3.1 Skalarprodukt und Norm
Definition 3.1. Es sei V ein K-Vektorraum (K =R oderK =C).
(i) Eine Verkn¨upfungh·,·imithv, wi ∈K heißtSkalarprodukt aufV, falls f¨uru, v, w ∈ V und λ ∈K die folgenden Regeln gelten:
SP1 hv, wi=hw, vi (Symmetrie)
SP2 hλv, wi=λhv, wi (Homogenit¨at)
SP3 hu+v, wi=hu, wi+hv, wi (Linearit¨at)
SP4 hv, vi ≥0 f¨ur allev ∈V, v 6= 0 ⇒ hv, vi 6= 0 (positive Definitheit) (ii) Eine Abbildung k · k:V →R heißt Norm auf V, falls f¨ur u, v ∈V und λ∈K die
folgenden Regeln gelten:
N1 kvk ≥0 und kvk= 0⇔v = 0 (positive Definitheit)
N2 kλvk=|λ|kvk (Homogenit¨at)
N3 ku+vk ≤ kuk+kvk (Dreiecksungleichung) Beispiel 3.2.
3 Skalarprodukt und Orthogonalit¨at
Satz 3.3 (Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung). Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt h·,·i und kvk=p
hv, vi (vgl. Satz 3.4). Dann gilt f¨ur alle v, w∈V dass
|hv, wi| ≤ kvkkwk
und es gilt die Gleichheit |hv, wi|=kvkkwk genau dann, wenn die Menge {v, w} linear abh¨angig ist.
Satz 3.4. Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt h·,·i. Dann wird durch kvk=p
hv, vi eine Norm auf V definiert.
Beweis.
Beispiel 3.5.
3.2 Orthogonalit¨ at
Definition 3.6. F¨ur Vektoren v, w∈V \ {0} ist die Zahlα ∈[0, π[ mit cos(α) = hv, wi
kvk · kwk ∈[−1,1]
der Winkel zwischen v und w. Vektoren v, w ∈ V mit hv, wi = 0 heißen zueinander orthogonal und man schreibt v ⊥w. Die Zahl kvk ∈Rist die L¨ange von v.
Beispiel 3.7.
Satz 3.8. Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt h·,·i und B ⊂ V \ {0}
sei eine Teilmenge von V mit paarweise orthogonalen Vektoren ungleich Null, d.h. f¨ur beliebige v, w∈B mit v 6=w gilt hv, wi= 0. Dann ist B linear unabh¨angig.
Definition 3.9. Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt h·,·i und B ⊂ V \ {0} sei eine Teilmenge von V wie in Satz 3.8. Eine solche Menge heißt Orthogonal- system. Besitzen alle Vektoren v ∈ B die Norm 1, d.h. kvk = p
hv, vi = 1, so heißt B Orthonormalsystem. IstB eine Basis von V, so spricht man von einer Orthogonal- bzw.
Orthnormalbasis (ONB).
Beispiel 3.10.
3 Skalarprodukt und Orthogonalit¨at
Satz 3.11. Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt h·,·i und der dadurch induzierten Norm k · k.
(i) Es sei B eine Basis von V. Es gilt
v =w ⇔ ∀b ∈B :hv, bi=hw, bi.
(ii) Es sei B ={b1, b2, . . . , bn} eine orthonormale Basis von V und v ∈V. Es gilt v =
n
X
i=1
hv, biibi.
Beweis.
3.3 Orthogonales Komplement und orthogonale Projektion
Definition 3.12. Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt h·,·i und U ⊂V sei eine Teilmenge von V. Dann ist
U⊥ ={v ∈V | ∀u∈U : hu, vi= 0}
das orthogonale Komplement von U in V.
Satz 3.13. F¨ur jede Teilmenge U ⊂V ist U⊥ ein Untervektorraum von V.
Beispiel 3.14.
Satz 3.15. Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt h·,·i, U ⊂ V sei ein Untervektorraum von V undv ∈V sei ein Vektor in V. Dann existiert genau ein Vektor u? ∈U, so dass der Abstand
d(v, U) = min{kv−uk |u∈U}=kv−u?k
von v zu U in u? minimal ist. Man definiert eine Abbildung PU :V →U durch PU(v) = u?. PU heißt orthogonale Projektion von V auf U.
Beispiel 3.16.
Satz 3.17. Die Abbildung PU aus Satz 3.15 besitzt die folgenden Eigenschaften:
(i) Es gilt PU(v) = 0 genau dann, wenn v ∈U⊥. (ii) Es gilt PU(v) =v genau dann, wenn v ∈U.
(iii) Es ist PU◦PU =PU, d.h. f¨ur alle v ∈V ist PU(PU(v)) =PU(v).
∈ − ∈ ⊥
3 Skalarprodukt und Orthogonalit¨at Beweis.
Satz 3.18. Es seiV ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt h·,·i und U ⊂V sei ein Untervektorraum von V mit einer Orthonormalbasis B ={b1, b2, . . . , br}. Dann gilt f¨ur alle v ∈V
PU(v) =
r
X
i=1
hv, biibi.
Beispiel 3.19.
Bemerkung 3.20 (Orthonormalisierungverfahren von Schmidt). Es sei V ein K-Vek- torraum mit dem Skalarprodukth·,·iund der dadurch induzierten Normk · k. Außerdem sei A = {a1, a2, . . . , ar} eine endliche linear unabh¨angige Teilmenge von V. Man kann aus A eine Orthonormalbasis wie folgt konstruieren,
1. k = 1, b1 = ka1
1ka1,
2. k =k+ 1, ˜bk =ak−Pk−1
i=1 hak, biibi, 3. bk= 1
k˜bkk˜bk,
4. falls k = r → fertig, und B = {b1, b2, . . . , br} ist eine Orthonormalbasis von V, ansonsten weitermachen mit Schritt 2.
Beispiel 3.21.
