Klausur Aerodynamik I 25. 08. 2015 M U S T E R L

AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westf¨alischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schr¨oder

Klausur Aerodynamik I

25. 08. 2015

M U S T E R L ¨ O S U N G E I N S IC H T N A H M E

Hinweis:

Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben:

Klausur Aerodynamik I

Fragenteil, Konforme Abbildungen, Tropfentheorie

1

Integrale und Additionstheoreme

Additionstheoreme

• sin(x±y) = sin(x)·cos(y)±sin(y)·cos(x)

• cos(x±y) = cos(x)·cos(y)⌥sin(x)·sin(y)

• sin²(x) + cos²(x) = 1

• sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)

• sin(x) = 2·sin(x/2)·cos(x/2)

• sin²(x) = 1

2(1 cos(2x))

• cos²(x) = 1

2(1 + cos(2x))

• cos(2x) = cos²(x) sin²(x)

• tan(x 2) =

r1 cosx 1 + cosx

• tan(x

2)·sin(x) = 1 cos(x)

• sin(x)·sin(nx) = 1

2(cos[(n+1)x] cos[(n 1)x])

• sin[(n+ 1)x] sin[(n 1)x] = 2·cos(nx)·sin(x)

• X1 n=1

1

nsin(n'p)·sin(n') = 1

4ln⇣1 cos('p+') 1 cos('_p ')

⌘

Integrale

•

Z 1

ax+bdx= 1

a·ln(ax+b)

•

Z x

ax+bdx= x a

b

a² ·ln(ax+b)

• Z x²

Xdx= 1 a³

h1

2(X) 2b(X) +b²ln(X)i mitX =ax+b

• Z

sin(ax)dx= cos(ax) a

• Z

cos(ax)dx= +sin(ax) a

• Z

sin²(ax)dx= x 2

1

4asin(2ax)

• Z

cos²(ax)dx= x 2 + 1

4asin(2ax)

• Z

sin³(ax)dx= cos³(ax) 3a

cos(ax) a

• Z

cos³(ax)dx= sin³(ax)

3a +sin(ax) a

• Z

cos⁴(ax)dx= 3

8x+sin(2ax)

4a +sin(4ax) 32a

• Z

sin(ax) cos(ax)dx= sin²(ax) 2a

• Z ⇡

0

sin(n·')·cos(p·')d'=

⇢ ⇡/2 n=p 0 n6=p

• Z _⇡

0

cos(n·')·cos(p·')d'=

⇢ ⇡/2 n=p 0 n6=p

• Z ⇡

0

sin(n·')·sin(p·')d'=

⇢ ⇡/2 n=p 0 n6=p

• Glauert-Integral Z ⇡

0

cos(n·'⁰)

cos(') cos('⁰)d'⁰ = ⇡·sin(n·') sin(')

• Z

cos(ax)·cos(bx)dx= sin[(a b)x]

2(a b) +sin[(a+b)x]

2(a+b) 8 |a|6=|b|

1. Aufgabe: Fragenteil (15 Punkte)

1. Unter welchen Voraussetzungen ist der Satz von Thomson g¨ultig und wie lautet dieser?

2. Was versteht man unter einer Wirbellinie, einer Wirbelr¨ohre und einem Wirbelfaden (Skizze)?

3. Zeichnen Sie das Profil NACA2412 (Profiltropfen und Skelettlinie getrennt) und geben Sie die Bedeu- tung der Zi↵ern im Hinblick auf die Geometrie des Profils an. Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf des Auftriebsbeiwertes c_l ¨uber den Anstellwinkel ↵ f¨ur:

(a) das NACA2412 Profil

(b) die angestellte ebene Platte nach der Skelett-Theorie.

4. Die Umstr¨omung eines Tragfl¨ugels bei der Machzahl M a=0.5 soll vermessen werden. Nennen Sie je- weils ein experimentelles Verfahren zur Bestimmung

(a) der Druckverteilung c_p auf dem Tragfl¨ugel,

(b) der qualitativen Verteilung des Dichtegradienten in der Umgebung des Tragfl¨ugels, (c) des Geschwindigkeitsfeldes.

5. Beschreiben Sie kurz die Funktionsweise der Particle-Image Velocimetry (PIV). Nennen Sie zudem drei Einflussfaktoren auf die Genauigkeit der PIV.

6. Was versteht man unter der kritischen Machzahl im Falle des Tragfl¨ugels?

3

2. Aufgabe: Konforme Abbildungen (17 Punkte)

Die K´arm´an-Tre↵tz-Abbildungsfunktion

⇣ ka

⇣+ka =

✓z a z+a

◆k

mit 1< k <2

transformiert einen Kreis in der komplexen z-Ebene mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius a in ein aus zwei Kreisb¨ogen bestehendes Profil in der ⇣-Ebene.

1. Bestimmen Sie die Gleichung der Oberseite des Kreisprofils und geben Sie den Radius R^⇤ und die Position P(⇠0,⌘0) des Mittelpunktes dieses Kreisbogens als Funktion vonk und aan.

a x

y

-a -ka ka

R*

P( ₀, ₀)

Das Profil befindet sich in einer Parallelstr¨omung mit der Geschwindigkeit u₁. Die komplexe Str¨omungs- funktion lautet

F(z) =u₁(ze ^i↵+a²

z e^i↵) + i 2⇡ln(z)

2. Bestimmen Sie die konjugiert komplexe Geschwindigkeit w(z) und die Zirkulation , so dass die Kut- ta’sche Abflussbedingung an der Hinterkante erf¨ullt wird.

3. Aufgabe: Tropfentheorie (18 Punkte)

In einem Experiment wurde ein geschlossener Profiltropfen mit der Profiltiefe l durch ¨Uberlagerung der parallelen Antr¨omung u₁ mit der Quellen-Senken-Verteilung

q(X) = 2u₁

✓ 3

10X² 21

50X+ 11 100

◆

erzeugt (X= ^x_l, Z^(t)= ^z(t)_l ).

1. Unter welchen Annahmen ist die Tropentheorie g¨ultig?

2. Wie lautet die Schließbedingung f¨ur einen geschlossenen Profiltropfen f¨ur q(X)?

3. Leiten Sie aus der Kontinuit¨atsbeziehung den Zusammenhang zwischen der Form des Profiltropfens Z^(t)(X) und der Quellenverteilungq(X) her.

Ermitteln Sie daraus die Gleichung der Oberseite des Profiltropfens Z^(t)(X).

Durch welche Eigenschaft der FunktionZ^(t)(X) wird die Schließbedingung aus 2.) automatisch erf¨ullt?

(Hinweis: Nutzen Sie geeignete Vereinfachungen und die Produktregel zur Zusammenfassung der Ab- leitungsterme)

4. Bestimmen Sie die induzierte Geschwindigkeit u(X) entlang der Profilsehne.

5. Leiten Sie durch Betrachtung der Konturstromlinie die allgemeine Bestimmungsgleichung f¨ur die indu- zierte St¨orgeschwindigkeit w(X) her und bestimmen Sie diese f¨ur den in 3.) bestimmten Profiltropfen Z^(t)(X)!

Hinweis:

u(X) = 1 2⇡

Z _b

a

q(X⁰) dX⁰ X X⁰

5

1. Aufgabe: Fragenteil (15 Punkte) (L ¨ OSUNG)

1. 2 Punkte:

Satz von Thomson: Die Zirkulation entlang einer sich mit dem Fluid bewegenden geschlossenen Kurve ist zeitlich konstant

d dt = 0.

Es ist unter der Voraussetzung g¨ultig, dass es sich um reibungsfreie, barotrope Str¨omungen mit kon- servativen Volumenkr¨aften handelt. Daraus folgt, dass Str¨omungen, die anf¨anglich in Drehung waren, diese Drehung beibehalten, w¨ahrend drehungsfreie Str¨omungen drehungsfrei bleiben.

2. 3 Punkte:

Wirbellinien: Diejenigen Kurven im Wirbelfeld, die tangential zu den Drehungsvektoren~! = (!x,!y,!z) verlaufen. Definition in Analogie zur Stromlinie

dx:dy:dz=!_x:!_y :!_z. Wirbelr¨ohre: Die Mantelfl¨ache eines Rohres besteht aus Wirbellinien.

Wirbelfaden: Die Zusammenfassung der durch die Fl¨ache dA hindurchtretenden Wirbellinien werden als Wirbelfaden beizeichnet.

3. 3 Punkte:

2% maximale W¨olbung in Prozent der Profiltiefe;

40% W¨olbungsr¨ucklage in Prozent der Profiltiefe;

12% maximale Dicke in Prozent der Profiltiefe;

Die Dickenr¨ucklage betr¨agt f¨ur alle Profile der 4-er Reihex_d/l= 0.3.

Z

X X

(t)

Z

Tropfen Skelett

d f

l l

x_d xf

C_l ebene Platte (theoretisch)

NACA 2412

0

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1

2

3 4

5

6

7

8 9

4. 3 Punkte:

(a) Druckmessbohrungen (b) Schlierenverfahren

(c) Particle-Image Velocimetry 5. 3 Punkte:

Die Methode der PIV basiert auf der Sichtbarmachung des Geschwindigkeitsfeldes mit kleinsten Schwe- beteilchen, deren Bahn in der Str¨omung photographisch oder digital aufgezeichnet und anschließend ausgewertet wird.

Einfl¨usse u.a.: Partikelgr¨oße, Aufl¨osungsverm¨ogen der Optik, Pulsfrequenz, Lichtschnittdicke 6. 1 Punkte:

Bei der kritischen Machzahl der Anstr¨omung tritt erstmalig an einem Punkt des Str¨omungsfeldes des Tragfl¨ugels die Schallgeschwindigkeit auf.

7

1

1 1

1 1 1

10

11 12

13 14

15

2. Aufgabe: Konforme Abbildungen (17 Punkte) (L ¨ OSUNG)

1. 13 Punkte:

Kreisgleichung: (⇠ ⇠0)²+ (⌘ ⌘0)²=R^⇤2; gesucht: ⇠0,⌘0, R^⇤ F¨ur den Kreis in der z-Ebene gilt:

z=a+r1e^i'1 = a+r2e^i'2

✓z a z+a

◆k

=

✓r1

r₂

◆k

e^{ik('1 '2)} F¨ur den Bogen in der ⇣-Ebene gilt:

⇣ =ka+r₁^⇤e^i'⇤1 = ka+r^⇤₂e^i'⇤2

⇣ ka

⇣+ka = r₁^⇤

r₂^⇤e^{i('⇤1 '⇤2)}

1

1 1

1 1

1

2

3

4 5

Winkelsumme des Dreiecks:

⇡ '₁+'₂+ ⇡ 2 =⇡

!'₁ '₂ = ⇡

2; '^⇤₁ '^⇤₂ =k⇡ 2 Symmetrischer Sonderfall (gleichschenkliges Dreieck):

=⇡ µ^⇤=⇡ k⇡ 2 sin( ) = ka

R^⇤ sin( ) =sin(⇡ k⇡

2) = sin(k⇡

2 ⇡) =sin(k⇡ 2)

!R^⇤ = ka sin(k^⇡₂) cos( ) =cos(⇡ k⇡

2) = cos( k⇡

2) = cos(k⇡ 2) tan( ) = ka

⌘₀ = tan(k⇡ 2)

!⌘₀ = cot(k⇡

2)ka und ⇠₀ = 0 Einsetzen in die Kreisgleichung: ⇠²+ (⌘+cot(k^⇡₂)ka)²=⇣

ka sin(k^⇡₂)

⌘2

9

1 1

1 1

1 1

1 1

6 7

8

9

10

11 12

13

2. 4 Punkte:

konjugiert komplexe Geschwindigkeit w(z) = dF

dz =u iv=u₁

✓

e ^i↵ a² z²e^i↵

◆ + i

2⇡z

w|'=0= dF

dz|'=0 =u iv= 0 (Staupunkt) Setze ein: z=a(Staupunkt)

w(z=a) =u₁

✓

e ^i↵ a² a²e^i↵

◆ + i

2⇡a i2u₁sin(↵) + i

2⇡a = 0

= 4⇡au₁sin(↵)

1 1 1

1

14

15

16

17

3. Aufgabe: Tropfentheorie (18 Punkte) (L ¨ OSUNG)

1. 2 Punkte:

Potentialstr¨omung (inkompressibel, reibungsfrei, rotationsfrei), symmetrische Profile,

Antr¨omung parallel zur Sehne (↵= 0), d¨unne Profile (dmax/l0.2)

2. 1 Punkt:

F¨ur eine geschlossene Profilkontur muss die Gesamtergiebigkeit der Qellen-Senken-Verteilung Null

sein: Z ₁

0

q(X)dX = 0.

3. 8 Punkte:

Bestimmung der Quellverteilung Bilanz: ˙V_ein= ˙V_aus

(u₁+u)Z^(t)+1

2q(X)dX= (u₁+u+ @u

@XdX)(Z^(t)+@Z^(t)

@X dX)

u₁Z^(t)+uZ^(t)+1

2q(X)dX =u₁Z^(t)+uZ^(t)+ @u

@XdXZ^(t)+u₁@Z^(t)

@X dX+u@Z^(t)

@X dX+@u

@XdX@Z^(t)

@X dX Linearisierung (keine Terme 2. Ordnung):

1

2q(X) = @u

@XZ^(t)+u₁@Z^(t)

@X +u@Z^(t)

@X Produktregel:

1

2q(X) = @

@X

h(u₁+u)Z^(t)i

mit: u₁>> u

! 1

2q(X) = @

@X h

u₁Z^(t)i 11

1

1 1 1 1

1 1

1 1

1

2 3

4

5

6

7

8

9

q(X) = 2u₁@Z^(t)

@X Bestimmung der Profilgeometrie:

@Z^(t)

@X = 1 2u₁2u₁

✓ 3

10X² 21

50X+ 11 100

◆

Z^(t)(X) = Z ✓ 3

10X² 21

50X+ 11 100

◆ dX

Z^(t)(X) = 1

10X³ 21

100X²+ 11

100X+C

Aus den Randbedingungen f¨ur einen geschlossenen Tropfen mitZ^(t)(X= 0) = 0 und Z^(t)(X= 1) = 0 folgt: C=0

!Z^(t)(X) = 1

10X³ 21

100X²+ 11 100X

Durch die obige Randbedingung ist die Schließbedingung automatisch erf¨ullt!

Z 1

0

q(X)dX = 2u₁(Z^(t)(X = 1) Z^(t)(X = 0)) = 0

4. 4 Punkte:

Mit Hinweis:

u(X) = 1 2⇡

Z ₁

0

q(X⁰) dX⁰ X X⁰ u(X) = 1

2⇡

Z ₁

0

2u₁

✓ 3

10X⁰² 21

50X⁰+ 11 100

◆ dX⁰ X X⁰ u(X) = u₁

⇡

✓ 3 10

Z 1

0

X⁰²

X X⁰dX⁰ 21 50

Z 1

0

X⁰

X X⁰dX⁰+ 11 100

Z 1

0

1

X X⁰dX⁰

◆

u(X) = u₁

⇡

✓ 3 10

 1

2 + 2X+X²ln

✓X 1 X

◆ 21 50



1 +Xln

✓ X X 1

◆

+ 11 100

 ln

✓ X X 1

◆ ◆

u(X) = u₁

⇡

 57 100

3

5X+ln

✓X 1 X

◆ ✓ 3

10X²+21

50X 11 100

◆

5. 3 Punkte:

Konturstromlinie Oberseite:

dZ

dX = w

u₁+u ⇡ w

u₁ f¨ur: u₁>> u F¨ur die Str¨orgeschwindigkeit auf der Ober- und Unterseite gilt somit:

w(X) =±u₁dZ dX =±1

2q(X) w(X) =±u₁

✓ 3

10X² 21

50X+ 11 100

◆

1

1 1

1

1 1

1 1

1

10

11

12

13

14

15

16

17

18