Klausur Aerodynamik II 25. 08. 2015 M U S T E R L

AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westf¨alischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schr¨oder

Klausur Aerodynamik II

25. 08. 2015

M U S T E R L ¨ O S U N G E I N S IC H T N A H M E

Hinweis:

Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben:

Klausur Aerodynamik II

Fragenteil, Skelett-Theorie und linearisierte Potentialtheorie, Transschall und numerische Verfahren

Integrale und Additionstheoreme

Additionstheoreme

• sin(x±y) = sin(x)·cos(y)±sin(y)·cos(x)

• cos(x±y) = cos(x)·cos(y)⌥sin(x)·sin(y)

• sin²(x) + cos²(x) = 1

• sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)

• sin(x) = 2·sin(x/2)·cos(x/2)

• sin²(x) = 1

2(1 cos(2x))

• cos²(x) = 1

2(1 + cos(2x))

• cos(2x) = cos²(x) sin²(x)

• tan(x 2) =

r1 cosx 1 + cosx

• tan(x

2)·sin(x) = 1 cos(x)

• sin(x)·sin(nx) = 1

2(cos[(n+1)x] cos[(n 1)x])

• sin[(n+ 1)x] sin[(n 1)x] = 2·cos(nx)·sin(x)

• X1 n=1

1

nsin(n'p)·sin(n') = 1

4ln⇣1 cos('p+') 1 cos('_p ')

⌘

Integrale

•

Z 1

ax+bdx= 1

a·ln(ax+b)

•

Z x

ax+bdx= x a

b

a² ·ln(ax+b)

• Z x²

Xdx= 1 a³

h1

2(X) 2b(X) +b²ln(X)i mitX =ax+b

• Z

sin(ax)dx= cos(ax) a

• Z

cos(ax)dx= +sin(ax) a

• Z

sin²(ax)dx= x 2

1

4asin(2ax)

• Z

cos²(ax)dx= x 2 + 1

4asin(2ax)

• Z

sin³(ax)dx= cos³(ax) 3a

cos(ax) a

• Z

cos³(ax)dx= sin³(ax)

3a +sin(ax) a

• Z

cos⁴(ax)dx= 3

8x+sin(2ax)

4a +sin(4ax) 32a

• Z

sin(ax) cos(ax)dx= sin²(ax) 2a

• Z ⇡

0

sin(n·')·cos(p·')d'=

⇢ ⇡/2 n=p 0 n6=p

• Z _⇡

0

cos(n·')·cos(p·')d'=

⇢ ⇡/2 n=p 0 n6=p

• Z ⇡

0

sin(n·')·sin(p·')d'=

⇢ ⇡/2 n=p 0 n6=p

• Glauert-Integral Z ⇡

0

cos(n·'⁰)

cos(') cos('⁰)d'⁰ = ⇡·sin(n·') sin(')

• Z

cos(ax)·cos(bx)dx= sin[(a b)x]

2(a b) +sin[(a+b)x]

2(a+b) 8 |a|6=|b|

1. Aufgabe: Fragenteil (14 Punkte)

1. (a) Erl¨autern Sie stichpunktartig den nat¨urlichen Transitionsvorgang in einer laminaren Grenzschicht hin zu einer vollturbulenten Str¨omung.

(b) Der nat¨urliche Transitionsvorgang soll in einem Windkanalversuch an einer ebenen hydraulisch glatten Platte untersucht werden. Die Str¨omungsgeschwindigkeit betr¨agt 10 m/s, die Luftdichte ist 1.2 kg/m³ und die dynamische Viskosit¨at der Luft ist 1.8 ·10 ⁵P a·s. Berechnen Sie die ungef¨are Position des laminar-turbulenten Umschlags, wenn die Str¨omung entlang der gesamten Plattenl¨ange anliegend ist.

(c) Skizzieren Sie den zu erwartenden Verlauf des Reibungsbeiwertes c_f(ReL) entlang der Platte f¨ur 10²Re_L10⁷.

2. (a) Erl¨autern Sie stichpunktartig den Begri↵des induzierten Widerstandes im Rahmen der Prandtl- schen Traglinientheorie und nennen Sie eine geometrische Maßname zu seiner Reduktion.

(b) Erl¨autern Sie stichpunktartig den Begri↵des Wellenwiderstandes und nennen Sie eine geometri- sche Maßname zu seiner Reduktion.

3. Stellen Sie die Prandtl-Meyer Str¨omung in ihrem gesamten G¨ultigkeitsbereich in der Hodographene- bene mittels einer Epizykloide dar. Achten Sie auf die richtige Bezeichnung der Achsen und markieren Sie explizit in Ihrer Skizze die entsprechenden Grenzwerte f¨ur die Winkel und Machzahlen.

2. Aufgabe: Skelett-Theorie/linearisierte Potentialtheorie (18 Punkte)

Die Skelettlinie des Fl¨ugelprofils eines ¨Uberschallflugzeuges lautet in dimensionslosen Koordinaten:

Z^(s)=C·X(X 1)² mit X= x

l , Z^(s) = z^(s) l Darin ist l die Sehnenl¨ange und 0< C 61 der W¨olbungsparameter.

1. Bestimmen Sie die relative Profilw¨olbungf, die relative W¨olbungsr¨ucklageX_f sowie die X-Position des Wendepunktes X_w und zeichnen Sie anschließend die Skelettlinie des Profils Z^(s) in den Koordinaten (X, Z).

2. Unter Anwendung der Skelett-Theorie f¨ur eine inkompressible Anstr¨omung mit dem Anstellwinkel↵:

(a) Bestimmen Sie alle Fourier-Koeffizienten A0 bis AN des Birnbaum-Ackermannschen Reihenan- satzes f¨ur die Zirkulationsverteilung (') auf der Sehne des gegebenen ProfilsZ^(s).

(b) Die allgemeinen Formeln f¨ur den Auftriebsbeiwertc_lund den Momentenbeiwert um die Profilnase cm_LE im Rahmen der Skeletttheorie seien gegeben:

c_l = 2⇡(A₀+ ^A₂¹) und c_mLE = ^⇡₂(A₀+A₁ ^A₂²).

Zeigen Sie, dass der Neutralpunkt im Rahmen der Skelett-Theorie bei X_N,1 = ¹₄ liegt und be- stimmen Sie anschließend den Nullmomentenbeiwert c_m0,1 des gegebenen Profils.

3. Nun wird das selbe Profil im ¨Uberschall mit der Anstr¨ommachzahlM a₁=p

2 und dem Anstellwinkel

↵ unter Anwendung der linearisierten Potentialtheorie untersucht.

(a) Berechnen Sie den zugeh¨origen Auftriebsbeiwertc_l2 und und den Momentenbeiwert um die Pro- filnasec_mLE,2 beiM a₁=p

2.

(b) Bestimmen Sie die Lage des Neutralpunktes XN,2 und anschließend den Nullmomentenbeiwert c_m0,2 des gegebenen Profils bei M a₁=p

2.

(c) Aus flugdynamischen Stabilit¨atsgr¨unden befindet sich der Schwerpunkt vor dem Neutralpunkt.

Die relative Schwerpunktlage des untersuchten Flugzeugs zum Neutralpunkt im Unter- und ¨Uber- schall wird durch das Kraftsto↵umpumpen konstant gehalten.

Diskutieren Sie kurz, wie sich das Trimm-Moment im ¨Uberschall im Vergleich zum Unterschall ver¨andern soll, um weiterhin einen stabilen Horizontalflug zu gew¨ahrleisten.

Gegeben: Anstellwinkel ↵, Sehnenl¨ange l, W¨olbungsparameterC.

Hinweise:

w_a(') = w

V₁ =A₀+ XN n=1

A_n·cos(n')

w

V₁ =↵ dZ dX c_p|M a₁>1.2=± 2 _i

pM a²₁ 1

3. Aufgabe: Transschall und numerische Verfahren (18 Punkte)

Das Bu↵et-Ph¨anomen, d.h., die Interaktion zwischen dem Verdichtungsstoß und der stoßinduzierten Abl¨o- sung der Grenzschicht, soll an einem transsonischen DRA2303 Profil bei einem Anstellwinkel von 3.5 und einer Reynoldszahl Re_c = 2.7·10⁶ numerisch untersucht werden.

1. Leiten Sie die Gleichung f¨ur den kritischen Druckbeiwert als Funktion der Machzahl M₁ her. Zeigen Sie anschließend graphisch, wie die kritische Machzahl bestimmt wird.

2. Skizzieren Sie das bei Bu↵et zu erwartende Str¨omungsfeld qualitativ und kennzeichnen Sie die relevan- ten Str¨omungsgebiete. Zeichnen Sie ebenfalls qualitativ den zugeh¨origen Druckbeiwertverlauf cp(X).

Kennzeichnen Sie deutlich im c_p-Diagramm den kritischen Druckbeiwert.

3. Zeichnen Sie ein Netz f¨ur die numerische Untersuchung des unter 2) angegebenen Str¨omungsfeldes.

4. Zur numerischen Simulation stehen Ihnen ein Panel-Verfahren und ein Großstruktursimulationsver- fahren (Large-Eddy Simulation (LES) Verfahren) zur Verf¨ugung. Geben Sie an, welche Verfahren sich f¨ur die Untersuchung eignen und welche nicht. Begr¨unden Sie ihre Antwort.

5. Bestimmen Sie numerisch den Reibungsbeiwert cf im Punkt A auf der Oberfl¨ache mittels einseitiger Di↵erenzen. Ber¨ucksichtigen Sie bei der Taylor-Reihe h¨ochstents die Terme zweiter Ordnung.

Abb. 3.1 zeigt einen Ausschnitt des Gitters mit gestreckten Zellen.

1. Aufgabe: Numerik (17 Punkte)

Das Bu↵etingverhalten eines transonischen DRA2303 Profils bei einem Anstellwinkel von 3.5 und einer Reynoldszahl Rec= 2700000 soll numerisch untersucht werden.

1. Skizzieren Sie das beim Bu↵eting zu erwartende Str¨omungsfeld qualitativ und kennzeichnen Sie die relevanten Str¨omungsgebiete. Zeichnen Sie ebenfalls qualitativ den Druckbeiwertverlauf auf der Ober- und Unterseite des Profils.

2. Geben Sie ein geeignetes Netz f¨ur die numerische Untersuchung des Str¨omungsfeldes bei dem Bu↵eting auftritt an. Geben Sie die Randbedingungen f¨ur den Eintritt, den Austritt und die Wand an.

3. Zur numerischen Simulation stehen Ihnen, die L¨osung der linearisierten Potentialtheorie, die RANS- Gleichungen und das LES-Verfahren zur Verf¨ugung. Geben Sie an, welche Verfahren sich f¨ur die Un- tersuchung eignen und welche nicht. Begr¨unden Sie ihre Antwort.

Aus Stabilit¨atsgr¨unden soll die Machzahl in der numerischen Simulation m¨oglichst klein gew¨ahlt werden.

4. Leiten Sie die Gleichung f¨ur den kritischen Druckbeiwert als Funktion der Machzahl her. Zeigen Sie graphisch, wie Sie die kleinste Machzahl berechnen w¨urden, bei der Bu↵eting aufreten kann. Die Machzahl auf dem Fl¨ugel kann dabei mittels der Prandl-Glauert Regel angen¨ahert werden.

Abb. 1 zeigt einen Ausschnitt des Gitters mit gestreckten Zellen.

A

x y

(i 1, j) (i, j) (i+ 1, j)

(i 1, j+ 1) (i, j+ 1) (i+ 1, j+ 1) (i 1, j+ 2) (i, j+ 2) (i+ 1, j+ 2)

y1 y2

Abbildung 1.1:

5. Bestimmen Sie numerisch den Reibungsbeiwert im Punkt A auf der Oberfl¨ache mittels einseitiger Di↵erenzen. Die Ableitungen sollen dabei zweiter Ordnung genau sein.

Gegeben: cp,incomp., Re,↵= 3.5 , u₁,⌘,⇢₁ Hinweise:

• ^T_T⁰ = 1 + ₂¹M²

• ^p_p⁰ = ^T_T^{0 1}

3 Abbildung 3.1:

Gegeben: M₁, c_p,incomp., u₁,⌘,⇢₁ Hinweise:

• ^T_T⁰ = 1 + ₂¹M²

• ^p_p⁰ = ^T_T^{0 1}

1. Aufgabe: (L ¨ OSUNG) Fragenteil (14 Punkte)

1. (a) Transitionsvorgang in einer Grenzschicht: In einer anfangs laminaren Str¨omung existiert abh¨an- gig von ¨außeren Bedingungen (z.B. Turbulenzgrad in der Anstr¨omung) ein breites Spektrum an instation¨aren St¨orungen inv_i undp. Ein schmales Frequenzband, in welchem die relevanten Wel- lenzahlen und Wellenl¨angen u. a. von der Verdr¨angungsdicke und der Reynoldszahl abh¨angen, f¨uhrt zu einer Anfachung der zwei-dimensionalen Instabilit¨at der Str¨omung, den sog. Tollmien- Schlichting Wellen. Stromab davon werden sich sog. ⇤-Strukturen bzw. deren Untergattungen beobachtet, die im weiteren Verlauf auseinanderbrechen und Strukturen wie Haarnadelwirbel auftreten. Es bilden sich darauf turbulente Flecken, die weiter stromab eine voll ausgebildete tur- bulente Str¨omung ergeben. Der Umschlag ist bei beiner Reynoldszahl bezogen auf die Laufl¨ange von Re_x = 3·10⁵ 5·10⁵ zu erwarten. Der genaue Wert h¨angt maßgeblich von den initialen St¨orungen in der Grenzschicht ab.

(b) Aus der Annahme f¨ur die kritische Reynolds-Zahl f¨ur eine ebene hydraulisch glatte Platte (Re_L,krit =

%U L_krit

µ ⇡5·10⁵) ergibt sich

L_krit⇡= Re_L,kritµ

%U = 5·10⁵·1.8·10 ⁵P a s

1.2kg/m³10m/s = 0,75m= 75cm (c) Der zu erwartende Verlauf des Reibungsbeiwertes entlang der Platte cf(ReL):

~5∙10⁵ Re_L

c_f

2. (a) Induzierter Widerstand: Bei einem Fl¨ugel endlicher Spannweite ist die Druckverteilung auf der Ober- und Unterseite, d.h. die Auftriebsverteilung, entlang der Spannweite nicht konstant. Hinter dem Fl¨ugel bildet sich eine Wirbelfl¨ache aus. Diese Wirbelfl¨ache induziert am Fl¨ugel eine nach unten gerichtete Geschwindigkeit, die zur Reduktion des geometrischen Anstellwinkels um den in- duzierten Anstellwinkel f¨uhrt. Die resultierende Luftkraft wird um den induzierten Anstellwinkel geneigt und erh¨alt eine horizontale Komponente, die entgegen der Flugrichtung zeigt, also eine Widerstandskraft .

(b) Wellenwiderstand: Der Wellenwiderstand entsteht in einer supersonischen Str¨omung aufgrund von Kompressions- und Expansionswellen, die sich nur stromab ausbreiten und in Summe eine finite Kraft auf eine beliebig gekr¨ummte Oberfl¨ache in Str¨omungsrichtung ergeben.

(c) Reibungsfreie Str¨omung: kein Reibungs- und kein Formwiderstand (keine Abl¨osung m¨oglich).

Bei einem schwach angestellten Fl¨ugel mit d¨unnem Profil existiert in einer reibungsfreien Str¨o- mung bei M a_1,1 = 0.2 somit nur der induzierte Widerstand, der sich z.B. durch Erh¨ohung der Streckung verringern l¨asst.

Bei M a₁,2 = 3 ist der induzierte Widerstand dagegen nicht vorhanden, da der Fl¨ugelnachlauf keine Stromaufwirkung auf den Fl¨ugel aufgrund der supersonischer Str¨omung besitzt. Die Wider- standskraft ist alleine durch den Wellenwiderstand gegeben, der sich z.B. durch Pfeilung verrin- gern l¨asst.

1 1 1

1

1 1

1 1 1 1

1

2

3

4

5 6

7

8 9

10

3. Prandtl-Meyer Epizykloide in der Hodographenebene:

Aus: A.H. Shapiro, The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow, Vol. 1&2

1

1

1 1

11

12

13

14

2. Aufgabe: Skelett-Theorie (18 Punkte) (L¨ osung)

1.

Z^(s)=C·X(X 1)² =C·(X³ 2X²+X) dZ^(s)

dX =C·(3X² 4X+ 1) dZ^(s)

dX = 0 ) X_1,2 ={1 3,1} Z^(s)(X= 1

3) = 4

27C , Z^(s)(X= 0) = 0 , Z^(s)(X = 1) = 0 )X_f = 1

3 , f = 4 27C Wendepunkt:

d²Z^(s)

dX² = 6X 4 = 0 )X_w = 2 3 Zeichnung der Skelett-Linie

0

Skelett−Linie

X=x/l

Z=x/l

X = 1/3_f 1 Z = 4/27 C_f

2. (a) Aus der Beziehung f¨ur die vertikale St¨orgeschwindigkeit w_a= w

V₁ =↵ dZ

dX =↵ C·(3X² 4X+ 1) =A₀+ XN n=1

A_n·cos(n')

folgt mit der Substitution X= ¹₂(1 +cos')

↵ C·(3

4cos²' 1

2cos' 1

4) =A₀+ XN n=1

A_n·cos(n')

Mit cos²'= ¹₂(cos2'+ 1) folgt

↵ C·(3

8(cos2'+ 1) 1

2cos' 1

4) =A₀+ XN n=1

A_n·cos(n')

Der Koeffizientenvergleich liefert A₀ =↵ C·(3

8 1

4) =↵ 1

8C , A₁ = 1

2C , A₂= 3

8C , A_n= 0 f¨ur 8n>3 (b) Aus der ¨Aquivalenz des Momentenhaushalts folgt

c_m0=c_mLE+X_N ·c_l Abgeleitet nach c_l mit ^@c_@c^m0

l = 0 (nach der Definition des Neutralpunktes) ergibt sich:

1 1

1 1

1

1

1 1 1

1

1

2 3

4

5

6

7 8 9

10

X_N = @cm_LE

@c_l = @cm_LE

@↵ · @↵

@c_l

Aus den Hinweisen c_l = 2⇡(A₀+ ^A₂¹) und c_mLE = ^⇡₂(A₀+A₁ ^A₂²) mit A₀ = ↵ 1/8C und A₁6=f(↵), A₂ 6=f(↵) folgt

X_N = ⇡ 2 · 1

2⇡ = 1 4

Damit ergibt sich f¨ur den Nullmomentenbeiwert

c_m0,1 =c_mLE+ 1

4c_l= ⇡

2(A₀+A₁ A₂ 2 ) +⇡

2(A₀+A₁ 2 ) ) c_m0,1 = ⇡

4(A₂ A₁) = ⇡

4(A₂ A₁) = 7 32⇡C

3. (a) Im Rahmen der linearisierten Potentialtheorie ist f¨ur den Auftriebsbeiwert im ¨Uberschall nur der Anstellwinkel der Profilsehne ↵₀ relevant. Mit ↵₀ =↵ ergibt sich

c_l,2= 4↵₀

pM a²₁ 1 = 4↵

p2 1 = 4↵

Mit dem Hinweis c_p|M a₁>1.2 = ±p ^{2 i}

M a²₁ 1 und _i = ↵+ ^dZ_dX^(s) als dem absoluten lokalen Str¨o- mungs¨anderungswinkel ergibt sich f¨ur den Momentenbeiwert um die Profilnase

cmLE,2= Z 1

0

cpXdX = 4 pM a²₁ 1

Z 1

0

(↵+C·(3X² 4X+ 1))·XdX=

= 4

Z 1

0

(↵X+C·(3X³ 4X²+X)dX = 4(↵

2 +C(3 4

4 3 +1

2)) = (2↵ 1 3C) (b) Die Position des Neutralpunktes ergibt sich somit zu

X_N = @c_mLE

@c_l = @c_mLE

@↵ ·@↵

@c_l = 2 4 = 1

2

Damit ergibt sich f¨ur den Nullmomentenbeiwert

cm0,2 =cm_LE,2 +1

2c_l,2 = (2↵ 1

3C) + 2↵= 1 3C

(c) Der Vorzeichenwechsel des Nullmomentenbeiwerts im ¨Uberschall bedeutet, dass der Fl¨ugel nun ein schwanzlastiges Moment erh¨alt, was die nat¨urliche Stabilit¨at beg¨unstigt und das ben¨otigte Trimmmoment geringer macht.

1

1

1

1

1 1

1

1

11

12

13

14

15

16

17

3. Aufgabe: Transschall und numerische Verfahren (18 Punkte)

1.

c_p = 2.0p p₁

⇢₁u²₁

)c_p = 2.0p₁

⇣ p p₁ 1⌘

⇢₁u²₁

)c_p = 2.0RT₁

⇣ p p₁ 1⌘

u²₁ , mit p₁

⇢₁ =RT₁ )c_p = 2.0

⇣ p p₁ 1⌘

u²₁ RT₁

)c_p = 2.0 M a²₁

✓ p p₁ 1

◆

p p₁ =

p p0

p₁ p0

) p

p₁ = 1 + ₂¹M a²₁ 1 + ₂¹M a²

! ₁

)c_p = 2.0 M a²₁

0

@ 1 + ₂¹M a²₁ 1 + ₂¹M a²

! ₁ 1

1 A

)c_p,crit=c_p(M a= 1) = 2.0 M a²₁

0

@ 1 + ₂¹M a²₁ 1 + ₂¹

! ₁ 1

1 A

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cp

M a₁

cp,crit(M a₁) cp(M a₁)

M a₁,crit

1

1

1 1

1

1 1

1

3

2

4

5

6 7

2. Str¨omungsfeld:

Transition

Shock

Separation

Wake

Druckbeiwert-Verlauf:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

x/c [−]

cp

cp,crit

3. Gitter:

1 1

1

1

1

1

8 9

10

11

12

13

4. • Panel-Verfahren: Das Panel-Verfahren basiert auf der linearisierten Potentialtheorie. Es kann somit nicht angewendet werden, da weder die Reibungskr¨afte noch die Entropie¨anderungen infolge des Verdichtungsstoßes ber¨ucksichtigt werden.

• LES: Die L¨osung mittels der Grobstruktursimulation (LES) ist geeignet, da sowohl das insta- tion¨are Verhalten der Stoßoszillation als auch die Abl¨osung hinreichend genau aufgel¨ost werden k¨onnen.

5. Der Reibungsbeiwert ist definiert als

c_f = ⌘^@u_@y|w

⇢₁

2 u²₁ (1)

Taylorreihenentwicklung um Punkt (i,j)

u_i,j =u_i,j+1 @u

@y y₁+ 1 2

@²u

@y² y²₁ u_i,j =u_i,j+2 @u

@y y₂+ 1 2

@²u

@y² y²₂

) u_i,j u_i,j+1+^@u_@y y₁ y₁² = 1

2

@²u

@y²

) u_i,j u_i,j+2+^@u_@y y₂ y₂² = 1

2

@²u

@y²

Gleichsetzen und aufl¨osen nach du/dyergibt:

@u

@y = ui,j y₂² y₁² ui,j+1 y₂²+ui,j+2 y²₁ y₂ y₁( y₁ y₂)

Damit ergibt sich der Reibungsbeiwert c_f zu:

c_f = 2⌘^@u_@y

⇢₁u²₁ = 2⌘^ui,j( ^y2² y²₁) ^ui,j+1 y₂²+u_i,j+2 y²₁ y2 y1( y1 y2)

⇢₁u²₁

1 1

1

1

1

14 15

16

17

18