HTWK Leipzig, Fakultät IMN
Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de 5. Übung zu Theoretische Informatik: Automaten und formale Sprachen
Wintersemester 2019/20 zu lösen bis 20. November 2019
Aufgabe 5.1:
a. Finden Sie mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion einen vollständigen DFA B, der zum NFA A= ({a, b},{0,1,2}, δ,{0,1},{2}) mit
δ(a) = {(0,0)} und δ(b) ={(0,0),(0,1),(1,2)} äquivalent ist.
b. Geben Sie einen regulären Ausdruck E mit L(E) =L(A) an.
c. Geben Sie einen zu A äquivalenten NFA C an, der genauso viele Zustände wie A hat, aber weder zu A noch zu B isomorph ist.
d. Gibt es einen zu A äquivalenten NFA, der weniger Zustände als A hat? Warum?
Aufgabe 5.2:
Wir betrachten die Sprachen Ln={w∈ {a, b}∗ |w|w|−n =a}.
(Ln ist also die Menge aller Wörter in {a, b}∗ mit mindestens n+ 1 Symbolen, in denen an Stelle n+ 1 von rechts ein a steht.)
Beispiele: aba ∈ L0, a ∈ L0, ab 6∈ L0, bab ∈ L1, a 6∈ L1, ba6∈ L1, abb ∈ L2, a 6∈ L2, baa 6∈
L2
a. Geben Sie einen NFA mit möglichst wenigen Zuständen an, der die Sprache L0 akzeptiert.
b. Geben Sie einen vollständigen DFA an, der die Sprache L0 akzeptiert.
c. Warum gibt es keinen vollständigen DFA mit weniger als 2 Zuständen, der die Sprache L0 akzeptiert?
d. Geben Sie einen NFA mit möglichst wenigen Zuständen an, der die Sprache L2 akzeptiert.
e. Geben Sie einen vollständigen DFA an, der die Sprache L2 akzeptiert.
f. Warum gibt es keinen vollständigen DFA mit weniger als 8 Zuständen, der die Sprache L2 akzeptiert?
g. Geben Sie einen NFA mit möglichst wenigen Zuständen an, der die Sprache Ln akzeptiert.
h. Warum gibt es keinen vollständigen DFA mit weniger als 2n+1 Zuständen, der die Sprache Ln akzeptiert?
Aufgabe 5.3:
In der Vorlesung wurde betont, dass in den vorgestellten Konstruktionen der NFA für Vereinigung zweier NFA-akzeptierbarer Sprachen mitunter eine Umbenennung der Zu- stände eines Automaten notwendig ist.
a. Geben Sie für Vereinigung und Verkettung je ein Beispiel
(je ein NFA A und ein NFA B) an, für welches die in der Vorlesung vorgestellte Konstruktion ohne Umbenennung zu einem falschen Ergebnis führt.
b. Ist diese Umbenennung auch in der Produkt-Konstruktion von Automaten für den Schnitt zweier NFA-akzeptierbarer Sprachen notwendig? Warum?
Aufgabe 5.4:
In der Vorlesung wurde eine Konstruktion eines NFA für die Sprache L(A) aus einem gegebenen vollständigen DFA A vorgestellt.
Zeigen Sie, dass der Automat A beide Bedingungen (vollständig und deterministisch) erfüllen muss, damit die vorgestellte Konstruktion zu einem korrekten Ergebnis führt.
Das kann man durch Angabe zweier Automaten als Gegenbeispiele zeigen:
a. ein vollständiger, aber nicht deterministischer NFAA, für den die Konstruktion zu einem Automaten B mit L(B)6=L(A) führt.
b. ein deterministischer, aber nicht vollständiger NFAA, für den die Konstruktion zu einem Automaten B mit L(B)6=L(A) führt.
Aufgabe 5.5:
a. Geben Sie ein (möglichst einfaches) Verfahren zur Konstruktion eines vollständigen DFA C mit L(C) = L(A)∆L(B) aus zwei gegebenen NFA A und B an.
Zeigen Sie, dass der so konstruierte NFA C die Anforderung erfüllt.
b. Demonstrieren Sie Ihr Verfahren an den NFA
A= ({a, b},{0,1}, δA,{0},{1})mitδA(a) = {(0,1),(1,0)}undδA(b) = {(0,0),(1,1)}
und B = ({a, b},{0,1,2}, δB,{0},{1})mit δB(a) = {(0,2),(1,0),(2,1)} und δB(b) ={(0,1),(1,2),(2,0)}.
Geben Sie auch die Sprachen L(A), L(B) und L(A)∆L(B) an.
Aufgabe 5.6:
Zeigen Sie, dass die Menge REC(NFA)unter Spiegelung abgeschlossen ist.
Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter https://informatik.htwk-leipzig.de/schwarz/lehre/ws19/tib
