Aufgabe 7.2: Gegeben ist der ε-NFAA= ({a, b δ,{0},{4}) mit δ(a

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HTWK Leipzig, Fakultät IMN

Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de 7. Übung zu Theoretische Informatik: Automaten und formale Sprachen

Wintersemester 2018/19 zu lösen bis 6. Dezember 2018

Aufgabe 7.1:

Konstruieren Sie nach dem in der Vorlesung vorgestellten Verfahren zum regulären Ausdruck E = (a^∗+b)^∗b

a. einen NFA A mit L(A) =L(E),

b. den Mimimalautomaten B der Sprache L(E).

Aufgabe 7.2:

Gegeben ist der ε-NFAA= ({a, b},{0,1,2,3,4}, δ,{0},{4}) mit

δ(a) = {(0,1),(3,4)}, δ(b) = {(1,2),(2,3)} und δ(ε) = {(1,3),(3,1),(4,1)}.

a. Welche Sprache akzeptiert dieser ε-NFA?

b. Konstruieren Sie einen zu A äquivalenten NFA.

c. Konstruieren Sie einen zu A äquivalenten DFA.

d. Konstruieren Sie einen NFA, der die Sprache L(A)akzeptiert.

Aufgabe 7.3:

a. Geben Sie ein Verfahren an, wie sich zujedem beliebigen NFAA= (X, Q, δ, I, F) mit I∩F =∅ein äquivalenter NFA B (d.h. ohneε-Übergänge) mit genau einem Start- und genau einem akzeptierenden Zustand konstruieren lässt.

b. Konstruieren Sie mit diesem Verfahren einen zum NFA

A= ({a, b},{0,1,2,3}, δ,{0,1},{2,3}) mit δ(a) ={(0,1),(0,2),(0,0)} und δ(b) = {(0,3),(1,3),(2,2)} äquivalenten NFA B mit genau einem Start- und genau einem akzeptierenden Zustand.

c. Existiert auch zu jedem NFA A = (X, Q, δ, I, F) mit I∩F 6=∅ ein NFA B mit L(A) =L(B)und genau einem Start- und genau einem akzeptierenden Zustand?

Warum?

Aufgabe 7.4:

Zeigen Sie, dass für beliebige Sprachen L und L⁰ gilt a. (L^∗)^∗ =L^∗

b. (L◦L⁰)^∗◦L=L◦(L⁰◦L)^∗

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Aufgabe 7.5:

a. Gesucht ist ein Verfahren zur Konstruktion eines NFA C = (X, Q_C, δ_C, I_C, F_C) (ohneε-Übergänge), welcher für zwei gegebene NFAA= (X, Q_A, δ_A, I_A, F_A)und B = (X, Q_B, δ_B, I_B, F_B)die Sprache L(A)◦L(B)◦L(A)akzeptiert.

(a) Entwerfen Sie einen Algorithmus zur Konstruktion des NFA C, welcher die Konstruktionen aus der Vorlesung als „Unterprogramme“ verwendet.

(b) Leiten Sie daraus ein direkte Konstruktionsvorschrift (wie in den Konstruktionen auf den Vorlesungsfolien) für den NFAC ab.

Hinweis: Vergessen Sie die Spezialfälle nicht, z.B.

L(A) =∅, L(B) = ∅, ε∈L(A), ε∈L(B) (auch kombiniert).

b. Demonstrieren Sie Ihre Konstruktionsvorschrift mit den Automaten

A = (X, Q_A, δ_A, I_A, F_A) mit Q_A = {0,1}, I_A = F_A = {0} und δ_A(a) = {(0,1)}, δ_A(b) = {(1,0),(1,1)},

B = (X, Q_B, δ_B, I_B, F_B) mit Q_B = {0,1,2}, I_B = {0}, F_B = {2} und δ_B(a) = {(0,1),(1,2),(2,0)}, δ_B(b) =∅, beide mit X ={a, b}.

Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter https://informatik.htwk-leipzig.de/schwarz/lehre/ws18/tib