Die Slutsky Gleichung

Kapitel 5c

Einkommens- und

Substitutionseffekte

Die Slutsky Gleichung

• Slutsky Gleichung: Der formale Zusammenhang zwischen Einkommens- und Substitutionseffekten:

• Teilt den Effekt einer Preisänderung in einen Substitutions- (erster Term) und einen Einkommenseffekt (zweiter Term) auf.

• Einkommenseffekt: Bei einer Erhöung von p_x um einen Cent fällt das effektive Einkommen um x Cents.

M x x

p x p

x

x c

x



 



 





2

Die Slutsky Gleichung

Herleitung der Slutsky Gleichung:

• Punkt A kann als Lösung einer Nutzenmaximierung oder einer Ausgabenminimierung

gesehen werden.

• Daher:

• Und aus der Definition:

) ,

,

( p p U

E

M 

)) ,

, ( , ,

( )

; ,

( p p U x p p E p p U

x



• Dies gilt für jeden Punkt A, gegeben das Einkommen M und den Nutzen U.

Die Slutsky Gleichung

• Durch Ableitung beider Seiten:

• Oder:

• Aus dem Umhüllenden-Satz und der Definition von x_c folgt:

x x

x c

p E M

x p

x p

x







 



 





x x

c

x

p

E M

x p

x p

x







 



 





) ,

, (

) , ,

) ( , ,

( x p p U x p p M

p

U p

p E

y x

y x

c x

y

x

 





4

Die Slutsky Gleichung

Beweis:

Ableitung nach p

:

 ^{( , )}  ^{( , , )}

) , ,

(

U p

p p x

y x U U

p y y

p U p

x x

p U p

U p

p E

y x

c x

c c

x c c

y x

c c

x x

y x

 

 





 



 







 

 

 



 







 

 









 ^{( ( , , ), ( , , )} 

) ,

, (

) ,

, (

) ,

, (

) ,

, (

U p

p y

U p

p x

U U

U p

p

U p

p y

p U

p p

x p U

p p

E

y x

c y

x c

y x

y x

c y y

x c

x y

x











Die Slutsky Gleichung

• Die BeOs sind:

• Sodass:

• Nun haben wir die Slutsky Gleichung:

) ,

, ) (

, ,

( x p p U

p

U p

p E

y x

c x

y

x







M x x

p x p

x

x c

x



 



 





0 )

, (

; 0

;

0   



 

 

  U x y U

y p U

x

p U

c y

c

x

 

6

Die Slutsky Gleichung

Die (Kreuz-) Slutsky Gleichung für den Effekt von p_y auf x:

Hat die gleiche Intuition wie vorher: Für eine ein-Cent Erhöhung in p_y reduziert sich das effektive Einkommen des Konsumenten um y Cent. Der Beweis ist ebenfalls analog.

M y x

p x p

x

y c

y



 



 





Die Slutsky Gleichung

Beispiel:

John‘s Marshall‘sche Nachfrage nach Hamburgern und Soda ist:

• Der Gesamteffekt einer Preisänderung:

• Der Einkommenseffekt:

• Der Substitutionseffekt:

s

h

p

s M p und

h M

2

2 



 

 p

s

 

 

 M

s s

 

 





M s s

p s

s

8

Die Slutzky Gleichung

Beispiel:

• Der Preis von Soda verändert die Nachfrage nach Hamburgern nicht. Daher müssen sich die Einkommens- und Substitutionseffekte exakt aufheben.

• Der Einkommenseffekt:

• Aus der Slutzky Gleichung ist der Substitutionseffekt gegeben durch:

 

 

M s h

 

 





M s h

p h

s

Dualität

Verhältnis zwischen Nutzen- maximierung und Ausgaben- minimierung:

Für gegebene Preise ist die Lösung einer Nutzenmaximierung für ein M auch die Lösung einer Ausgabenminimierung für ein U.

Daher:

Ausgabenfunktion und indirekte Nutzenfunktion sind Inverse:

) , ,

(

) ,

(

U p

p E M

M p p

V U

y x

y x





M M

p p V p p E und U

U p p E p p

V (

,

, (

,

, ))  (

,

, (

,

, )) 

10

Dualität

Idee:

• V(p_x,p_y,M) ist der maximale Nutzen aus Einkommen M.

→ Es ist unmöglich, einen Nutzen über V(p_x,p_y,M) mit M zu erreichen.

→M ist die minimale Ausgabe, die notwendig ist um den Nutzen V(p_x,p_y,M) zu erreichen. Daher:

• E(p_x,p_y,U) ist die minimale Ausgabe, die notwenig ist, um den Nutzenlevel U zu erreichen.

→ Es ist unmöglich, weniger als E(p_x,p_y,U) auszugeben und damit den Nutzenlevel U zu erreichen.

→ U ist der maximale Nutzenlevel, der mit dem Einkommen E(p_x,p_y,M) erreicht werden kann. Daher:

M M

p p

V p

p

E (

,

, (

,

, )) 



Dualität

• Verhältnis zwischen Nachfragefunktionen:

• Die unkompensierte Nachfrage bei einem Einkommen M ist gleich der kompensierten Nachfrage für einen Nutzenlevel von V(p_x,p_y,M).

• Die kompensierte Nachfrage für U ist gleich der unkompensierten Nachfrage bei einem Einkommen E(p_x,p_y,U).

• Shephard‘s Lemma:

• Gibt den Zusammenhang zwischen Nachfrage- und Ausgabenfunktion. Gleiches Argument wie oben.

)) ,

, ( , , ( )

, ,

( p p M x p p V p p M

x



)) ,

, ( , , ( )

, ,

( p p U x p p E p p U

x



) , ,

) ( ,

,

( x p p U

p

M p

p E

y x

c x

y

x







12

Dualität

• Roy‘s Identität: Ähnliches Ergebnis für Nutzenmaximierung:

• Zeigt das Verhältnis zwischen der Marschall‘schen Nachfragefunktion und der indirekten Nutzenfunktion.

M V p

V M

p p

x









 ) 

, ,

(

Dualität

Beispiel: John‘s indirekte Nutzenfunktion und Ausgabefunktion:

• Die indirekte Nutzenfunktion:

• Die Ausgabenfunktion:

• Finde die Ausgabenfunktion als Inverse von V:

• Finde die indirekte Nutzenfunktion als Inverse von E:

 ) ,

,

( p p M

V

 ) ,

,

( p p U

E

14

Dualität

Beispiel: John‘s Marschall‘sche und kompensierte Nachfrage.

• Wie gezeigt sind die Marschall‘sche und die kompensierte Nachfrage (für Hamburger):

• Kompensierte Nachfrage aus der Marschall‘schen Nachfrage:

• Die Marschall‘sche aus der kompensierten Nachfrage:

• Shephard‘s Lemma:

h s h

s c h

h

s p

U p U

p p h p und

M M p p

h  ( , , ) 

) 2 ,

, (

Dualität

16

Kapitel 5c Konzepte

• Ausgabenminimierung

• Hicks‘sche (kompensierte) Nachfrage

• Ausgabenfunktion

• Die Slutsky Gleichung

• Theorem der Umhüllenden

• Dualität

• Shephard‘s Lemma und Roy‘s Identität