a xf (x) dx R b

3 Übungsblatt Atom- und Molekülphysik

3.1 (Erwartungswerte und Mittelwerte)

Es sinddieErwartungswerte und Mittelwerte zuberechnen und zuvergleichen.

Wirdenieren den Erwartungswert als:

h x i = R ^b

a xf (x) dx R ^b

a f (x) dx

DenMittelwert denieren wirals:

¯

x = 1 (b − a)

Z ^b

a

x dx

bzw. für diediskretenFälle (da wirdort

b − a

^{nicht darstellenkönnen)als:}

¯ x = 1

N

N

X

n=1

x n .

a)

Es ist die Funktion

f (x) = x

^{auf dem Intervall}

[0, b]

^{gegeben. Wir normieren, um die}

Integrationsgrenze zuerhalten:

Z ^b

0

x dx = 1 1

2 x ^{2 b}

0

= 1 b = √

2.

Wirkönnen nunden Erwartungswert berechnen:

h x i = R ^{√ 2}

0 x ² dx R ^{√ 2}

0 x dx

=

1 3

x ³

√ 2 0 1

2 [x ² ] ^√ ₀ ² =

1 3 2 ^{3 2}

1 = 1 3 2 ^{3 2} =

r 8 9 = 2

3 b.

Für denMittelwert erhaltenwir:

¯ x = 1

√ 2 Z

√ 2

0

x dx = 1

√ 2 1

2 x ²

√ 2

0

= r 1

2 = b 2 .

Der Vergleich zeigt,dassErwartungswert und Mittelwertsichstark unterscheiden.

Es istgegeben

g (x) = c

^{auf demIntervall}

[a, b]

^{,die Normierung liefert:}

Z ^b

a

g (x) dx = 1

c = 1

(b − a) .

Wirerhaltenalso für den Erwartungswert:

h x i = R ^b

a xc dx R ^b

a c dx = R ^b

a x dx R ^b

a 1 dx = h 1

2 x ^{2 i}

b a

(b − a) = 1 2

b ² − a ²

b − a = b + a 2 .

Der Mittelwertliefert:

¯

x = 1 (b − a)

Z ^b

a

x dx = 1 (b − a)

1 2 x ²

^b

a

= b + a 2 .

DerErwartungswertundderMittelwertstimmen alsofürdiese Funktionüberein,dies

war auch zuerwarten, da wireinekonstanteFunktionbetrachtethaben.

c)

Wir betrachten die diskrete Verteilung

h (1) = 1, h (2) = 2, h (3) = 1

^{, sonst null. Wir}

können dies durch Delta-Funktionen beschreiben mit

h (x) = δ (x − 1) + 2δ (x − 2) + δ (x − 3)

^{.Wirberechnen den}Erwartungswert:

h x i = R _∞

−∞ xh (x) dx R _∞

−∞ h (x) dx = 1 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 1 + 2 + 1 = 8

4 = 2.

Der Mittelwertliefert:

¯ x = 1

3

3

X

n=1

x n = 1 + 2 + 3

3 = 6

3 = 2.

AufGrund dersymmetrischenAnordnungderVerteilung istderErwartungswertdem

Mittelwertwie erwartet gleich.

d)

Wir betrachten die diskrete Verteilung

j (1) = 1, j (2) = 2, j (4) = 1

^{, sonst null. Dies}

lässt sich in Form von Delta-Funktionen durch

j (x) = δ (x − 1) + δ (x − 2) + δ (x − 4)

ausdrücken.Wirberechnen den Erwartungswert und erhalten:

h x i = R _∞

−∞ xj (x) dx R _∞

−∞ j (x) dx = 1 · 1 + 2 · 2 + 1 · 4 1 + 2 + 1 = 9

4 .

¯ x = 1

3

3

X

n=1

x n = 1 + 2 + 4

3 = 7

3 .

FürdenunsymmetrischenFallliefertderErwartungswerteinanderesErgebnisalsder

Mittelwert, dieswar zuerwarten.

Für den Aufgabenteil a) und d) erhalten wir also ein unterschiedliches Ergebnis für

Mittelwertund Erwartungswert.

3.2 (Eigenwerte hermitischer Operatoren)

Esistzuzeigen,dassEigenwertehermitischerOperatorenstetsreellsind.Wirbetrachten

den hermiteschen Operator

A ˆ = ˆ A ^†

^{mit den} Eigenwerten:

A ˆ | a i = α | a i h a | A ˆ ^† = α ^∗ .

Es folgt also:

α h a | a i = h a | α | a i = h a | A ˆ | a i = h a | A ˆ ^† | a i = α ^∗ h a | a i .

Es gilt also

α = α ^∗

^{, wobei}

^∗

^diekomplexe Konjugation bedeuten soll. Ein Wert kann aber nur dann gleich seinem komplex konjugierten Wert sein, wenn er reell ist. Somit

müssen alsodieEigenwerte eines hermiteschen Operatorsreell sein.

3.3 (Orthogonalität von Eigenfunktionen)

Es ist zuzeigen, dass Eigenfunktionenzu verschiedenen Eigenwerten eines hermitischen

Operatorsorthogonal sind. Wirbetrachten denhermiteschenOperator

O ˆ = ˆ O ^†

^mit:

O ˆ | a i = α | a i O ˆ | b i = β | b i .

Es gilt:

0 = ˆ O − O ˆ = h b | O ˆ − O ˆ | a i = h b | O ˆ ^† − O ˆ | a i = (b − a) h b | a i .

Wobei der Beweis derTatsache aus2.) ausgenutzt wurde. Nun folgt also in der Fall-

unterscheidung: Für

b = a :

0 = (a − a) h a | a i

und für

b 6 = a

^folgt:

0 = (b − a) h b | a i ,

da

(b − a) 6 = 0

^,mussalsodasSkalarprodukt

0

^{seinumdieGleichung zuerfüllen, aber}

dasist geradediezu zeigende Orhtogonalität.