04. Allgemeine Vektorr¨ aume

04. Allgemeine Vektorr¨ aume

Definition. Ein Vektorraum (oder auch linearer Raum) ist eine be- liebige nichtleere Menge V von Objekten (welche dann Vektoren genannt werden), f¨ ur die eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren (meist aus R oder C ) erkl¨ art ist.

Die zuvor genannten Rechenregeln betreffend Addition und Multiplikation mit Skalaren m¨ ussen analog erf¨ ullt sein.

Beispiel. R

, R

, R

(siehe zuvor)

Beispiel. Sei X eine Menge und F (X, R ) = { f : X → R} die Menge aller Abbildungen (Funktionen) von X nach R .

F¨ ur f, g ∈ F (X, R ) und λ ∈ R erkl¨ aren wir die Funktionen f + g und λf durch

(f + g)(x) := f (x) + g(x) ∀ x ∈ R (λf )(x) := λ · f (x) ∀ x ∈ R

Dann ist F (X, R ) ein Vektorraum. Der Nullvektor ist hier die Nullfunk- tion, die jedem x ∈ X den Wert Null zuordnet.

Definition. Ein Teilraum (oder auch Untervektorraum) eines Vek- torraumes V ist eine nichtleere Teilmenge U ⊆ V mit den folgenden Eigenschaften:

1. ⃗ x, ⃗ y ∈ U ⇒ ⃗ x + ⃗ y ∈ U 2. ⃗ x ∈ U , λ ∈ R ⇒ λ · ⃗ x ∈ U

(D.h. bei der Addition von zwei Vektoren aus U und der skalaren Multi- plikation eines Vektors aus U wird der Teilraum nicht verlassen.)

Bemerkung. Ein Teilraum ist selbst wieder ein Vektorraum.

Beispiel. Eine Gerade im R

oder R

, die den Ursprung enth¨ alt, ist ein Teilraum.

Eine Ebene im R

, die den Ursprung enth¨ alt, ist ein Teilraum.

Definition. Sei V ein Vektorraum (mit Skalaren aus R )

1. Seien ⃗ x

, . . . , ⃗ x

∈ V und λ

, . . . , λ

∈ R . Dann heißt der Vektor

⃗ v = λ

⃗ x

+ λ

⃗ x

+ . . . + λ

⃗ x

eine Linearkombination der Vektoren ⃗ x

, . . . , ⃗ x

.

2. Die Vektoren ⃗ x

, . . . , ⃗ x

∈ V heißen linear unabh¨ angig, wenn gilt λ

⃗ x

+ λ

⃗ x

+ . . . + λ

⃗ x

= ⃗ 0 ⇒ λ

= λ

= . . . = λ

= 0

Das bedeutet, dass sich der Nullvektor nur auf triviale Weise, also mit λ

= 0 ∀ i darstellen l¨ asst.

Umgekehrt heißen ⃗ x

, . . . , ⃗ x

linear abh¨ angig wenn sie nicht linear un- abh¨ angig sind, es also eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors gibt.

Beispiel. Gegeben seien ⃗ x

= ( 2

1 )

und ⃗ x

=

( − 1 1

) .

λ

⃗ x

+ λ

⃗ x

= λ

( 2

1 )

+ λ

( − 1 1

)

=

( 2λ

− λ

λ

+ λ

)

= ( 0

0 )

impliziert 2λ

− λ

= 0 , λ

+ λ

= 0 ⇒ λ

= λ

= 0 . Die beiden Vektoren sind damit linear unabh¨ angig.

Beispiel. Die Vektoren ⃗ x

=



 1

− 1 0



 , ⃗ x

=



 − 1 2 1



 , ⃗ x

=



 − 1 4 3



 sind linear abh¨ angig, weil

2⃗ x

+ 3⃗ x

− ⃗ x

= ⃗ 0 .

⃗

x

, . . . , ⃗ x

linear abh¨ angig, dann existiert ein i ∈ { 1, . . . , k } mit λ

̸ = 0 und folglich gilt

⃗

x

= −

(λ

⃗ x

+ . . . + λ

⃗ x

+ λ

⃗ x

+ . . . λ

⃗ x

) .

D.h. einer der Vektoren l¨ asst sich als Linearkombination der ¨ ubrigen darstellen.

Gilt also etwa 2⃗ x

+ 3⃗ x

− ⃗ x

= ⃗ 0 , dann erh¨ alt man

⃗

x

= −

(3⃗ x

− ⃗ x

) , ⃗ x

= −

(2⃗ x

− ⃗ x

) , ⃗ x

= 2⃗ x

+ 3⃗ x

Bemerkungen.

1. Drei Vektoren ⃗a,⃗b, ⃗c ∈ R

sind immer linear abh¨ angig.

2. Zwei Vektoren ⃗a,⃗b ∈ R

sind genau dann linear abh¨ angig, wenn sie parallel sind, d.h. einer der Vektoren ist ein Vielfaches des anderen.

3. Drei Vektoren des R

sind genau dann linear abh¨ angig, wenn sie in einer Ebene liegen, die den Ursprung enth¨ alt.

4. Ist f¨ ur ⃗ x

, . . . , ⃗ x

der Vektor ⃗ x

= ⃗ 0 , dann sind die Vektoren linear abh¨ angig, weil

0 · ⃗ x

+ . . . 0 · ⃗ x

+ 1 · ⃗ x

+ 0 · ⃗ x

+ . . . + 0 · ⃗ x

= ⃗ 0

Definition.

1. Die maximale Anzahl linear unabh¨ angiger Vektoren aus einem Vektor- raum V heißt die Dimension von V , dim V .

2. Ist dim V = m , dann heißt ein System (⃗ x

, . . . , ⃗ x

) von linear unabh¨ angigen Vektoren eine Basis von V .

Bemerkung. Ein und derselbe Vektorraum kann viele verschiedene Basen haben.

Bemerkung. Im R

ist

⃗ e

=



 

 

  1 0 ...

0 0



 

 

 

, ⃗ e

=



 

 

  0 1 0 ...

0



 

 

 

, . . . , ⃗ e

=



 

 

  0 0 ...

0 1



 

 

 

die sogenannte Standardbasis (bzw. kanonische Basis).

Definition. Seien ⃗ v

, . . . , ⃗ v

Vektoren des Vektorraums V . Die Menge aller Linearkombinationen ⃗ v = λ

⃗ v

+ . . . + λ

⃗ v

mit beliebigem λ

∈ R heißt der von den Vektoren (⃗ v

, . . . , ⃗ v

) aufgespannte Raum bzw. der Span von (⃗ v

, . . . , ⃗ v

) .

Span { ⃗ v

, . . . , ⃗ v

} = { ⃗ v : ⃗ v = λ

⃗ v

+ . . . + λ

⃗ v

, λ

∈ R}

Bemerkung. Span { ⃗ v

, . . . , ⃗ v

} ist wieder ein Vektorraum.

Satz. Ist (⃗ v

, . . . , ⃗ v

) eine Basis des Vektorraums V , dann l¨ asst sich jeder Vektor ⃗ v ∈ V in eindeutiger Weise als Linearkombination der Basisvektoren schreiben.

Beispiel. Seien ⃗ x = ( 1

5 )

, ⃗a = ( 2

1 )

, ⃗b =

( − 1 1

)

∈ R

Dann ist ( ⃗a,⃗b) eine Basis des R

.

Bez¨ uglich der kanonischen Basis (⃗ e

, ⃗ e

) gilt

⃗

x = 1 · ⃗ e

+ 5 · ⃗ e

Bez¨ uglich der Basis ( ⃗a,⃗b) gilt

⃗

x = 2⃗a + 3 ⃗b = 2 ( 2

1 )

+ 3

( − 1 1

)

Definition. Eine Basis ( ⃗b

, . . . ,⃗b

) des R

heißt eine Orthonormal-

stehen und normiert sind (d.h. die L¨ ange 1 haben). D.h.

⟨ ⃗b

,⃗b

⟩ = δ

=

{ 1 wenn i = j 0 wenn i ̸ = j

Gegeben sei nun ein System von m linear unabh¨ angigen Vektoren ⃗b

, . . . ,⃗b

im Vektorraum V . Sei W = Span( ⃗b

, . . . ,⃗b

) . Dann ist ( ⃗b

, . . . ,⃗b

) eine Basis von W .

Im Orthonormalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt wird da- raus eine Orthonormalbasis ( ⃗b

, . . . ,⃗b

) von W konstruiert.

1. Schritt: Bilde den Vektor ⃗b

= ⃗b

und weiters sukzessive

⃗b

= ⃗b

−

1,⃗b^∗₁⟩

· ⃗b

−

2,⃗b^∗₂⟩

· ⃗b

− . . . −

k−1,⃗b^∗_k−1⟩

· ⃗b

, k = 2, . . . m ( ⃗b

, . . . ,⃗b

) bilden dann ein orthogonales System.

2. Schritt: Die erhaltenen Vektoren werden nun normiert

⃗b

=

|⃗b^∗_i|

f¨ ur i = 1, . . . , m

und wir erhalten die gesuchte Orthonormalbasis f¨ ur W .