Klausur Aerodynamik I 26. 08. 2014 M U S T E R L

AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westf¨alischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schr¨oder

Klausur Aerodynamik I

26. 08. 2014

M U S T E R L ¨ O S U N G E I N S IC H T N A H M E

Hinweis:

Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben:

Klausur Aerodynamik I

Fragenteil, Biot-Savart, Tropfentheorie

Integrale und Additionstheoreme

Additionstheoreme

• sin(x±y) = sin(x)·cos(y)±sin(y)·cos(x)

• cos(x±y) = cos(x)·cos(y)∓sin(x)·sin(y)

• sin²(x) + cos²(x) = 1

• sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)

• sin(x) = 2·sin(x/2)·cos(x/2)

• sin²(x) = 1

2(1−cos(2x))

• cos²(x) = 1

2(1 + cos(2x))

• cos(2x) = cos²(x)−sin²(x)

• tan(x 2) =

r1−cosx 1 + cosx

• tan(x

2)·sin(x) = 1−cos(x)

• sin(x)·sin(nx) =−1

2(cos[(n+1)x]−cos[(n−1)x])

• sin[(n+ 1)x]−sin[(n−1)x] = 2·cos(nx)·sin(x)

• X∞

n=1

1

nsin(nϕp)·sin(nϕ) = 1

4ln1−cos(ϕp+ϕ) 1−cos(ϕp−ϕ)

Integrale

•

Z 1

ax+bdx= 1

a·ln(ax+b)

•

Z x

ax+bdx= x a− b

a² ·ln(ax+b)

• Z x²

Xdx= 1 a³

h1

2(X)−2b(X) +b²ln(X)i mitX =ax+b

• Z

sin(ax)dx=−cos(ax) a

• Z

cos(ax)dx= +sin(ax) a

• Z

sin²(ax)dx= x 2 − 1

4asin(2ax)

• Z

cos²(ax)dx= x 2 + 1

4asin(2ax)

• Z

sin³(ax)dx= cos³(ax)

3a −cos(ax) a

• Z

cos³(ax)dx=−sin³(ax)

3a +sin(ax) a

• Z

cos⁴(ax)dx= 3

8x+ sin(2ax)

4a +sin(4ax) 32a

• Z

sin(ax) cos(ax)dx= sin²(ax) 2a

• Z π

0

sin(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Z π

0

cos(n·ϕ)·cos(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Z π

0

sin(n·ϕ)·sin(p·ϕ)dϕ=

π/2 n=p 0 n6=p

• Glauert-Integral Z π

0

cos(n·ϕ^′)

cos(ϕ)−cos(ϕ^′)dϕ^′ =−π·sin(n·ϕ) sin(ϕ)

• Z

cos(ax)·cos(bx)dx= sin[(a−b)x]

2(a−b) +sin[(a+b)x]

2(a+b) ∀ |a| 6=|b|

1. Aufgabe: Fragenteil (17 Punkte)

1. Sie wollen die Aerodynamik eines Formel-1 Boliden bei maximaler Fahrgeschwindigkeit in einem Wind- kanal untersuchen. Erl¨autern Sie, wie sich dabei der Bodeneffekt modellieren l¨asst. Begr¨unden Sie kurz Ihre Antwort.

2. Nennen Sie zwei Methoden zur Messung des statischen Druckes an einem Fl¨ugel im Windkanal. Geben Sie jeweils einen Vorteil der jeweiligen Methode an.

3. (a) Wie ist die Grundgeometrie in der komplexen z-Ebene zu w¨ahlen, um durch die Transformation mittels der konformen Zhukhovski-Abbildungsfunktionζ =z+^a_z² in der komplexen ζ-Ebene ein Parabelskelett zu bekommen?

(b) Wie lautet die Bedingung in der kompexen z-Ebene, damit die Kuttasche Abflussbedingung in der ζ-Ebene erf¨ullt ist?

4. (a) Sie wollen die Druckverteilung an einem symmetrisch angestr¨omten NACA 0015 Profil beiM a∞= 0.6 mit Hilfe der G¨othertschen Formulierung des Kompressibilit¨atsgesetzes bestimmen. W¨ahlen Sie f¨ur ein Wasserschleppversuch aus der NACA 4er-Reihe ein geeignetes Vergleichsprofil und be- gr¨unden Sie Ihre Antwort.

(b) Zur Bestimmung des Auftriebsbeiwertes k¨onnen Sie f¨ur den Wasserschleppversuch auch das Ori- ginalprofil NACA 0015 nehmen. Wie groß ist der Auftriebsbeiwert des NACA 0015 Profils bei M a∞= 0.6, wenn es im Wasser einen Auftriebsbeiwert voncl= 1.2 besitzt? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

5. (a) Skizzieren Sie in einem Diagramm den Verlauf des Widerstandbeiwertes ¨uber der Machzahl der freien Anstr¨omung f¨ur ein konventionelles Profil und ein superkritisches Profil.

(b) Stellen Sie den maßgebenden Unterschied zwischen diesen zwei Profilarten mittels einer Skizze der Druckbeiwertverteilung entlang der Saugseite dar.

Hinweis:

Falls n¨otig, ¨ubertragen Sie die Skizzen in Ihre L¨osungsbl¨atter und zeichnen Sie die L¨osung dort ein!

2. Aufgabe: Biot-Savart (15 Punkte)

Zur Vorauslegung eines Flugzeuges mit einem ”Channel Wing” (siehe linkes Bild) soll das entstehende Wir- belsystem eines Halbfl¨ugels in einem Windkanalversuch untersucht werden. Daf¨ur ist der Halbfl¨ugel einseitig beiy= 0 an der Windkanalwand eingespannt. Das vereinfachte System der gebundenen Wirbel des Fl¨ugels sei idealerweise gegeben (siehe rechtes Bild).

b/3 b/3

R=b/6

Γ

3Γ

Γ 3Γ

3Γ

V

Windkanalwand

1. Erl¨autern Sie den dritten Helmholtzschen Wirbelsatz und f¨ur welche Str¨omungen er g¨ultig ist.

2. ¨Ubertragen Sie die Skizze des gebundenen Wirbelsystems des Channel-Fl¨ugels in ihren L¨osungsbogen und vervollst¨andigen Sie diese durch alle freien Wirbel entsprechend dem dritten Helmholtzschen Wirbelsatz. Geben Sie dabei den Wert und die Drehrichtung der Zirkulation jedes freien Wirbels explizit an.

Zur Vereinfachung wird im folgenden Aufgabenteil nur das untere Halbkreissegment des Fl¨ugels betrachtet (siehe Skizze weiter unten)

3Γ

V

z x y

P

3. Leiten Sie allgemein aus dem Biot-Savartschen Gesetz, die durch den gebundenen Wirbel des Halb- kreissegments induzierte Geschwindigkeit im Punkt P(L,₂^b,0) her und geben Sie explizit ihrex,y und z-Komponenten an.

d~v_i =−Γf

4π ·~a×d ~sf

|a|³ Gegeben:Γ, b, L

Falls n¨otig, ¨ubertragen Sie die Skizzen in Ihre L¨osungsbl¨atter und zeichnen Sie die L¨osung dort ein!

3. Aufgabe: Tropfentheorie (18 Punkte)

Die Bedeutung der Korrektur nach Riegels im Rahmen der Tropfentheorie soll am Beispiel der Umstr¨omung eines schlanken elliptischen Profils mit dem Achsenverh¨altnisδ =d/l und der zugeh¨origen Konturgeometrie f¨ur die OberseiteZ^(t)(X) =δp

X(1−X) demonstriert werden.

0.5 1.0

Z =z/l^(t)

X=x/l δ=d/l

U∞

1. Leiten Sie die Bestimmungsgleichung f¨ur die Quellendichteq(X) = 2U∞dZ dX her.

2. Zeigen Sie, dass der elliptische Profiltropfen durch den Reihenansatz nach Riegels mit b₁ = δ und b_n= 0 (n>2) beschrieben wird.

3. Bestimmen Sie die Quellendichteverteilung q(ϕ) des elliptischen Profils. Skizzieren Sie ohne weitere Rechnung sorgf¨altig den Verlauf von q(X) entlang der Profilsehne.

4. Bestimmen Sie die axiale St¨orgeschwindigkeitu_s(ϕ).

5. Bestimmen Sie die nach Riegels korrigierte GeschwindigkeitsverteilungVk(ϕ) auf der Kontur des Pro- filtropfens.

6. Zeigen Sie, dass die Verwendung des Korrekturfaktors nach Riegels f¨ur Profile mit einer abgerundeten Nase notwendig ist, indem Sie den Wert der Geschwindigkeit an der Nase des gegebenen elliptischen Profiltropfens diskutieren.

Gegeben:δ,U∞

Hinweise:

Reihenansatz nach Riegels: Z^t(ϕ) = 1 2

XN

n=1

bn·sin(n·ϕ)

axiale St¨orgeschwindigkeit: us(X) = 1 2π

Z 1 0

q(X^′) X−X^′dX^′ vertikale St¨orgeschwindigkeit: vs(X) =±q(X)

2 Korrigierte Konturgeschwindigkeit nach Riegels: Vk(X) = 1

q

1 + (_dX^dZ)²

(U∞+us(X))

Trigonometrische Substitution: X= 1

2(1 +cos(ϕ))

Falls n¨otig, ¨ubertragen Sie die Skizzen in Ihre L¨osungsbl¨atter und zeichnen Sie die L¨osung dort ein!

1. Aufgabe: (L ¨ OSUNG) Fragenteil (17 Punkte)

1. Der Bodeneffekt wird durch eine mit der Fahrzeuggeschwindigkeit bewegte untere Windkanalwand modelliert (sog. ”moving belt”). Ohne die Wandbewegung w¨urde sich nicht nur auf dem Fahrzeugboden, sondern auch auf der unteren Kanalwand eine Grenzschicht ausbilden (Anstr¨omen eines auf der Ebene feststehenden Fahrzeugs), was nicht dem realen Fall entspricht.

2. Manometer (U-Rohr). Vorteil: Einfachheit.

Piezzo-Element. Vorteil: hohe zeitliche Aufl¨osung.

Drucksensitive Farbe (PSP). Vorteile: Nicht invasiv, hohe r¨aumliche Aufl¨osung.

3. (a) In der komplexen z-Ebene ist ein Zylinder mit dem Zentrum im Punkt (0;iy₀) (vertikale Ver- schiebung um y₀) und dem Radius R = p

a²+y²₀ (Durchgang durch den Punkt x = ±a) zu definieren.

(b) w(x=a) = 0 (Staupunkt am Zylinder in der komplexenz-Ebene)

4. (a) G¨othertsche Formulierung des Kompressibilit¨atsgesetzes erfordert eine Geometrietransformation iny-Richtung mit dem Faktor t₁=p

1−M a²∞=√

1−0.6² =√

0.64 = 0.8.

Das NACA 0015 Profil besitzt die relative Dicke von 15%. Die relative Dicke des transformierten Profils f¨ur den Wasserschleppversuch soll deshalb (d/l)|^ink = 0.8·0.15 = 0.12 betragen. Es soll somit ein NACA 0012 Profil genommen werden.

(b) Mit Hilfe der Prandtl-Glauert-Ackeret-Regel kann die Kompressibilit¨atskorrektur direkt ohne Geometrietransformation durchgef¨uhrt werden. Der Auftriebsbeiwert bei M a∞= 0.6 ergibt sich somit zu c_l|M a∞=0.6= √^{cl ink}

1−M a²∞

= ^1.2_0.8 = 1.5

1 1

1 2

1

3 1

4

1

5

1 1 6

7

1 1 8

9

1

10

1 11

1 12

5. (a) Beachten: N¨aherungsweise konstanter Verlauf von c_d bis hin zur kritischen Machzahl und eine Verschiebung der Divergenzmachzahl zu h¨oheren Werten.

c_d

konventionelles Profil

Überkritisches Profil

M_∞

(b) Beachten: Kleinere Druckspitzen durch moderate Str¨omungsbeschleunigung. Als Folge wird ei- ne isentrope R¨uckkehr vom lokalen ¨Uberschallbereich in die subsonische Str¨omung, d.h. ohne Verdichtungsstoß, erreicht).

-c_p

c_p,krit

-c_p

c_p,krit

1

13 1

14

1

15

1

16 1

17

2. Aufgabe: (L ¨ OSUNG) Biot-Savart (15 Punkte)

1. Der 3. Helmholtzwsche Wirbelsatz :

In einer reibungsfreien barotropen Str¨omung mit konservativen Volumenkr¨aften und einem nichtro- tierenden Koordinatensystem ist die Zirkulation bzw. Der Wirbelfluß einer Wirbelr¨ohre konstant. Die Wirbelr¨ohre endet auf fester Wand oder ist geschlossen.

2. Skizze mit Wirbelsystem

Γ

3Γ

Γ 3Γ

3Γ

Windkanalwand

5Γ

5Γ

Γ

3. L¨osungsvariante 1:

Die allgemeine Gleichung f¨ur die durch eine Wirbelr¨ohre im Raum induzierte Geschwindigkeit lautet:

x z

Γ₁ y

P

l

r_{a φ} P-r_a

z

ra y

φ φ

ds_f

x z

Γ₁ y

P

l

r_{a φ} P-r_a

d~vi = −Γ_f 4π

~a×d~s

|~a|³ (1)

P~ =



 l 0 0



, ~r_a =



 0 rcos(ϕ) rsin(ϕ)



, d~s_f1=



 0

−rsin(ϕ)dϕ rcos(ϕ)dϕ



 (2)

Das Kreuzprodukt~a×d~sf1= (P~ −~ra)×d~s_f1 ergibt somit:



 l

−rcos(ϕ)

−rsin(ϕ)



×



 0

−rsin(ϕ)dϕ rcos(ϕ)dϕ



=







−r²(

1

z }| { cos²(ϕ) + sin²(ϕ))dϕ

−rlcos(ϕ)dϕ

−rlsin(ϕ)dϕ





 (3)

1 1

1 2

1

3

1 4

1

5 1

6 1

7

1

8

1

9

1

10

1 11

Der Betrag |~a|=|P~ −~r_a|ist:



 l

−rcos(ϕ)

−rsin(ϕ)





=p

l²+r² (4)

Mit Γf = 3Γ,r = ^b₆ und l=L ergeben sich die induzierten Geschwindigkeitskomponenten zu:

V~₁ =



 v_1x v_1y v_1z



= Γf

4π√

l²+r²³











2πR

π

r²dϕ

2πR

π

lrcos(ϕ)dϕ

2πR

π

lrsin(ϕ)dϕ











=







Γ 48

b²

(^(b6)²+L²)³² 0

−_4π^{Γ bL} ((^b₆)²+L²)³²







(5)

L¨osungsvariante 2:

Die allgemeine Gleichung f¨ur einen Wirbel im Raum lautet:

d~vi = −Γf

4π

~a×d ~sf

|a|³

|~a×d ~s_f| = |~a| · |d ~s_f| ·sinπ 2

⇒ |~a×d ~sf| = |~a| · b 6dϕ

|~a| = s

b 6

2

+L²

|d~vind| = 3Γ 4π

(^b₆)dϕ

|~a|²

Aufgrund der Symmetrie entlang der (x, y = b/2, z = 0)-Achse ist die induzierte Geschwindigkeit v_y,ind= 0

F¨ur die restlichen Komponenten der Geschwindigkeit gilt:

dvx,ind =|d~vind|sinβ dvz,ind=|d~vind|cosβsinϕ

x z

y

P l

z

y ra

φ

dsf

x z

y

3Γ

P L

ra φ

dvi φ

ra

a

φ

1 12

1

13

1 14

1

15

Mit

sinβ =

b

q 6 b 6

2

+L²

und cosβ = L q

b 6

2

+L²

Es ergibt sich somit:

vx,ind = Z 2π

π

3Γ 4π

b 6

( ₆^b

+L²) ·

b

q 6 b 6

2

+L²

·dϕ= Γ 48

b² (^b₆)²+L²³2

vz,ind= Z 2π

π

3Γ 4π

b 6

( ₆^b

+L²) · L q b

6

2

+L²

·sinϕdϕ=−Γ 4π

bL (^b₆)²+L²³₂

3. Aufgabe: (L ¨ OSUNG) Tropfentheorie (18 Punkte)

1. Alternative 1:

Aus der kinematischen Randbedingung:

U∞ uk

wk

dZ /dX^(t)

Z^(t)

folgt:

dZ^(t)

dX = wk

U∞+uk

F¨ur d¨unne Profille gilt: wk≈ws= ^q(X₂ ⁾ und uk<< U∞ (nicht im Staupunkt!!!).

Somit ergibt sich f¨ur die Quellendichteq(x):

q(X) = 2U∞

dZ dX.

Alternative 2:

Aus der Kontinuit¨atsbeziehung:

1.0 Z=z/l

X=x/l 1/2q(X)dX

(U +u)Z∞

Zt+ (U +u+du)(Z+dZ)∞ (X)

U∞

(U∞+u)·Z+1

2qdX = (U∞+u+du)(Z+dZ) U∞Z+uZ+1

2qdX =U∞Z+uZ+Zdu+U∞dZ+udZ +dudZ Nach der Linearisierung (keine Terme 2. Ordnung) ergibt sich:

1

2q =Z du dX +U∞

dZ

dX +udZ

dX = d(U∞+u)

dX Z+ (U∞+u)dZ dX = 1

2q = d

dX[(U∞+u)Z] (Produktregel) Mit U∞>> u (nicht im Staupunkt) folgt:

1

2q = d[U∞Z] dX =U∞

dZ

dX ⇒ q(X) = 2U∞

dZ dX.

2. Mit der trigonometrischen SubstitutionX= ¹₂(1 +cos(ϕ)) folgt:

Z^(t)(X) =δp

X(1−X) ⇛Z^(t)(ϕ) =δ r1

2(1 +cosϕ)(1−1

2(1 +cosϕ))

1 1

1 2

1

3

1 4

1

5

1

6

Der Koeffizientenvergleich mit dem Reihenansatz nach Riegels Z^t(ϕ) = ¹₂PN

n=1b_n·sin(n·ϕ) liefert:

b₁=δ und b_n= 0, n>2 3. Quellendichtenverteilung q(ϕ):

q(ϕ) = 2U∞

dZ

dX = 2U∞

dZ dϕ

dϕ dX Mit dZ

dϕ = δ

2cosϕ und dX dϕ =−1

2sinϕ folgt: q(ϕ) = 2U∞ δ 2cosϕ

−¹₂sinϕ =−2U∞δcotϕ Skizze (Schließungsbedingung beachten):

1.0 q(X)

X=x/l 0 0.5

π π/2 0 φ

4. Axiale St¨orgeschwindigkeit:

us(ϕ) = 1 2π

Z ₁

0

q(X^′)

X−X^′dX^′ = U∞

π Z ₁

0

dZ dX^′

dX^′

X−X^′ = U∞

π Z ₁

0

dZ dϕ^′

dϕ^′ dX^′

dX^′ X−X^′

= U∞

π Z ₀

π

δ

2cosϕ^′ dϕ^′

1

2(cosϕ−cosϕ^′) = U∞δ π

Z ₀

π

cosϕ^′dϕ^′

cosϕ−cosϕ^′ =U∞δ 5. Korrigierte Konturgeschwindigkeit nach Riegels

Vk(ϕ) = 1 q

1 + (_dX^dZ)²

(U∞+us(X)) = 1 q

1 + (^dZ_dϕdX^dϕ)²

(U∞+us(ϕ))

= 1

p1 + (−δcotϕ)²(U∞+U∞δ) =U∞

1 +δ p1 +δ²cot²ϕ

6. Bei Profilen mit abgerundeter Nase besitzt die Str¨omung beiX = 0 einen Staupunkt, d.h.:

(Ohne den Korrekturfaktor) V(X= 0) =U∞+us !

= 0 ⇒

Mit dem unter 4. erhaltenen Ergebnis (us=U∞δ) kann diese Bedingung (us =U∞δ=^! −U∞) f¨ur kein physikalisch sinnvolles δ erf¨ullt werden, was zu einem Fehler in der N¨ahe des Staupunktes f¨uhrt.

Mit dem Riegelsfaktor κ = q ¹

1+(_dX^dZ)² erf¨ullt die Konturgeschwindigkeit die Bedingung V_k(X = 0) f¨ur gerundete Nasenformen automatisch, da der Faktor f¨ur _dX^dZ → ∞ selbst zu 0 wird. In weiterer Entfernung vom Staupunkt ist _dX^dZ f¨ur schmale Profile klein, so dass der Riegelsfaktor dort effektiv verschwindet (κ= ^{q 1}

1+(dX^dZ)² →1).

1

8

1

9

1

10 1

11

1 12

1

13

1 14 1

15

1

16

1 17

1

18