Klausur Aerodynamik II 26. 08. 2014 M U S T E R L

AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westf¨alischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schr¨oder

Klausur Aerodynamik II

26. 08. 2014

M U S T E R L ¨ O S U N G E I N S IC H T N A H M E

Hinweis:

Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben:

Klausur Aerodynamik II

Fragenteil, Skelett-Theorie und linearisierte Potentialtheorie, ¨Uberschallstr¨omung und numerische Verfahren

Integrale und Additionstheoreme

Additionstheoreme

• sin(x±y) = sin(x)·cos(y)±sin(y)·cos(x)

• cos(x±y) = cos(x)·cos(y)∓sin(x)·sin(y)

• sin²(x) + cos²(x) = 1

• sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)

• sin(x) = 2·sin(x/2)·cos(x/2)

• sin²(x) = 1

2(1−cos(2x))

• cos²(x) = 1

2(1 + cos(2x))

• cos(2x) = cos²(x)−sin²(x)

• tan(x 2) =

r1−cosx 1 + cosx

• tan(x

2)·sin(x) = 1−cos(x)

• sin(x)·sin(nx) =−1

2(cos[(n+1)x]−cos[(n−1)x])

• sin[(n+ 1)x]−sin[(n−1)x] = 2·cos(nx)·sin(x)

• X∞ n=1

1

nsin(nϕ_p)·sin(nϕ) = 1

4ln1−cos(ϕp+ϕ) 1−cos(ϕ_p−ϕ)

Integrale

•

Z 1

ax+bdx= 1

a·ln(ax+b)

•

Z x

ax+bdx= x a− b

a² ·ln(ax+b)

• Z x²

Xdx= 1 a³

h1

2(X)−2b(X) +b²ln(X)i mitX =ax+b

• Z

sin(ax)dx=−cos(ax) a

• Z

cos(ax)dx= +sin(ax) a

• Z

sin²(ax)dx= x 2 − 1

4asin(2ax)

• Z

cos²(ax)dx= x 2 + 1

4asin(2ax)

• Z

sin³(ax)dx= cos³(ax)

3a −cos(ax) a

• Z

cos³(ax)dx=−sin³(ax)

3a +sin(ax) a

• Z

cos⁴(ax)dx= 3

8x+ sin(2ax)

4a +sin(4ax) 32a

• Z

sin(ax) cos(ax)dx= sin²(ax) 2a

• Z π

0

sin(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Z π

0

cos(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Z π

0

sin(n·ϕ)·sin(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Glauert-Integral Z π

0

cos(n·ϕ^′)

cos(ϕ)−cos(ϕ^′)dϕ^′ =−π·sin(n·ϕ) sin(ϕ)

• Z

cos(ax)·cos(bx)dx= sin[(a−b)x]

2(a−b) +sin[(a+b)x]

2(a+b) ∀ |a| 6=|b|

1. Aufgabe: Fragenteil (15 Punkte)

1. Erkl¨aren Sie den Begriff des induzierten Widerstandes im Rahmen der Prandtlschen Traglinientheorie.

2. Stellen Sie in einem einzigen Diagramm qualitativ den Verlauf des Auftriebsbeiwertes ¨uber dem indu- zierten Widerstandbeiwert (c_L=f(c_Di)) f¨ur einen eliptischen Fl¨ugel der Streckung Λ = 4 und einen eliptischen Fl¨ugel der Streckung Λ = 16.

3. Erkl¨aren Sie den Begriff des kritischen Druckbeiwertes c^∗_p und der kritischen Machzahl M a_krit. Wie ver¨andern sich diese beiden Gr¨oßen, wenn das Profil d¨unner wird?

4. Zeichnen Sie sorgf¨altig den Verlauf des Auftriebsanstieges ^∂c_∂α^l der Fl¨ugelsektion eines spannweitig unendlich ausgedehnten Fl¨ugels mit einem d¨unnen Profil und einem Anstellwinkel von α = 5^◦ uber¨ der Machzahl der freien Anstr¨omung f¨ur einen Pfeilwinkel ϕ = 0^◦ und ϕ = 60^◦. Kennzeichnen Sie deutlich in Ihrer Skizze die entsprechenden Effekte der Pfeilung auf den Verlauf von ^∂c_∂α^l.

5. (a) Um ein NACA 2412 Profil bildet sich beiM∞= 0.4,α= 5^◦undRe_l= 0.1·10⁶das in der Abb. 1.1 dargestellte Str¨omungsfeld aus. Skizzieren Sie in den L¨osungsbl¨attern sorgf¨altig die zum darge- stellten Str¨omungsfeld zu erwartendec_p Verteilung. Markieren Sie in Ihrer Skizze und benennen Sie stichwortartig die auf der Saugseite des Profils auftretenden herausragenden Merkmale, die auf Reibungseffekte zur¨uckzuf¨uhren sind.

0.5 1

X=x/l 0

Abbildung 1.1: Str¨omungsfeld um ein NACA2412 Profils bei M∞= 0.4, α= 5^◦ undRe_l = 0.4·10⁶ (b) Skizzieren Sie in den L¨osungsbl¨attern sorgf¨altig auch den zum dargestellten Str¨omungsfeld zu

erwartenden Verlauf des Reibungsbeiwertes c_f entlang der Profiloberseite.

Hinweis:

Falls n¨otig, ¨ubertragen Sie die Skizzen in Ihre L¨osungsbl¨atter und zeichnen Sie die L¨osung dort ein!

2. Aufgabe: Skelett-Theorie und linearisierte Potentialtheorie (19 Punkte)

Gegeben ist das dargestellte Profilskelett mit einer Nasen- und einer Hinterkantenklappe, die um den selben Winkelη ausgeschlagen sind. Das Profilskelett ist angestellt um den Winkelαund wird je nach Aufgabenteil f¨ur verschiedene Machzahlen untersucht.

α

M

η η η

l/4 l/2 l/4

1. Unter Anwendung der Skelett-Theorie f¨ur einen inkompressiblen Fall:

(a) Leiten Sie die allgemeine Formel zur Berechnung des Auftriebsbeiwertesc_l= (2πA0+πA1) her.

(b) Berechnen Sie den Auftriebsbeiwert des untersuchten Profils in Abh¨angigkeit vom Anstellwinkel α und dem Klappenauschlagwinkelη.

(c) Der Momementenbeiwert um die Profilnase kann i.a. nach der Formelc_m =−^π₄(2A₀+ 2A₁+A₂) berechnet werden. Bestimmen Sie den Momentenbeiwertc_mdes gegebenen Profils in Abh¨angigkeit vom Anstellwinkel α und dem Klappenauschlagwinkel η und zeigen Sie, dass der Neutralpunkt des Profils bei X= ¹₄ liegt.

2. Nun wird das selbe Profil bei Machzahlen M a1 = 0.6 und M a2 = 3 unter Anwendung linearisierter Potentialtheorie untersucht.

(a) Berechnen Sie die zugeh¨origen Auftriebsbeiwerte c_l1 f¨ur die MachzahlM a₁ = 0.6 undc_l2 f¨ur die Machzahl M a₂ = 3.

(b) Berechnen Sie die zugeh¨origen Widerstandsbeiwerte c_w1 f¨ur die Machzahl M a₁ = 0.6 und c_w2 f¨ur die Machzahl M a₂ = 3.

Gegeben: Anstellwinkel α, Sehnenl¨ange l, Klappenausschlagwinkelη,M a₁ = 0.6,M a₂ = 3 Hinweise:

γ(ϕ) = 2V∞· A₀·tanϕ 2

+ XN n=1

A_n·sin(nϕ)

!

−w_a(ϕ) =− w V∞

=A₀+ XN n=1

A_n·cos(nϕ)

− w V∞

=α− dZ dX

u V∞

=±γ(X) V∞

c_p|M a^∞>1.2=± 2β pM a²∞−1

3. Aufgabe: ¨ Uberschallstr¨ omung und numerische Verfahren (16 Punkte)

Es soll die zweidimensionale reibungsfreie Str¨omung entlang eines nicht angestellten in Str¨omungsrichtung unendlich ausgedehnten Keilprofils mit einem ¨Offnungswinkel von δ = 60^◦ bei M a∞ = 2.0 untersucht werden.

Ma∞

δ=60°

S1 S2

1. (a) ¨Ubertragen Sie die obere Skizze in Ihre Aufgabenbl¨atter und skizzieren Sie sorgf¨altig das sich einstellende Stoßsystem.

(b) Erg¨anzen Sie Ihre Skizze durch das Einzeichnen des weiteren Verlaufs der beiden Stromlinien S1 und S2, wobei S2 in der Symmetrieebene liegt.

2. Zeichnen Sie die Zustands¨anderungen ¨uber den Stoß f¨ur die Stromlinien S1 und S2 in eine Hodogra- phenebene ein.

3. (a) Erl¨autern Sie mit Hilfe des Satzes von Crocco (~v×(∇ ×~v) +T∇s= ^∂~_∂t^v +∇h₀), ob zur L¨osung des vorliegenden Str¨omungsproblems die Potentialtheorie grunds¨atzlich angewendet werden darf.

(b) Welche Erhaltungsgleichungen m¨ussen gel¨ost werden, um die zu erwartenden Ph¨anomene des Str¨omungsfeldes zu erfassen?

4. Zeichnen Sie ein auf die auftretenden Str¨omungsph¨anomene angepasstes strukturiertes Rechengitter, das ben¨otigt wird, um alle zu erwartenden Str¨omungsph¨anomene des zweidimensionalen reibungsfreien Str¨omungsfeldes mittels numerischer Str¨omungssimulation aufzul¨osen.

5. (a) Geben Sie explizit die geeigneten Randbedingungen f¨ur die primitiven Variablen bestehend aus der Dichte ρ, den Geschwindigkeitskomponentenu, v,und dem statischen Druck p am Eintrittsrand Ihres Rechengitters an.

(b) Welche Art von Randbedingung ist f¨ur den Austrittsrand zu w¨ahlen? Erkl¨aren Sie kurz das Funktionsprinzip dieser Randbedingung.

6. Entwickeln Sie aus der gegebenen Taylorreihe eine Approximation f¨ur die zweite Ableitung einer Funk- tion u(x), die 1. Ordnung genau ist, f¨ur ein nicht ¨aquidistantes Gitter. Geben Sie den Abbruchfehler explizit an.

Gegeben: M a∞= 2.0,δ = 60^◦ Hinweise:

u(x) = X∞ m=0

1 m!

∂^mu(x₀)

∂x^m (x−x₀)^m

1. Aufgabe: (L ¨ OSUNG) Fragenteil (15 Punkte)

1. Bei einem Fl¨ugel endlicher Spannweite ist die Auftriebsverteilung entlang der Spannweite nicht kon- stant. Hinter dem Fl¨ugel bildet sich eine Wirbelfl¨ache aus. Diese Wirbelfl¨ache induziert am Fl¨ugel eine nach unten gerichtete Geschwindigkeit, die zur Reduktion des geometrischen Anstellwinkels um den induzierten Anstellwinkel f¨uhrt. Die resultierende Luftkraft wird um den induzierten Anstellwin- kel geneigt und erh¨alt eine horizontale Komponente, die entgegen der Flugrichtung zeigt, also eine Widerstandskraft.

2. F¨ur einen eliptischen Fl¨ugel gilt:c_Di = ^c

2 L

πΛ ⇒ c_L(c_Di) =p c_DiπΛ

0 5 10 15 20

−10 0 10 20 30 40

CD i

C L

Λ=4 Λ=16

3. Der kritische Druckbeiwertc^∗_p ist als dimensionsloser Druckebeiwert definiert, der erreicht wird, wenn die Str¨omung isentrop M a= 1 erreicht, d.h. wenn das Verh¨altnis des statischen Drucks zum Gesamt- druck ^p_p^∗

0 = (_γ+1² )^γ−1γ ≈0.528 betr¨agt.

Die kritische Machzahl ist die Machzahl der freien Anstr¨omung, bei der auf dem Profil lokal zum ersten Mal M a = 1 erreicht wird. Es ist die Machzahl, bei der die am Profil gemessene Druckvertei- lung c_p(X) zum ersten Mal den Wert c^∗_p besitzt.

F¨ur ein d¨unneres Profil bleibt der kritische Druckbeiwert unver¨andert, da er nur von der Machzahl der Anstr¨omung abh¨angt; die kritische Machzahl steigt dagegen an, da die Beschleunigung der Str¨omung mit abnehmender Profildicke auch abnimmt (Affinit¨atsgesetze) und somit auf dem Profil M a= 1 erst bei h¨oherer Machzahl der Anstr¨omung erreicht wird.

1 1

1 2

1

3

1 4

1

5

1

6

1 7

1

8

4. Wegenc_l =H

c_pdX hat die Pfeilung auf die Steigung des Auftriebsbeiwertes der Fl¨ugelsektion diesel- ben Effekte, wie auf die Druckbeiwertverteilung:

Effekt 1: Verminderung des inkompressiblen Auftriebsbeiwertes um cosϕ=cos60^◦ = 0.5.

Effekt 2: Schw¨acheres Kompressibilit¨atsgesetz durch die Asymptotenverschiebung zuM a∞= _cosϕ¹ = _cos60¹ ◦ = 2

0 0.25 0.5 0.75

0

Ma

φ=0

φ= 0 6

∂ ∂ c /

α

1 1.25 1.5 1.75 2

2π

π

Effekt 2: 1/cos( )φ

Effekt 1: cos( )φ

5. (a) 1. Abl¨osung der laminaren Grenzschicht.

2. Umschlag der Str¨omung an der Abl¨oseblase 3. Wiederanliegen der turbulenten Grenzschicht.

0.5 1

X=x/l 0

0.5 1

0

(b)

1

9

1

10

1 11

1 12

1

13

1 14

0.5 1 X=x/l 0

0.5 1

0

Cf

1

15

2. Aufgabe: (L ¨ OSUNG) Skelett-Theorie und linearisierte Potentialtheo- rie (19 Punkte)

1. (a) Aus dem Satz von Kutta-Zhukhovski folgt f¨ur die zweidimensionale Auftriebskraft Lˆ =̺V∞Γ = ̺V∞

Z l 0

γ(x)dx=̺V∞l Z 1

0

γ(X)dX ,wobei X =x/l.

F¨ur den Auftriebskoeffizienten c_l ergibt sich:

c_l= Lˆ

̺

2V∞²l = 2R1

0 γ(X)dX V∞

Eingesetzt γ(ϕ) mit dX =−¹₂sinϕdϕaus der SubstitutionX = ¹₂(1 +cosϕ) ergibt c_l= 1

V∞

Z π 0

γ(ϕ)sinϕdϕ= 2 Z π

0

A₀tan(ϕ

2)sinϕ+A₁sin²ϕ+A₂sin(2ϕ)sinϕ dϕ

= 2 Z π

0

A₀(1−cosϕ) +A₁sin²ϕ+A₂sin(2ϕ)sinϕ dϕ

=π(2A₀+A₁) (b) Berechnung der Koeffizienten A₀ und A₁:

α− dZ

dX =A₀+ XN n=1

A_n·cos(nϕ)

Z π 0

α·cos(pϕ)dϕ− Z π

0

dZ

dX ·cos(pϕ)dϕ= Z π

0

(A₀+ XN n=1

A_n·cos(nϕ))·cos(pϕ)dϕ

p= 0 : ⇒ A₀ =α− 1 π

Z π 0

dZ dXdϕ p= 1 : ⇒ A₁ =−2

π Z π

0

dZ

dXcosϕdϕ

Entsprechend der Substitution X = ¹₂(1 +cosϕ) m¨ussen die Integrale in drei Bereiche mit den folgenden St¨utzstellen aufgeteilt werden:

X= 0 =b cosϕ=−1 =b ϕ=π X = 1

4 =b cosϕ=−1

2 =b ϕ= 2π 3 X = 3

4 =b cosϕ= 1

2 =b ϕ= π 3 X= 1 =b cosϕ= 1 =b ϕ= 0

Die Steigung der Skelettlinie in den jeweiligen Bereichen ist:

dZ

dX|I = tan(η)≈η

dZ|II = 0

1 1

1 2

1 4

1

3

1

5

1

6

1 7

1

8

F¨ur den Koeffizienten A₀ ergibt sich:

A₀=α− 1 π

Z π 0

dZ

dXdϕ=α− 1 π

Z _π/3

0

(−η)dϕ+ Z π/3

2π/3

(0)dϕ+ Z π

2π/3

(η)dϕ

!

=α F¨ur den Koeffizienten A₁ ergibt sich:

A₁=−2 π

Z π 0

dZ

dXcosϕdϕ=−2 π

Z π/3 0

(−η)cosϕdϕ+ Z π/3

2π/3

(0)cosϕdϕ+ Z π

2π/3

(η)cosϕdϕ

!

=−2 π

[(−η)sinϕ]^π/3₀ + 0 + [(η)sinϕ]^π_2π/3

=−2

π (−η)

√3

2 + 0−(η)

√3 2

!

= 2 π

√3η

Damit ergibt sich der Auftriebsbeiwert zu:

c_l= 2πα+ 2√ 3η

(c) Das untersuchte Profilskelett weist eine symmetrische W¨olbung (Xf = 0.5) auf und besitzt somit keinen S-Schlag, weswegenA₂= 0 gilt. F¨ur den Momentenbeiwert ergibt sich:

c_m=−π

4(2A₀+ 2A₁+ 0) =−π 2α−√

3η

Aus der Momentenbilanz um die Profilnase und der Definition des Neutrapunktes (∂c_m0/∂c_l= 0) folgt:

c_m =c_m0 −c_l·X_N ⇒ (abgeleitet nachc_l) ⇒ X_N =−∂cm

∂c_l =−∂cm

∂α

∂α

∂c_l =−−π/2 2π = 1

4 2. (a) F¨ur den Fall mit M a₁ = 0.6 ergibt sich der Auftriebsbeiwert aus der Prandtl-Glauert-Regel und

dem in Teil 1 bestimmten Wert f¨ur den inkompressiblen Fall zu:

c_l|M a1=0.6 = 1

p1−M a²₁c_l|M a1=0 = 1

√1−0.6²(2πα+ 2√

3η) = 1

0.8(2πα+ 2√

3η) = 2.5πα+ 2.5√ 3η Mit den absoluten lokalen Str¨omungs¨anderungswinkeln β_i entlang des Profilskeletts und dem Hinweis c_p|M a^∞>1.2 =±√ ^2βi

M a²∞−1 ergibt sich f¨ur den Auftriebsbeiwert bei M a₂ = 3.0:

c_p,i|M a^∞>1.2=± 2β_i

pM a²∞−1 ⇒∆c_p,i = 4β_i pM a²∞−1

c_l|M a²=3.0 = Z 1

0

∆c_pdX = 4

pM a²₂−1(0.25(α−η) + 0.5α+ 0.25(α+η)) = 4α

pM a²₂−1 = 4α

√8 Alternativ: Im Rahmen der linearisierten Potentialtheorie ist f¨ur den Auftriebsbeiwert bei M a₂= 3 nur der Anstellwinkel der Profilsehneα₀ relevant. Mit α₀=α ergibt sich:

1

9

1

10

1 11

1 12

1

13

1 14

1

15 1

16

1 17

(b) F¨ur den Fall mit M a₁ = 0.6 besitzt das Profil keinen Widerstandsbeiwert (D’Alembert’sches Paradoxon):

c_w|M a1=0.6 = 0

Im Rahmen der linearisierten Potentialtheorie ergibt sich der Widerstandsbeiwert bei M a₂ = 3 zu:

c_w|M a²=3.0= Z 1

0

∆c_p·β_idX = 4

pM a²₂−1 0.25(α−η)²+ 0.5α²+ 0.25(α+η)²

= 4α²+ 2η²

√8 Alternativ: Im Rahmen der linearisierten Potentialtheorie kann der Widerstandsbeiwert bei M a₂ = 3 in eine Auftriebs- und eine Skelettlinien-Komponete aufgeteilt werden und setzt sich somit zusammen zu:

c_w|M a²=3.0 = 4

pM a²₂−1(α²₀+ Z 1

0

dZ^(s) dX

!2

dX) = 4

pM a²₂−1(α²+ 0.25(−η)²+ 0.25η²) = 4α²+ 2η²

√8

1

18

1

19

3. Aufgabe: ¨ Uberschallstr¨ omung und numerische Verfahren (16 Punkte) (L ¨ OSUNG)

1. Da δ > δ_max →gekr¨ummter abgel¨oster Verdichtungsstoß:

Ma∞

δ=60°

S1

S2

Ma<1

2. Hodograph entlang Stromlinie S1 und S2:

Ma=1

δmax

u/c*

v/c*

S2 S1

3. Satz von Crocco:

~v×(∇ ×~v) +T∇s= ∂~v

∂t +∇h₀

Aufgrund eines gekr¨ummten Verdichtungsstoßes besitzt das Feld nach dem Stoß einen Entropiegradi- ent. Eine station¨are isoenergete Str¨omung ist somit nach dem Satz von Crocco rotationsbehaftet:

~v×(∇ ×~v) =−T∇s6= 0 Daher darf die Potentialtheorie nicht angewendet werden.

1 1

1 2

1

3

1 4

1

5

1

6

1 7

4. Strukturiertes Rechengitter:

5. (a) ¨Uberschalleintritt: Daher m¨ussen alle primitiven Variablen vorgegeben werden.

u=u∞, v= 0, p=p∞, ρ=ρ∞

(b) Der Austrittsrand des Rechengebietes beinhaltet sowohl sub- als auch supersonische Bereiche, da die Str¨omung innerhalb des gekr¨ummten Verdichtungsstoßes um ein unendlich langes Keilprofil subsonisch und außerhalb supersonisch ist. Somit ist f¨ur den Austrittsrand die charakteristische Randbedingung zu w¨ahlen, die nach der Charakteristikentheorie anhand der lokalen Machzahl entweder alle Gr¨oßen aus dem Feld extrapoliert ( ^∂u_∂n = ^∂v_∂n = _∂n^∂p = ^∂ρ_∂n = 0 f¨urM a>1) oder eine vorgibt und die restlichen extrapoliert (z.B. p=p∞,^∂u_∂n = _∂n^∂v = ^∂ρ_∂n = 0 f¨urM a <1).

Dabei ist die Anzahl der aus dem Rechengebiet ein- und austretenden Charakteristiken entschei- dend. Mit den Eigenwerten: u−c, u, u+c gilt:

subsonisch: supersonisch:

u+c u

u-c u-cu u+c

Im supersonischen Fall laufen alle Charakteristiken aus dem Rechengebiet heraus. Somit werden alle primitiven Variablen aus dem Rechengebiet extrapoliert.

Im subsonischen Fall hingegen gibt es eine in das Rechengebiet hineinlaufende Charakteristik. Wo- mit eine primitive Variable vorgegeben werden muss. Die restlichen Variablen werden extrapoliert.

6. Approximation der Ableitungu_xx:

1

9

1

10

1 11

1 12 1

13

u_i−1 =u_i− ∂u

∂x|ih_i−1+1 2

∂²u

∂x²|ih²_i−1−1 6

∂³u

∂x³|ih³_i−1+O(h⁴_i−1) (2) u_i+1

h_i +u_i−1

h_i−1

= u_i h_i + u_i

h_i−1

+1 2

∂²u

∂x²|i(h_i+h_i−1) +1 6

∂³u

∂x³|i(h²_i −h²_i−1) (3)

∂²u

∂x²|ⁱ = 2(ui+1

h_i + ui−1

h_i−1 −ui

h_i − ui

h_i−1

) 1

(h_i+h_i−1) +1 6

∂³u

∂x³|ⁱ(hi−hi−1) (4)

∂²u

∂x²|i = 2h_i−1(u_i+1−u_i) +h_i(u_i−1−u_i)

h_ih_i−1(h_i+h_i−1) +O(h_i−h_i−1) (5) Der Abbruchfehler ist: ¹₆^∂_∂x^3u3|ⁱ(hi−hi−1)

1

15

1

16