann gilt

n→∞limk(ˆx+N)−(ι(x_n) +N)k_X/Nˆ = lim

n→∞k(ˆx−ι(x_n)) +N)k_X/Nˆ

≤ lim

n→∞k(ˆx−ι(x_n))kXˆ = 0.

Also liegt κ(X/kerQ) dicht in ˆX/N, womit sich ˆX/N als die Vervollst¨andigung von X/ker(Q) herausstellt.

Gem¨aß Bemerkung 1.24 ist die Abbildung Q/ker(Q) : X/ker(Q) → Y, definiert durch (Q/ker(Q))(x+ ker(Q)) = Q(x) f¨ur x ∈ X ein isometrischer Isomorphismus. Somit ist auch die FortsetzungRvon Q/ker(Q) auf ˆX/N nach ˆY ein isometrischer Isomorphismus.

Die Abbildung π_N : ˆX → X/Nˆ definiert durch π_N(ˆx) = ˆx+N f¨ur ˆx∈ Xˆ ist ein Quoti- entenoperator und somit auch R◦π_N : ˆX →Yˆ. Wegen R◦π_N ◦ι =Q gilt R◦π_N = ˆQ.

Also ist ˆQ ein Quotientenoperator mit ker( ˆQ) =N. Lemma 1.26 Sind X, Y, Z, W Banachr¨aume ¨uber C und Q : X → Z, R : Y → W Quotientenoperatoren, dann ist auchQ⊗_πR:X⊗ˆ_πY →Z⊗ˆ_πW ein Quotientenoperator.

Beweis. Wir zeigen die Aussage zuerst f¨ur den Operator Q⊗R : X⊗_π Y → Z ⊗_π W. Sei Pn

i=1z_i⊗w_i ∈ Z ⊗_π W. Dann existieren x_i ∈ X und y_i ∈ Y, sodass Qx_i = z_i und Ryi =wi f¨uri∈ {1, . . . , n}. Es folgt (Q⊗R)(Pn

i=1xi⊗yi) = Pn

i=1zi⊗wi. Also istQ⊗R surjektiv.

Sind u∈Z⊗_π W und v ∈X⊗_πY mit (Q⊗R)v =u, so gilt π(u)≤ kQk kRkπ(v) =π(v).

Zu >0 w¨ahle eine DarstellungPn

i=1z_i⊗w_ivonu, sodassPn

i=1kz_ik kw_ik ≤π(u) +. F¨ur i∈ {1, . . . , n}w¨ahlexi ∈Xundyi ∈Y, sodassQxi =zi,Ryi =wiundkxik ≤(1+)kzik und ky_ik ≤(1 +)kw_ik. Es folgt

π

n

X

i=1

x_i⊗y_i

≤

n

X

i=1

kx_ik ky_ik ≤

n

X

i=1

(1 +)kz_ik(1 +)kw_ik

≤

n

X

i=1

(1 +)²kzik kwik ≤(1 +)²

n

X

i=1

kzik kwik

≤(1 +)²

n

X

i=1

kzik kwik

≤(1 +)²(π(u) +).

Nachdem (Q⊗R)(Pn

i=1x_i⊗y_i) =u und >0 beliebig gew¨ahlt war, erhalten wir π(u) = inf{π(v) : v ∈X⊗_πY, (Q⊗R)v =u}.

Also ist Q⊗R ein Quotientenoperator und mit Lemma 1.25 auch Q⊗_πR.

Lemma 1.27 Jeder Banachraum ¨uberCkann dargestellt werden als Quotient von `<sub>1</sub>(I) f¨ur eine entsprechend gew¨ahlte Indexmenge I. Das heißt, es existiert ein Quotientenope- rator T :`1(I)→X.

Beweis. W¨ahle I = {x ∈ X : kxk = 1} und betrachte den Raum `₁(I) aller absolut summierbaren, komplexwertigen Tupel ¨uber I. Wegen

X

x∈I

kλ_xxk_X =X

x∈I

|λ_d|=k(λ_d)x∈Ik_`

1(I) <+∞

ist die Abbildung T :`₁(I)→X mit

T((λ_x)x∈I) := X

x∈I

λ_xx

f¨ur alle (λ_x)x∈I ∈ `₁(I) wohldefiniert und bildet einen linearen, beschr¨ankten Operator mit kTk ≤1.

T ist surjektiv, denn f¨ur x∈X gilt T(kxke ^x

kxk) =x, wobei e ^x

kxk den _kxk^x -ten kanonischen Einheitsvektor in `₁(I) bezeichnet. Dies impliziert auch, dass T ein Quotientenoperator ist, denn es gilt

kxke ^x

kxk

`1(I)

=kxk.

Satz 1.28 Seien X und Y Banachr¨aume ¨uber C. Zu jedem u ∈ X⊗ˆ_πY und > 0 existieren beschr¨ankte Folgen (x_k)^∞_k=1 ∈Xund (y_k)^∞_k=1 ∈Y, sodass die ReiheP∞

k=1x_k⊗y_k gegen u konvergiert, wobei

∞

X

k=1

kx_kk ky_kk< π(u) +.

Beweis. Wegen Lemma 1.26 k¨onnen wir eine Indexmenge I und einen Quotientenope- rator Q:`<sub>1</sub>(I)→X mit X ∼=`₁(I)/ker Q w¨ahlen. Gem¨aß Lemma 1.25 ist der Operator Q⊗_πid :`<sub>1</sub>(I) ˆ⊗<sub>π</sub>Y →X⊗ˆ<sub>π</sub>Y ebenfalls ein Quotientenoperator. Zu u∈X⊗ˆ<sub>π</sub>Y und >0 finden wir v ∈ `1(I) ˆ⊗πY, sodass (Q⊗πid)(v) = u und π(v) < π(u) +. Laut Satz 1.21 ist `<sub>1</sub>(I) ˆ⊗<sub>π</sub>Y isometrisch isomorph zu `₁(I, Y). Somit k¨onnen wir v mit einem absolut summierbaren Tupel (v_i)i∈I ∈Y identifizieren. Anhand der in Satz 1.21 beschriebenen iso- metrischen Isomorphie ˜J k¨onnen wirv alsP

i∈Iei⊗vischreiben, wobeiπ(v) = P

i∈Ikvik.

W¨ahlen wir x_i := Q(e_i) und y_i := v_i, dann gilt u = (Q⊗_π id)v = P

i∈Ix_i ⊗y_i, wobei P

i∈Ikx_ik ky_ik = π(v) < π(u) + . Mit Bemerkung 1.20 ist der Tr¨ager eines jeden ab- solut summierbaren Tupels abz¨ahlbar, weshalb wir P

i∈Ixi ⊗ yi schreiben k¨onnen als P∞

k=1x_k⊗y_k f¨ur entsprechend gew¨ahlte x_k ∈X, y_k∈Y. Korollar 1.29 Sind X und Y Banachr¨aume ¨uberC und v ∈X⊗ˆπY, dann gilt

π(v) = inf

∞

X

n=1

kx_nk ky_nk :

∞

X

n=1

kx_nk ky_nk <+∞, v =

∞

X

n=1

x_n⊗y_n .

Das injektive Tensorprodukt

Betrachten wir die in Proposition 1.9 definierte, kanonische Einbettung ι : X ⊗Y → B(X^∗, Y^∗) mit ι(x, y) = B_x,y, dann k¨onnen wir B_x,y auf das Produkt der topologischen Dualr¨aume, (X⁰×Y⁰), einschr¨anken. Man erh¨alt folgendes Resultat.

Lemma 1.30 Sind X und Y Banachr¨aume ¨uber C und ι : X ⊗Y → B(X^∗, Y^∗) die kanonische Einbettung aus Proposition 1.9. Dann ist die Abbildung

κ:

X⊗Y → B(X⁰, Y⁰) v 7→ ι(v)|_X⁰×Y⁰

,

injektiv.

Beweis. Weil X⁰ und Y⁰ punktetrennende, lineare Unterr¨aume von X^∗ bzw. Y^∗ sind, folgt aus Proposition 1.3, angewandt mit M = X⁰ und N = Y⁰ auf v = Pn

i=1x_i ⊗y_i, dass ι(v)(x⁰, y⁰) =Pn

i=1x⁰(xi)y⁰(y_i⁰) = 0 f¨ur alle x⁰ ∈X⁰ und y⁰ ∈Y⁰ die Gleichung v = 0

impliziert.

Bemerkung 1.31 Wir zeigen, dass κ eine Abbildung nach B(X⁰, Y⁰) ist. In der Tat gilt f¨ur x⁰ ∈X⁰ und y⁰ ∈Y⁰

kκ(x⊗y)(x⁰, y⁰)k=kx⁰(x)y⁰(y)k ≤ kx⁰k ky⁰k kxk kyk. Damit erh¨alt man f¨ur v =Pn

i=1x_i⊗y_i

k(κ(v))(x⁰, y⁰)k ≤ kx⁰k ky⁰k

n

X

i=1

kx_ik ky_ik.

Bildet man das Infimum ¨uber alle Darstellungen von v, so folgt kκ(v)k ≤π(v).

Satz 1.32 Sind X und Y Banachr¨aume ¨uber C und bezeichnen wir mit κ(v) =Bv die Bilinearform aus Lemma 1.30, dann ist durch

(v) := sup n

|Bv(x⁰, y⁰)|: x⁰ ∈K₁^X0(0), y⁰ ∈K₁^Y0(0) o

eine Norm aufX⊗Y definiert. Wir nennen diese Norm dieinjektive Norm. Diese erf¨ullt (x⊗y) = kxk kyk f¨ur alle x ∈ X, y ∈ Y und (v) ≤ π(v) f¨ur alle v ∈ X ⊗Y. Falls spezifiziert werden muss, um welche Banachr¨aume es sich handelt, schreiben wir_X,Y(v).

Beweis. Der Raum κ(X ⊗ Y) ist mit Bemerkung 1.31 ein linearer Unterraum von B(X⁰×Y⁰), der die Norm

kBk= sup{kB(x⁰, y⁰)k_Z : x⁰ ∈X⁰, y⁰ ∈Y⁰, kx⁰k_X0 ≤1, ky⁰k_Y0 ≤1}

tr¨agt. Wegen (v) =kB_vk isteine Norm auf X⊗Y. Mit Bemerkung 1.31 erkennt man, dass (v) ≤ π(v). Insbesondere gilt (x⊗y) ≤ π(x⊗y) = kxk kyk f¨ur alle x ∈ X und y ∈ Y. Gem¨aß Korollar 5.2.4 in [BKW] existiert ein f ∈ X⁰ und g ∈ Y⁰ mit kfk = 1, kgk = 1, sodassf(x) = kxkundg(y) = kyk. Deshalb gilt(x⊗y) = |f(x)g(y)|=kxk kyk.

Bemerkung 1.33 F¨ur v =Pn

i=1x_i⊗y_i ∈X⊗Y gilt B_v =Pn

i=1x⁰(x_i)y⁰(y_i) und daher (v) = supn

|

n

X

i=1

x⁰(x_i)y⁰(y_i)|: x⁰ ∈K₁^X0(0), y⁰ ∈K₁^Y0(0)o .

Definition 1.34 Wir bezeichnen mit X⊗ Y das Tensorprodukt X ⊗Y versehen mit der injektiven Norm und mit X⊗ˆY seine Vervollst¨andigung. Den Banachraum X⊗ˆY nennt man das injektive Tensorprodukt der Banachr¨aume X und Y.

Vor dem n¨achsten Resultat wollen wir an den Begriff des konjungierten Operators erin- nern. Ist T :X →Y ein Operator zwischen Banachr¨aumenX und Y, dann existiert ein eindeutiger Operator T⁰ :Y⁰ →X⁰, welcher

hT x, y⁰i=hx, T⁰y⁰i f¨ur alle x∈X, y⁰ ∈Y⁰

erf¨ullt. Wir nennen T⁰ den zu T konjungierten Operator. Dabei giltkTk =kT⁰k.

Proposition 1.35 Sind X, Y, Z, W Banachr¨aume ¨uber C und S :X →Z, T :Y →W beschr¨ankte, lineare Abbildungen. Dann ist durch

S⊗T :

X⊗ˆY → Z⊗ˆW x⊗y 7→ Sx⊗T y

eine beschr¨ankte, lineare Abbildung definiert, wobei kS⊗Tk =kSk kTk.

Beweis. SeiS⊗T :X⊗Y →Z⊗W der Operator aus Korollar 1.8. F¨urv =Pn

i=1xi⊗y_i ∈ X⊗Y gilt

_Z,W (S⊗T)v

= sup

n

X

i=1

z⁰(Sx_i)·w⁰(T y_i)

: z⁰ ∈Z⁰, w⁰ ∈W⁰, kz⁰k,kw⁰k ≤1

= sup

n

X

i=1

(S⁰z⁰)(x_i)·(T⁰w⁰)(y_i)

: z⁰ ∈Z⁰, w⁰ ∈W⁰, kz⁰k,kw⁰k ≤1

≤sup

|

n

X

i=1

kS⁰kx⁰(x_i)· kT⁰ky⁰(y_i)|: x⁰ ∈X⁰, y⁰ ∈Y⁰, kx⁰k,ky⁰k ≤1

=kS⁰k kT⁰k_X,Y(v) = kSk kTk_X,Y(v).

Damit istS⊗T beschr¨ankt bez¨uglich der injektiven Norm mit AbbildungsnormkS⊗Tk ≤ kSk kTk. Es bleibt die umgekehrte Ungleichung zu zeigen.

Zu δ > 0 w¨ahle x ∈ X und y ∈ Y mit kxk,kyk ≤ 1 derart, dass kSxk ≥ (1−δ)kSk und kT yk ≥ (1−δ)kTk. Dann gilt _X,Y(x⊗y) ≤ 1. Korollar 5.2.4 aus [BKW] besagt f¨ur einen normierten Raum X, dass kxk = sup{|f(x)|:f ∈X⁰,kfk ≤1} f¨ur allex∈X.

Somit gilt

_Z,W((S⊗T)(x⊗y)) =_Z,W(Sx⊗T y)

= sup

|z⁰(Sx)w⁰(T y)|: z⁰ ∈Z⁰, w⁰ ∈W⁰,kz⁰k,kw⁰k ≤1

=kSxk kT yk ≤(1−δ)²kSk kTk. Weil δ beliebig gew¨ahlt war, gilt kS⊗Tk ≥ kSk kTk.

Als beschr¨ankter linearer Operator hat S ⊗ T eine eindeutige Fortsetzung S ⊗ T auf

X⊗ˆY. Proposition 1.36 Seien X und Y Banachr¨aume ¨uber C und F ⊆ K₁^X0(0) sowie G ⊆ K₁^Y0(0), sodass kxk = sup{|f(x)| :f ∈ F} f¨ur alle x∈X und kyk = sup{|g(y)| :g ∈G}

f¨ur alle y∈Y. Dann gilt f¨ur v =Pn

i=1x_i ⊗y_i (v) = sup

|

n

X

i=1

f(x_i)g(y_i)|: f ∈F, g ∈G .

Beweis. Nach Voraussetzung erhalten wir (v) = sup

|

n

X

i=1

x⁰(x_i)y⁰(y_i)|: x⁰ ∈K₁^X0(0), y⁰ ∈K₁^Y0(0)

= sup

|y⁰

n

X

i=1

x⁰(x_i)y_i

|: x⁰ ∈K₁^X0(0), y⁰ ∈K₁^Y0(0)

= sup

|f

n

X

i=1

y⁰(y_i)x_i

|: f ∈F, y⁰ ∈K₁^Y0(0)

= sup

|y⁰

n

X

i=1

f(x_i)y_i

|: f ∈F, y⁰ ∈K₁^Y0(0)

= sup

|g

n

X

i=1

f(xi)yi

|: f ∈F, g∈G

= sup

|

n

X

i=1

f(xi)g(yi)|: f ∈F, g ∈G .

Bemerkung 1.37 Ist X ein Banachraum und ι_X die kanonische Einbettung vonX nach X⁰⁰, dann gilt kx⁰k = sup{|x⁰(x)| : x ∈ K₁^X(0)} = sup{ι_Xx(x⁰) : x ∈ K₁^X(0)}. F¨ur v =Pn

i=1x⁰_i⊗y⁰_i ∈X⁰ ⊗Y⁰ erhalten wir aus Proposition 1.34 (v) = sup

|

n

X

i=1

x⁰_i(x)y⁰_i(y)|: x∈K₁^X(0), y ∈K₁^Y(0) .

Kapitel 2

Operatortheorie auf Tensorproduktr¨ aumen

Im folgenden Kapitel werden die Begriffe der nuklearen, integralen und Pietsch-integralen Operatoren definiert, sowie die Zusammenh¨ange zum Tensorprodukt dargestellt.

2.1 Nukleare Operatoren

Dieser erste Abschnitt besch¨aftigt sich mit nuklearen Operatoren. Es wird sich heraus- stellen, dass diese mit einem Unterraum des projektiven Tensorprodukts ¨ubereinstimmen.

Definition 2.1 Sind X und Y Banachr¨aume ¨uber C und T : X → Y ein linearer Operator, dann heißt T nuklear, falls Folgen (x⁰_i)^∞_i=1 ∈ X⁰ und (y_i)^∞_i=1 ∈ Y existieren, sodassP∞

i=1kx⁰_ik ky_ik <+∞ und

T(x) =

∞

X

i=1

x⁰_i(x)y_i

f¨ur alle x∈X. Wir bezeichnen mitN(X, Y) die Menge aller nuklearen Operatoren. Man

¨uberzeugt sich leicht davon, dass die nuklearen Operatoren, versehen mit der ¨ublichen Addition und Skalarmultiplikation, einen Vektorraum bilden.

Bemerkung 2.2 WegenP∞

i=1kx⁰_ik ky_ik<+∞ ist die Reihe P∞

i=1x⁰_i(x)y_i absolut konver- gent. Außerdem giltkT(x)k ≤P∞

i=1kx⁰_i(x)k ky_ik ≤P∞

i=1kx⁰_ik kxk ky_ik<+∞. Damit ist jeder nukleare Operator beschr¨ankt mit Abbildungsnorm

kTk ≤inf{

∞

X

i=1

kx⁰_ik ky_ik : T(x) =

∞

X

i=1

x⁰_i(x)y_i}.

Proposition 2.3 Sind X und Y Banachr¨aume ¨uber C und L_x⁰_,y ∈ L_b(X, Y) mit L_x⁰_,y(x) =x⁰(x)y, dann wird durch

J :

X⁰⊗ˆ_πY → N(X, Y) x⁰⊗y 7→ L_x⁰_,y .