3.5 Skalarprodukt und Norm
Definition 1 F¨urx, y∈Rn heißt
hx, yi=x1y1+. . .+xnyn=
n
X
i=1
xiyi
das Skalarprodukt vonx und y. Dabei heißen x und y orhogonal, wenn hx, yi= 0.
F¨urx∈Rn heißt
||x||=p
hx, xi= v u u t
n
X
i=1
x2i
die Norm vonx.
Bemerkung 2
• Es gilt hx, yi=xTy.
Satz 3 Es seienx, y, z ∈Rn und λ∈R. Dann gilt
1. hx+y, zi=hx, zi+hy, zi, hλx, zi=λhx, zi (Linearit¨at in der ersten Komponente) 2. hx, yi=hy, xi (Symmetrie)
3. hx, xi>0, wenn x6= 0 Bemerkung 4
• Wegen der zweiten Eigenschaft ist das Skalarprodukt auch linear in der zweiten Komponente.
• Es gilt alsohx, xi= 0 genau dann, wenn x= 0.
• Man kann ||x−y||als den Abstand von xund y verstehen bzw.||x||als die L¨ange des Vektors x.
Satz 5 Es seienx, y∈Rn und λ∈R. Dann gilt 1. ||x||= 0 genau dann, wenn x= 0.
2. ||λx||=|λ| · ||x||
3. ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| (Dreiecksungleichung)
4. |hx, yi| ≤ ||x|| · ||y|| (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung).
Bemerkung 6
• Die zweite Eigenschaft kann zum Beispiel mit der Cauchy-Schwarzschen Unglei- chung hergeleitet werden
• Man nennt
cos](x, y) = hx, yi
||x|| · ||y||
den Winkel zwischen x und y. Dabei gilt
−1≤ hx, yi
||x|| · ||y|| ≤1.
