Aufgabe 7.2: Gegeben ist der ε-NFAA= ({a, b δ,{0},{4}) mit δ(a

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HTWK Leipzig, Fakultät IMN

Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de 7. Übung zu Theoretische Informatik: Automaten und formale Sprachen

Wintersemester 2019/20 zu lösen bis 4. Dezember 2019

Aufgabe 7.1:

Konstruieren Sie nach dem in der Vorlesung vorgestellten Verfahren zum regulären Ausdruck E = (a^∗+b)^∗b

a. einen NFA A mit L(A) =L(E),

b. den Mimimalautomaten B der Sprache L(E).

Aufgabe 7.2:

Gegeben ist der ε-NFAA= ({a, b},{0,1,2,3,4}, δ,{0},{4}) mit

δ(a) = {(0,1),(3,4)}, δ(b) = {(1,2),(2,3)} und δ(ε) = {(1,3),(3,1),(4,1)}.

a. Welche Sprache akzeptiert dieser ε-NFA?

b. Konstruieren Sie einen zu A äquivalenten NFA.

c. Konstruieren Sie einen zu A äquivalenten DFA.

d. Konstruieren Sie einen NFA, der die Sprache L(A)akzeptiert.

e. Konstruieren Sie einen regulären Ausdruck E mit L(E) =L(A).

Aufgabe 7.3:

a. Geben Sie ein Verfahren an, wie sich zujedem beliebigen NFAA= (X, Q, δ, I, F) mit I∩F =∅ein äquivalenter NFA B (d.h. ohneε-Übergänge) mit genau einem Start- und genau einem akzeptierenden Zustand konstruieren lässt.

b. Konstruieren Sie mit diesem Verfahren einen zum NFA

A= ({a, b},{0,1,2,3}, δ,{0,1},{2,3}) mit δ(a) ={(0,1),(0,2),(0,0)} und δ(b) = {(0,3),(1,3),(2,2)} äquivalenten NFA B mit genau einem Start- und genau einem akzeptierenden Zustand.

c. Warum ist die Bedingung I∩F =∅ notwendig?

Konstruieren Sie ein Gegenbeispiel.

Aufgabe 7.4:

Zeigen Sie, dass für beliebige reguläre Sprachen L und L⁰ gilt a. (L^∗)^∗ =L^∗

b. (L◦L⁰)^∗◦L=L◦(L⁰◦L)^∗

(Aus Aufgabe 1.2.d kennen wir einen Spezialfall dieser Gleichung.)

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Aufgabe 7.5:

a. Geben Sie ein Verfahren an zur Konstruktion eines NFA C = (X, Q_C, δ_C, I_C, F_C) (ohneε-Übergänge), welcher für zwei gegebene NFAA= (X, Q_A, δ_A, I_A, F_A)und B = (X, Q_B, δ_B, I_B, F_B)die Sprache L(A)◦L(B)◦L(A)akzeptiert.

(a) Entwerfen Sie einen Algorithmus zur Konstruktion des NFA C, welcher die Konstruktionen aus der Vorlesung als „Unterprogramme“ verwendet.

(b) Leiten Sie daraus ein direkte Konstruktionsvorschrift (wie in den Konstruk- tionen auf den Vorlesungsfolien) für den NFAC ab.

Hinweis: Vergessen Sie die Spezialfälle nicht, z.B.

L(A) =∅, L(B) = ∅, ε∈L(A), ε∈L(B) (auch kombiniert).

b. Demonstrieren Sie Ihre Konstruktionsvorschrift mit den Automaten

A = (X, Q_A, δ_A, I_A, F_A) mit Q_A = {0,1}, I_A = F_A = {0} und δ_A(a) = {(0,1)}, δ_A(b) = {(1,0),(1,1)},

B = (X, Q_B, δ_B, I_B, F_B) mit Q_B = {0,1,2}, I_B = {0}, F_B = {2} und δ_B(a) = {(0,1),(1,2),(2,0)}, δ_B(b) =∅, beide mit X ={a, b}.

Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter https://informatik.htwk-leipzig.de/schwarz/lehre/ws19/tib