Klausur Aerodynamik I 17. 02. 2015 M U S T E R L

AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westf¨alischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schr¨oder

Klausur Aerodynamik I

17. 02. 2015

M U S T E R L ¨ O S U N G E I N S IC H T N A H M E

Hinweis:

Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben:

Klausur Aerodynamik I

Fragenteil, Biot-Savart, konforme Abbildung

1. Aufgabe: Fragenteil (17 Punkte)

1. Inwiefern findet der dritte Helmholtzsche Wirbelsatz Anwendung, wenn ein Tragfl¨ugel mit endlicher Spannweite aus der Ruhe beschleunigt wird?

2. In welche zwei grunds¨atzlichen Bauarten lassen sich kontinuierliche Windkan¨ale einteilen? Nennen Sie jeweils einen Vor- und einen Nachteil jeder Bauart.

3. Wenden Sie die Prandtl-Glauert-Ackeret Regel auf den Auftriebsanstieg ^∂c_∂α^a einer ebenen Platte an und stellen Sie diesen Verlauf graphisch dar. Geben Sie die Werte f¨ur ^∂c_∂α^a bei entsprechenden Ver- gleichsmachzahlen an und markieren Sie die G¨ultigkeitsbereiche der Regel.

4. (a) Geben Sie die geometrischen Parameter des Profils NACA-2412 mit expliziter Angabe der Be- deutung der Ziffern an.

(b) Skizzieren Sie f¨ur dieses Profil den zu erwartenden Verlauf des Druckbeiwertesc_p(X) f¨ur α= 0^◦, M a∞= 0.4 undRel= 50000, der sich aus dem unten dargestellten Verlauf des Reibungsbeiwertes c_f ergibt. Nennen Sie explizit die auftretenden Str¨omungsph¨anomene.

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Hinweis:

Falls n¨otig, ¨ubertragen Sie die Skizzen in Ihre L¨osungsbl¨atter und zeichnen Sie die L¨osung dort ein!

2. Aufgabe: Biot-Savart (17 Punkte)

1. Leiten Sie aus dem Biot-Savart’schen Gesetz

d ~Vi =− Γ 4π

~ r×d~s

||~r||³

die Gleichung f¨ur die von einer geraden Wirbellinie induzierte Geschwindigkeit her. Bilden Sie zudem den Grenzwert f¨ur einen halbunendlichen sowie unendlichen Wirbel.

2. Im Folgenden werden zwei koaxiale Ringwirbel in der yz-Ebene mit entgegengesetzten Zirkulationsrichtungen Γ1 und Γ2 betrachtet (siehe Skizze).

x y

z

Γ

Γ

R

R

(a) Bestimmen Sie zu¨achst alle Komponenten der vom ¨außeren Ringwirbel induzierten Geschwindig- keit v~₁(x) entlang der x-Achse.

(b) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der axialen Geschwindigkeitskomponente u₁(x) entlang der x-Achse mit Angabe der Grenzwerte, die vom ¨außeren Rignwirbel induziert werden.

(c) Bestimmen nun alle Komponenten der von beiden Ringwirbeln induzierten Geschwindigkeit V~ als Funktion von Γ₁, Γ₂,R₁,R₂.

(d) Bestimmen Sie das Verh¨altnis Γ1/Γ2 als Funktion vonR1/R2, so dass die Geschwindigkeitux an den Stellen x=R2 sowiex=−R₂ zu Null wird.

Gegeben: R1,R2, Γ1, Γ2

3. Aufgabe: Konforme Abbildung (16 Punkte)

Gegeben sei die Zhukhovski Abbildungsfunktion:

ζ =z+ a²

z (1)

1. Was sind die Voraussetzungen der Methode der konformen Abbildung? Nennen Sie ferner einen Vor- sowie einen Nachteil der Methode.

2. Stellen Sie eine komplexe Potentialfunktion F(z) auf, die die Umstr¨omung eines vom Ursprung des Koordinatensystems um y =y0 vertikal verschobenen Zylinders mit dem Radius R unter dem Win- kel α beschreibt (siehe Skizze).

x

R

y₀ U∞

α

β

α

x

y x

y

φ φ

Γ

3. Welche Str¨omung ergibt sich in der ζ-Ebene bei der Anwendung der Zhukhovski Abbildungsfunktion auf die in Aufgabenteil 2 hergeleitete komplexe PotentialfuktionF(z) und was bewirkt die Verschiebung des Kreises um y=y₀?

4. Wie lautet die Kutta’sche Abflussbedingung in der ζ-Ebene und wie lautet diese in der z-Ebene?

Geben Sie explizit die Position der Hinterkante in der z-Ebene an.

5. Bestimmen Sie die Zirkulation Γ als Funktion der gegebenen Gr¨oßen, so dass die Kuttasche Bedingung erf¨ullt wird.

Gegeben: U∞,α,β,R

Parallelstr¨omung: F₁(z⁰) =U∞z⁰; Dipol: F2(z⁰) = _2πz^M0 mitM = 2πU∞R²;

1. Aufgabe: (L ¨ OSUNG) Fragenteil (17 Punkte)

1. Der 3. Helmholtzsche Wirbelsatz besagt, dass die Zirkulation bzw. Wirbelfluss einer Wirbelr¨ohre kon- stant ist. Daraus folgt, dass die Wirbelr¨ohre auf einem festen Rand bzw. im Unendlichen endet oder in sich geschlossen ist.

Der gebundene Wirbel entlang der Tragfl¨ache endlicher Spannweite kann an deren Enden nicht aufh¨o- ren, sondern geht in zwei freie Wirbel ¨uber, welche sich parallel zur Anstr¨omung vom Profil entfernen.

Wird ein zuerst ruhendes Profil bewegt, so bildet sich ein sog. Anfahrwirbel aus. Der III. Helmholtz’sche Wirbelsatz bedingt, dass sich die freien Wirbel mit dem Anfahrwirbel verbinden und somit mit dem gebundenen Wirbel eine geschlossene Wirbellinie bilden.

2. Eiffel-Windkanal (offen):

Vorteile: geringe Baukosten, große Abmessungen f¨ur Modelle m¨oglich.

Nachteile: hoher Energiebedarf, Abh¨angigkeit von Umgebungsbedingungen.

G¨ottinger-Windkanal (geschlossen):

Vorteile: unabh¨angig von Ansaugbedingungen, geringer Energiebedarf.

Nachteile: gr¨oßerer Platzbedarf, Selbstverschmutzung, Aufheizung etc.

3. Nach der Prandtl-Glauert-Ackeret Regel wird der Auftriebsanstieg f¨ur eine kompressible Str¨omung aus der Skalierung der Steigung des Auftriebsbeiwertes bei Vergleichsmachzahlen bestimmt.

Vergleichsmachzahlen:

M av = 0 f¨ur M a∞.0.8 mit ^∂c_∂α^a|_{M av=0} = 2π M av =√

2 f¨ur 1.2.M a∞.5 mt ^∂c_∂α^a|_{M a}

v=√ 2 = 4.

Der Skalierungsfaktor ist √ ¹

|1−M a²_∞|.

1 √2 Ma_∞

clα

0

Transschall Hyperschall

2π 4

2π 2π

√(1-Ma )²_∞

4

√ Ma -1)( ²_∞

1 1

1 2

1

3

1 4

1

5

1

6

1 7

1

8

1

9

1

10

1 11

4. (a) NACA-2412 ist ein Profil der NACA 4er Reihe mit den folgenden Parametern, wobei die Prozen- tangaben auf die Sehnenl¨ange bezogen werden:

1. Die relative Profildicke betr¨agt 12 Prozent (3. und 4. Ziffern).

2. Die relative Profilw¨olbung betr¨agt 2 Prozent (1. Ziffer).

3. Die W¨olbungsr¨ucklage ist bei 40 Prozent (2. Ziffer multipliziert mit 10).

(b) (i) eingeschlossene Fl¨ache etwas gr¨oßer 0 (schwach gew¨olbtes Profil bei α= 0 erzeugt Auftrieb) (ii) Maximum im Verlauf von cp auf der Druckseite (Beschleunigung/Verz¨ogerung)

(iii) Hinterkantenabl¨osung (negativer Verlauf vonc_f und n¨aherungsweise konstanter cp)

(iv) Beschleunigung der Grenzschicht an der Druckseite in der N¨ahe der Hinterkante - Abfall inc_p

(I) (II)

(III)

(IV)

1 12

1

13

1 14

1

15 1

16

1 17

2. Aufgabe: Biot-Savart (17 Punkte) (L ¨ OSUNG)

1. Herleitung der Wirbellinie:

Kreuzprodukt und Geometrie:

|~r×d~s|=a·ds(Fl¨ache des Parallelogramms) sin(ϕ) = a

r = rdϕ ds

→ ds r² = dϕ

a und a=rsin(ϕ)

Der Absolutbetrag der induzierten Geschwindigkeit ergibt sich somit zu:

wi=| I

−d~Vi|= Γ 4π

I |~r×d~s|

|~r|³ = Γ 4π

Z

S

a·ds r³ = Γ

4π Z

S

rsinϕds r³ Γ

4π Z

S

sinϕds r² = Γ

4π Z ϕ2

ϕ1

sinϕdϕ

a = Γ

4πa Z ϕ2

ϕ1

sinϕdϕ

w_i = Γ

4πa(cosϕ₁−cosϕ₂) Halbunendlicher Wirbel:

ϕ₁=π/2 und ϕ₂ =π wi= Γ

4πa Unendlicher Wirbel:

ϕ1= 0 und ϕ2=π w_i= Γ

2πa

1 1

1 2

1

3

1 4

1

5

1

6

1 7

2. Berechnung der Geschwindigkeitskomponenten: Herleitung Ringwirbel

Γ

r ds φ

x y

z R1

~ r =



 x

−R₁cos(ϕ)

−R₁sin(ϕ)



 d~s=



 0

−R₁sin(ϕ) R1cos(ϕ)



dϕ ~r×d~s=





−R²₁

−xR₁cos(ϕ)

−xR₁sin(ϕ)



dϕ

u_x= Γ₁ 4πp

(x²+R²₁)³ Z 2π

0

R²₁dϕ= Γ₁R²₁ 2p

(x²+R²₁)³ u_y = Γ₁

4πp

(x²+R²₁)³ Z 2π

0

xR₁cos(ϕ)dϕ= 0

u_z = Γ1

4πp

(x²+R²₁)³ Z _2π

0

xR₁sin(ϕ)dϕ= 0 3. Geschwindigkeitsverlauf:

u_x

x

u_x(x→ ∞)→0 und u_x(x→ −∞)→0 4. Induzierte Geschwindigkeit bei ¨Uberlagerung:

ux = Γ1R₁² 2p

(x²+R²₁)³

− Γ2R₂² 2p

(x²+R²₂)³ uy = 0

1

8 1

9 1

10

1 11

1 12

1

13

1 14

1

15

1

16

3. Aufgabe: Konforme Abbildung (16 Punkte) (L ¨ OSUNG)

1. Voraussetzungen: inkompressibel, reibungsfrei, zweidimensional.

Vorteil: exaktes Verfahren.

Nachteile: die Abbildungsfunktion ist f¨ur eine allgemeinere Geometrie schwierig zu bestimmen.

2. Potenzialfunktion in der z⁰-Ebene:

F(z⁰) =U∞z⁰+U∞R² z⁰ + iΓ

2πln(z⁰) Transformation:

z=Re^iϕ+iy₀ =Re^i(ϕ0+α)+iy₀ =Re^iϕ0e^iα+iy₀ =z⁰e^iα+iy₀

z⁰ = (z−iy₀)e^−iα Potenzialfunktion in der z-Ebene:

F(z) =U∞e^−iα(z−iy₀) +U∞e^iαR² z−iy0

+ iΓ

2πln(z−iy₀) +Γα 2π

3. In der ζ-Ebene wird eine gekr¨ummte Platte umstr¨omt, wobei eine Verschiebung der Kreises in y- Richtung die Kr¨ummung der Platte erh¨oht.

4. Die Kutta’sche Bedingung besagt, dass es an einer unendlich d¨unnen Hinterkante nicht zur Umstr¨om- mung kommt und das Fluid glatt abfließt.

In der ζ-Ebene bedeutet dies, dass an der Hinterkante die Str¨omung glatt mit einer endlichen Ge- schwindigkeit abfließt. In der z-Ebene entspricht dies einem Staupunkt an der Position z=a.

5. Komplex konjugierte Geschwindigkeit:

w_ζ = dF dζ = dF

dz dz dζ

mit dz

dζ = 1 1−^a_z²₂ flogt:

w_ζ= 1 (1−^a_z²₂)

U∞e^−iα− U∞e^iαR² (z−iy₀)² + iΓ

2π 1 (z−iy₀)

An der Hinterkante gilt: z=a, womit ¹

1−^a2

z2

zu Null wird.

Damit die Geschwindigkeit endlich bleibt, muss

1 1

1 2

1

3

1 4

1

5

1

6

1 7

1

8

1 1 9

10

1 11

1 12

1

13

iΓ =−2πRU_∞e^−iαe^−iβ+ 2πRU∞e^iαe^iβ

iΓ = 2πRU∞(−e^−i(α+β)+e^i(α+β))

Γ = 4πRU∞sin(α+β)

1

16