Klausur Aerodynamik I 23. 02. 2016 M U S T E R L

AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westf¨alischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schr¨oder

Klausur Aerodynamik I

23. 02. 2016

M U S T E R L ¨ O S U N G E I N S IC H T N A H M E

Hinweis:

Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben:

Klausur Aerodynamik I

Fragenteil, Biot-Savart, Tropfentheorie

Integrale und Additionstheoreme

Additionstheoreme

• sin(x±y) = sin(x)·cos(y)±sin(y)·cos(x)

• cos(x±y) = cos(x)·cos(y)∓sin(x)·sin(y)

• sin²(x) + cos²(x) = 1

• sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)

• sin(x) = 2·sin(x/2)·cos(x/2)

• sin²(x) = 1

2(1−cos(2x))

• cos²(x) = 1

2(1 + cos(2x))

• cos(2x) = cos²(x)−sin²(x)

• tan(x 2) =

r1−cosx 1 + cosx

• tan(x

2)·sin(x) = 1−cos(x)

• sin(x)·sin(nx) =−1

2(cos[(n+1)x]−cos[(n−1)x])

• sin[(n+ 1)x]−sin[(n−1)x] = 2·cos(nx)·sin(x)

•

∞

X

n=1

1

nsin(nϕp)·sin(nϕ) = 1 4ln

1−cos(ϕ_p+ϕ) 1−cos(ϕp−ϕ)

Integrale

•

Z 1

ax+bdx= 1

a·ln(ax+b)

•

Z x

ax+bdx= x a− b

a² ·ln(ax+b)

• Z x²

Xdx= 1 a³

h1

2(X)−2b(X) +b²ln(X)i mitX =ax+b

• Z

sin(ax)dx=−cos(ax) a

• Z

cos(ax)dx= +sin(ax) a

• Z

sin²(ax)dx= x 2 − 1

4asin(2ax)

• Z

cos²(ax)dx= x 2 + 1

4asin(2ax)

• Z

sin³(ax)dx= cos³(ax)

3a −cos(ax) a

• Z

cos³(ax)dx=−sin³(ax)

3a +sin(ax) a

• Z

cos⁴(ax)dx= 3

8x+sin(2ax)

4a +sin(4ax) 32a

• Z

sin(ax) cos(ax)dx= sin²(ax) 2a

• Z π

0

sin(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Z _π

0

cos(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Z π

0

sin(n·ϕ)·sin(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Glauert-Integral Z π

0

cos(n·ϕ⁰)

cos(ϕ)−cos(ϕ⁰)dϕ⁰ =−π·sin(n·ϕ) sin(ϕ)

• Z

cos(ax)·cos(bx)dx= sin[(a−b)x]

2(a−b) +sin[(a+b)x]

2(a+b) ∀ |a| 6=|b|

1. Aufgabe: Fragenteil (16 Punkte)

1. Nennen Sie drei Methoden zur Druckmessung und geben Sie jeweils einen Vor- und Nachteil an.

2. Benennen Sie die Komponenten des abgebildeten ¨Uberschall-Windkanals. Erl¨autern Sie den wesentli- chen Unterschied zwischen einem Windkanal G¨ottinger Bauart und einem Eiffel-Kanal.

3. Gegeben sind die zwei NACA-Profile NACA-0012 und NACA-65-218. Geben Sie die aus der Kurzbe- zeichnung der Profile ableitbaren charakteristichen Gr¨oßen der beiden Profile an.

4. Erl¨autern Sie die Kuttasche Abflussbedingung f¨ur ein Tragfl¨ugelprofil mit scharfer Hinterkante. Welche Relevanz hat diese f¨ur den Auftrieb?

5. Wie lautet die Prandtl-Glauert-Regel? Welche Voraussetzungen m¨ussen f¨ur ihre Anwendbarkeit erf¨ullt sein?

2. Aufgabe: Biot-Savart (16 Punkte)

Gegeben ist ein auftriebserzeugender, symmetrischer V-Fl¨ugel mit der Zirkulation Γ. Dieser soll im statio- n¨aren Horizontalflug mit Hilfe des Biot-Savartschen Gesetzes untersucht werden.

u⁸

α=45^o

X Y Z

2b 2b

b _{2b b}

2b

α=45^o Z

X Y

1. Zeichnen Sie das resultierende Wirbelsystem mit einer Zirkulation Γ und geben Sie die Drehrichtungen an.

2. Leiten Sie aus der allgemeinen Form des Biot-Savartschen Gesetzes d ~u_i =− Γ

4π ·~r×d~s

||~r||³ die Gleichung f¨ur die gerade endliche Wirbellinie her:

|~u_i|= Γ

4πa(cosϕ₁−cosϕ₂)

3. Bestimmen Sie die induzierte Geschwindigkeit entlang der x-Achse (ux, uy, uz) in Abh¨angigkeit der gegebenen Gr¨oßen.

Gegeben: Γ, b, α= 45^o

3. Aufgabe: Tropfentheorie (18 Punkte)

Die Oberseite des Profiltropfens, f¨ur den die Druckverteilung gesucht wird, ist durch die Gleichung Z^(t)(X) = 32p

X−X²(1−X+X²)

beschrieben (X = ^x_l, Z^(t)= ^z(t)_l ). Der Fouriersche Reihenansatz nach Riegels lautet:

Z^(t)(ϕ) = 1 2

N

X

n=1

b_nsin(nϕ).

Der Profiltropfen wird ohne Anstellung mit u∞ angestr¨omt.

1. Ermitteln Sie die Gleichung des Profils in Abh¨angigkeit von ϕ.

2. Bestimmen Sie die Konstanten bi der Fourier-Reihe f¨ur den obigen Profiltropfen.

3. Bestimmen Sie die dimensionslose induzierte Vertikalst¨orgeschwindigkeit w in Abh¨angigkeit von X und von ϕ.

4. Bestimmen Sie die dimensionslose induzierte Axialst¨orgeschwindigkeit u in Abh¨angigkeit von X und von ϕ.

5. Bestimmen Sie den Druckbeiwert cp(ϕ, k(ϕ)) auf der Oberfl¨ache des gegebenen Profils. Dabei ist die Gesamtgeschwindigkeit auf dem Profil gegeben:

V_k= u∞

k(ϕ)(1 +

N

X

n=1

b_nnsin(nϕ) sin(ϕ) ).

Gegeben: u∞,Z^(t)(X) St¨orgeschwindigkeiten:

u(X) = 1 2π

Z 1 0

q(X⁰) dX⁰ X−X⁰ w(X) =±1

2q(X) Riegelsfaktor:

k(X) = r

1 +dZ^(t) dX Winkelbeziehungen:

sin(3ϕ) = 3sin(ϕ)−4sin³(ϕ) cos(3ϕ) = 4cos³(ϕ)−3cos(ϕ)

1. Aufgabe: Fragenteil (16 Punkte) (L ¨ OSUNG)

1. 3 Punkte:

Manometer:

Vorteil: Einfaches mechanisches Instrument

Nachteil: Druckbohrungen ben¨otigt, Niedrige zeitliche Aufl¨osung, Invasive Messung Piezo-Element:

Vorteil: Hohe zeitliche Aufl¨osung

Nachteil: Druckbohrungen ben¨otigt,Temperaturabh¨angig, Invasive Messung Pressure-Sensitive Paint:

Vorteil: Hohe r¨aumliche Aufl¨osung, nicht invasive Messung Nachteil: Handhabung der Farbe kompliziert

2. 4 Punkte:

1: Trockenfilter 2: Lavald¨use 3:Messstrecke 4:Diffusor

5.Schnellschlussschieber 6.Vakuumkessel

Ein Eiffel-Kanal besitzt im Gegensatz zu einem Kanal G¨ottinger Bauart keine R¨uckf¨uhrung des Str¨o- mungsmediums.

3. 4 Punkte:

NACA 0012:

- 1. Ziffer: W¨olbung in Prozenten der Profiltiefe. Hier: 0.

- 2. Ziffer: W¨olbungsr¨ucklage in Zehnteln der Profiltiefe. Hier: 0.

- 3. und 4. Ziffer: Dicke in Prozenten der Profiltiefe (die Dickenr¨ucklage betr¨agt f¨ur alle Profile dieser Reihe x_d/l= 0.30). Hier:d/l= 12%

NACA 65-218:

- 1. Ziffer: Zugeh¨origkeit zur Serie. Hier: 6.

- 2. Ziffer: Lage des Geschwindigkeitsmaximums in Zehnteln der Profiltiefe. Hier: vmax bei 0.5l - 3. Ziffer: Zehnfacher Betrag des Auftriebsbeiwertes des stoßfreien Eintritts (d.h. des Auslegungsauf- triebskoeffizienten). Hier:c_l = 0.2.

- 4. und 5. Ziffer: Dicke in Prozenten des Profiltiefe (die Dickenr¨ucklage liegt f¨ur die Profile dieser Reihe zwischen x_d/l= 0.35 und x_d/l= 0.45). Hier: d/l= 18%

4. 2 Punkte:

-Die Zirkulation um ein Tragfl¨ugelprofil stellt sich derart ein, dass keine Umstr¨omung der Hinter- kante eintritt. Das Fluid str¨omt an der Hinterkante glatt ab.

-Wird ein angestellter Tragfl¨ugel ohne Zirkulation umstr¨omt, so liegt der hintere Staupunkt auf der Oberseite des Profils. Die Kuttasche Abflussbedingung wird nicht erf¨ullt. Die Zirkulation verschiebt den Staupunkt. Theoretisch kann sich eine beliebige Zirkulation einstellen. Praktisch stellt sich die

Zirkulation so ein, dass der Staupunkt genau auf der Hinterkante liegt. Nach dem Satz von Kutta- Zhukhovski ist der Auftrieb proportional zur Zirkulation.

5. 3 Punkte:

Die Prandtl-Glauert-Regel wird f¨ur die Transformation der Druckverteilung einer inkompressiblen Str¨omung in die Druckverteilung einer kompressiblen Str¨omung benutzt. Die Geometrie des betrach- teten K¨orpers bleibt dabei bestehen.

c_p = c_p,inkom

p|1−M_∞² | (1) Die Prandtl-Glauert-Regel ist g¨ultig f¨ur:

-Geschwindigkeitsbereich:

⇒ subsonisch (M∞≤0.8): Prandtl-Glauert

⇒ supersonisch (M∞≥1.2): Ackeret -schlanke K¨orper

-geringe Anstellwinkel

-reibungs- und drehungsfreie Str¨omung

2. Aufgabe: Biot-Savart (16 Punkte) (L ¨ OSUNG)

X Y Z

1 2

3 4

freie Wirbel gebundener Wirbel

1.

2. Herleitung der Wirbellinie:

Kreuzprodukt und Geometrie:

|~r×d~s|=a·ds (Fl¨ache Parallelogramm) sin(ϕ) = a

r = rdϕ ds

→ ds r² = dϕ

a und a=rsin(ϕ)

|~u_i|= Γ 4π

I |~r×d~s|

|~r|³ = Γ 4π

Z

S

a·ds r³ = Γ

4π Z

S

rsinϕds r³ Γ

4π Z

S

sinϕds r² = Γ

4π Z ϕ2

ϕ1

sinϕdϕ

a = Γ

4πa Z ϕ2

ϕ1

sinϕdϕ

|~u_i|= Γ

4πa(cosϕ₁−cosϕ₂)

X Y Z

1 2

3 4

a

b

2b .

2

β

3. Freier Wirbel 1 :

w1 = Γ

4πa₁(cosϕ1−cosϕ2) a1 =p

b²+ 4b²

cosϕ1 = x

px²+a²₁, cosϕ2 =−1 (halbunendlicher Wirbel) w₁= Γ

4πa₁( x

px²+a²₁ + 1)

w_x1 = 0, w_y1 =−w₁sinβ₁, w_z1=−w₁cosβ₁

sinβ1= b

a₁, cosβ1= 2b a₁ Freier Wirbel 4 (¨aquivalent zu Wirbel 1) :

w4 = Γ 4πa4

(cosϕ1−cosϕ2)

w₄= Γ

4πa₄( x

px²+a²₄ + 1)

wx4 = 0, wy4 =w1sinβ4, wz4 =−w₁cosβ4

sinβ₄= b a4

, cosβ₄= 2b a4

Gebundener Wirbel 2:

X Y Z

1 2

3 4

a

'

β

b/ 2

w2 = Γ 4πa2

(cosϕ1−cosϕ2)

a2 = s

( b

√

2)²+x² cosϕ₁ =

√

8b²−^√b

2

q (√

8b²−^√b

2)²+a²₂

=

√3b 2

q(^√3b

2)²+a²₂ cosϕ2=cos(π−ϕ⁰₂) =−cosϕ⁰₂

cosϕ⁰₂=

√b 2

q(^√b

2)²+a²₂ w₂ = Γ

4πa₂(cosϕ₁+cosϕ⁰₂) wx2=w2sinβ2, wy2 =wz2 =−√w2

2cosβ2

sinβ₂ = b

√2a₂, cosβ₂= x a₂ Gebundener Wirbel 3 (¨aquivalent zu Wirbel 2):

w3 = Γ

4πa₃(cosϕ1−cosϕ2)

a3 = s

( b

√

2)²+x² cosϕ₁ =

√

8b²−^√b

2

q (

√

8b²−^√b

2)²+a²₃

=

√3b 2

q(^√3b

2)²+a²₃ cosϕ2=cos(π−ϕ⁰₂) =−cosϕ⁰₂

cosϕ⁰₂=

√b 2

q (^√b

2)²+a²₃ w3 = Γ

4πa3

(cosϕ1+cosϕ⁰₂)

wx3=w3sinβ3, wy3 =−w_z3 = √w3

2cosβ3

sinβ₃= b

√2a₃, cosβ₃= x a3

Gesamte Geschwindigkeit:

wx=wx2+wx3 = 2wx2 = 2w2sinβ3 = 2w2

√b 2a2

= Γb

2√ 2πa²₂(

√3b 2

q (^√3b

2)²+a²₂ +

√b 2

q (^√b

2)²+a²₂ )

w_y = 0 wegen Symmetrie

w_z=w_z1+w_z2+w_z3+w_z4 = 2w_z1+ 2w_z2 =−2w₁cosβ₁−2w₂

√2cosβ₂

w_z =− Γ 4π(2b

a²₁( x

px²+a²₁ + 1) + x

√2a²₂(

√3b 2

q (^√3b

2)²+a²₂ +

√b 2

q (^√b

2)²+a²₂ ))

3. Aufgabe: Tropfentheorie (18 Punkte) (L ¨ OSUNG)

1. X = ¹₂(1 +cosϕ) Z^(t)(ϕ) = 32

q1

2(1 +cosϕ)−¹₄(1 +cosϕ)²(1−¹₂(1 +cosϕ) +¹₄(1 +cosϕ)²) Z^(t)(ϕ) = 32

q1

4− ¹₄cos²ϕ(³₄ +¹₄cos²ϕ) =16sinϕ(³₄ +¹₄cos²ϕ)=12sinϕ+ 4sinϕcos²ϕ Z^(t)(ϕ) = 12sinϕ+ 4sinϕ(1−sin²ϕ)=13sinϕ−4sin³ϕ+ 3sinϕ, mit Hinweis:

Z^(t)(ϕ) = 13sinϕ+sin(3ϕ)

2. Z^(t)(ϕ) = ¹₂b1sinϕ+¹₂b2sin2ϕ+¹₂b3sin3ϕ= 13sinϕ+sin(3ϕ)

⇒b1 = 26, b2 = 0, b3 = 2 und bn= 0 f¨ur n >3 3. Vertikalst¨orgeschwindigkeit w:

w(X) =±¹₂q(X) undq(X) = 2u∞dZ^(t) dX

⇒ ^w(X_u ⁾

∞ =±^dZ_dX^(t)

dZ^(t)

dX = _dX^d (32p

X(1−X)·(1−X(1−X)))=32_dX^d (p

X(1−X)−p

X(1−X)·X(1−X))

dZ^(t)

dX = 32((1−2X)−(1−2X)X(1−X)−2(1−2X)X(1−X) 2√

X(1−X) )

w(X)

u∞ =∓32((2X−1)·(1−3X(1−X)) 2√

X(1−X) ) Transformation:

2X−1 =cosϕ, 2p

X(1−X) =sinϕund X(1−X) = ¹₄sin²ϕ

w(ϕ)

u∞ =∓32cosϕ⁽¹⁻_sinϕ^34sin2ϕ) Alternativ mit:

dZ^(t)

dX = ^dZ_dϕ^(t)_dX^dϕ

Beide L¨osungswege sind ¨aquivalent.

4. Axialst¨orgeschwindigkeit u:

u(X) = _2π¹ R₁

0 q(X⁰)_X−X^dX00 mitq(X⁰) = 2u∞dZ^(t)

dX⁰ und ^dZ_dX^(t)0 = ^dZ_dϕ^(t)0 dϕ⁰ dX⁰

X⁰ = ¹₂(1 +cosϕ⁰), dX⁰ =−¹₂sinϕ⁰dϕ⁰ , _dX^dϕ00 = _sinϕ⁻²0

dZ^(t)

dϕ⁰ = 13cosϕ⁰+ 3cos3ϕ⁰ Damit folgt:

u(ϕ) =−_2π¹ Rπ

0 2u∞dZ^(t) dϕ⁰

dϕ⁰

dX⁰·₁ ^{−12sinϕ0dϕ0}

2(1+cosϕ)−¹

2(1+cosϕ⁰) =−_2π¹ Rπ

0 2u∞(13cosϕ⁰+3cos3ϕ⁰)·_sinϕ⁻²0·₁ ^{−12sinϕ0dϕ0}

2(1+cosϕ)−¹

2(1+cosϕ⁰)

u(ϕ) =−^2u_π^∞Rπ 0

(13cosϕ⁰+3cos3ϕ⁰)

cosϕ−cosϕ⁰ dϕ⁰ =−^2u_π^∞(Rπ 0

13cosϕ⁰

cosϕ−cosϕ⁰dϕ⁰+Rπ 0

3cos3ϕ⁰ cosϕ−cosϕ⁰dϕ⁰) u(ϕ) = 2u∞(13 + 3^sin3ϕ_sinϕ)

Transformation:

u(ϕ) = 2u∞(13 + 3^{3sinϕ−4sin}_sinϕ ^3ϕ) = 2u∞(13 + 9−12^sin_sinϕ^3ϕ) = 2u∞(22−12sin²ϕ) = 2u∞(22−12·4X(1−

X))

u(X) = 2(48X²−48X+ 22) 5. c_p = 2^p−p_ρu2^∞

∞ = 1−_u^V2^k2

∞

cp = 1−_k(ϕ)¹ ₂(1 +PN

n=1bnn^sinnϕ_sinϕ )² mitb₁=26 und b₃=2:

cp = 1−_k(ϕ)¹ 2(27 + 6^sin3ϕ_sinϕ )²