Begriffe der Wirbelströmungen

Wirbelströmungen

Wirbelströmungen

Strömungen

drehungsbehaftet drehungsfrei

• •

Wirbelströmungen Potentialströmungen

Begriffe der Wirbelströmungen

Dreh- oder Wirbelvektor

ω ^r

zeigt in Richtung der Drehachse des Fluidteilchens

k j

i

x

r r r r

ω ω

ω

ω = + + ω ^r

⇓ ⇓

Wirbellinien : Kurven verlaufen tangential zum Wirbelvektor Richtung der Wirbellinie aus

r d s r

ω ||

bzw.

2D

0 ) (

) (

r r r

r r r

r

= +

+

× +

+ j k dx i dy j dz k

i

x

ω ω

ω

z y

x

dz dy

dx

ω ω

ω ^{= =}

⇒

2D

3D

Wirbelfaden : Bündelung aller durch A gehenden Wirbellinien

Wirbelröhre : Wirbellinien der Mantelfläche des Wirbelfadens

Wirbelstrom oder Wirbelfluss :

Zirkulation :

dA n

A

r

∫ r ^⋅

=

Ω ω

∫

∫ ^{⋅ =}

=

Γ

v r d r r

v

d r r

Γ

Annahme : C im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen : Summe der Tangentialkomponenten

v

v r

v r

v r

<

Γ

>

Γ Γ =

Zusammenhang zwischen und

ω ^r _Γ

y dy dx u

x u u

∂ +∂

∂ + ∂

2 1

xdx dy v

y v v

∂ +∂

∂ + ∂

2 1 ydy

v v

∂ + ∂

2 1

D

C

u dx

dy

Γ d

x dx u u

∂ + ∂

2 1

A v B

dx

dA d

y dxdy u x

d v

dy y dy

v v dy x dx

v y

v v

dx y dy

dx u x u u

dx x dx

u u d

ω

2

2 1 2

1

2 1 2

1

= Γ

 



 



∂

− ∂

∂

= ∂ Γ

 



 



∂ + ∂

 −





 



∂ + ∂

∂ + ∂ +

 



 



∂ + ∂

∂ + ∂

 −



 





∂ + ∂

=

Γ

Zusammenhang Oberflächenintegral und Linienintegral Stokessches Theorem

⇒ ^{Γ =} ∫ ⁼ ∫

A z C

t

d r dA

v ^{r 2} ω

∫∫

∫∫

∫ ^{Φ ⋅ = ∇ × Φ ⋅ = Φ ⋅}

∂S S S

dA n rot dA

n r

d

r

r

) (

) (

z

n r

) , (x y f z =

∂ S

x

y

D

∂ D

∂ S

Es sei bzw.

D. h. : Die Zirkulation entlang der Randkurve einer beliebigen räumlichen Fläche ist gleich dem doppelten Wirbelfluss durch die zugehörige Projektionsfläche

? dt : d Γ

ω ^r r

r r r r

r r

= 2

=

×

∇

= Φ

×

∇

=

Φ v

v rot v

∫

∫

∫ ^{⋅ = ∇ × ⋅ = ⋅}

= Γ

A A

C

dA n v rot dA

n v r

d

v r r r r r r r

) (

in reibungsfreier, barotroper Strömung (ρ = f (p))

dt

r d r

+

r r v r

v d vr r

+

C

reibungsfreie Strömung

( η / ρ = 0 )

Euler Gleichungen

∫

∫

∫ ^{⋅ = ⋅ + ⋅}

Γ =

C C

C

r dt d v d r

dt d v r d

d dt v

d dt

d r r r r

r r

p dt g

v

d = − ∇

r r r

ρ 1

∫

∫

∫

∫

∫ ^{d v ⋅ d r r = g r ⋅ d r r −} _ρ ^{∇ r p ⋅ d r r = g r ⋅ d r r − dp} _ρ

r 1

I II III

∫

∫

∫

∫

∫ ^{⋅ = ⋅ − ∇ ⋅ = ⋅ −}

C C

C C

C

r d g r

d p r

d g r

dt d ρ ρ

∫

∫

∫ ^{⋅ − + ⋅}

Γ =

C C

C

r dt d v d r dp

d dt g

d r r r ( r )

ρ

I : Satz : Jedes konservative Vektorfeld ist als Gradient zu schreiben

f g = ∇

r r

II : Annahme : Strömung ist barotrop

) ( p ρ ρ =

→ 1 ( )

p dp f

dF = ρ =

Definition :

∫

∫

∫ ^{⋅ = ∇ ⋅ = =}

C C

C

df r

d f r

d

g r r r r 0

= 0

= ∫

∫ ^dp _ρ ^{dF dp}

III :

= 0

= ∫

∫

C C

dp dp ρ

) ( d r dt v d

d r r

=

∫

∫

∫ _ ^{ =}





 



= 

⋅

=

⋅ 0

) 2 (

v

d v

d v r

dt d v d

C C

r r r r

r

reibungsfreie, barotrope Strömung mit konserv. Volumenkräften Satz von Thomson

Strömung drehungsfrei (Stokes) Achtung : Gültig für die Kurve C

Wirbeltransportgleichung

Für ρ = konst. , η = konst. wird eine Gleichung für abgeleitet.

ω ^r

=0 Γ dt d

0 ) (

0 ) 0

( = = → Γ + ∆ =

Γ t t t

Für ρ = konst. , η = konst. wird eine Gleichung für abgeleitet.

ω

Wirbelerhaltungssatz

Identität : Mit

0 )

( Φ =

r rot div

v rot r r

2

= 1 ω

= 0

⋅

∇

= ω

ω ^{r r r}

div

Zusammenhang zwischen und führt auf - Gleichung aus

v r

ω ^r

rot (Impulserhaltung).

Da

rot (grad h) = 0

rot (grad f) = 0

rot (grad p) = 0

ω ^r r r

=

×

∇ v

ω ^r

 

 



 + ⋅ ∇ = ∇ − ∇ + ∇

∂

∂ v v f p v

t

v r r r r r r r

1

)

( ν

´ ρ

∇

⇒ r

Identität :

ω ^r r =

×

∇ v

0 2 (

1

 =

 

 ∇ + +

×

∇ u v w

r r

2

2 ) 1

2 ( ) 1

( )

( v r ⋅ ∇ r v r = ∇ r × v r × v r + ∇ r v r ⋅ v r = r × v r + ∇ r q ω

2 2

2

2

u v w

q = + +

dt v d

t

ω ω

ω ^{r r r r r}

=

∇

⋅

∂ +

∂ ( )

ω ν

ω ^r ω ^{r r r}

^r )

( ⋅ ∇ + ∇

= v

dt d

⇒ ^{ω r} _ω ^{r r} _{ν ω} ^r

r

)

( × = ∇

×

∇

∂ +

∂ v

t

v v

v v v

v

v r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

) (

) (

) (

) (

)

( × = ⋅ ∇ − ⋅ ∇ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅ = ⋅ ∇ − ⋅ ∇

×

∇ ω ω ω ω ω ω ω

(a) (b)

Wirbeltransportgleichung

(a) : Änderung der Wirbelstärke durch Streckung und Neigung der Wirbellinien (b) : Änderung von durch Diffusion

ω ^r

(a) (b)

ebene, drehsymmetrische Strömung

0 )

( ⋅ ∇ =

⊥ v r ⇒ r r v r

r ω

ω

Lösung zum Beispiel

: ω = konst.

reibungsfreie Strömung

ω ω ν

∇ dt =

d

= 0

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

v y u x

t dt

d ω ω ω ω

In reibungsloser Strömung (mit

ρ = konst. , η = konst

stationäre Strömung

= 0

∂ + ∂

∂

∂

v y u ω x ω

= 0 + ∂

+ ∂

= ∂

v y u x

t

dt

Die Wirbeltransportgleichung ist eine modifizierte Form der Navier-Stokes Gleichung :

ist auch Lösung der Impulserhaltung.

0 r r ω =

0 r r

ω =

⇒

⇒