Die Slutsky Gleichung

Kapitel 5c

Einkommens- und Substitutionseffekte

1

Die Slutsky Gleichung

• Slutsky Gleichung: Der formale Zusammenhang zwischen Einkommens- und Substitutionseffekten:

• Teilt den Effekt einer Preisänderung in einen Substitutions- (erster Term) und einen Einkommenseffekt (zweiter Term) auf.

• Einkommenseffekt: Bei einer Erhöung von p_xum einen Cent fällt das effektive Einkommen um x Cents.

M x x p x p

x

x c

x



 



 





2

Die Slutsky Gleichung

Herleitung der Slutsky Gleichung:

• Punkt A kann als Lösung einer Nutzenmaximierung oder einer Ausgabenminimierung

gesehen werden.

• Daher:

• Und aus der Definition:

) , ,

( p p U

E

M 

_{x y}

)) , , ( , , ( )

; ,

( p p U x p p E p p U

x

_{c x y}



_{x y x y}

• Dies gilt für jeden Punkt A, gegeben das Einkommen M und den Nutzen U.

Die Slutsky Gleichung

• Durch Ableitung beider Seiten:

• Oder:

• Aus dem Umhüllenden-Satz und der Definition von x_cfolgt:

x x

x c

p E M

x p

x p

x







 



 





x x

c

x

p

E M

x p

x p

x







 



 





) , , ( ) , , ) (

, ,

( x p p U x p p M

p U p p E

y x y

x c x

y

x

 





Die Slutsky Gleichung

Beweis:

Ableitung nach p

_x

:

 ^{( , )}  ^{( , , )}

) , , (

U p p p x

y x U U

p y y p U

p x x p U

p U p p E

y x c x c c

x c c y

x c c x

x y x

 

 





 



 







 

 

 



 







 

 









 ^{( ( , , ), ( , , )} 

) , , (

) , , ( )

, , ( )

, , (

U p p y U p p x U U U p p

U p p y p U p p x p U p p E

y x c y

x c y

x

y x c y y

x c x y

x











5

Die Slutsky Gleichung

• Die BeOs sind:

• Sodass:

• Nun haben wir die Slutsky Gleichung:

) , , ) (

, ,

( x p p U

p U p p E

y x c x

y

x







M x x p x p

x

x c

x



 



 





0 )

, (

; 0

;

0   



 

 

  U x y U

y p U

x

p U

_{c c}

c y

c

x

 

6

Die Slutsky Gleichung

Die (Kreuz-) Slutsky Gleichung für den Effekt von p_yauf x:

Hat die gleiche Intuition wie vorher: Für eine ein-Cent Erhöhung in p_y reduziert sich das effektive Einkommen des Konsumenten um y Cent. Der Beweis ist ebenfalls analog.

M y x p x p

x

y c

y



 



 





7

Die Slutsky Gleichung

Beispiel:

John‘s Marshall‘sche Nachfrage nach Hamburgern und Soda ist:

• Der Gesamteffekt einer Preisänderung:

• Der Einkommenseffekt:

• Der Substitutionseffekt:

s

h

p

s M p und

h M

2

2 



 

 p

s

s

 

 

 M

s s

 

 





M s s p

s

s

8

Die Slutzky Gleichung

Beispiel:

• Der Preis von Soda verändert die Nachfrage nach Hamburgern nicht. Daher müssen sich die Einkommens- und Substitutionseffekte exakt aufheben.

• Der Einkommenseffekt:

• Aus der Slutzky Gleichung ist der Substitutionseffekt gegeben durch:

 

  M s h

 

 





M s h p

h

s

9

Dualität

Verhältnis zwischen Nutzen- maximierung und Ausgaben- minimierung:

Für gegebene Preise ist die Lösung einer Nutzenmaximierung für ein M auch die Lösung einer Ausgabenminimierung für ein U.

Daher:

Ausgabenfunktion und indirekte Nutzenfunktion sind Inverse:

) , , (

) , (

U p p E M

M p p V U

y x

y x





M M p p V p p E und U U p p E p p

V( _x, _y, ( _x, _y, )) ( _x, _y, ( _x, _y, ))

10

Dualität

Idee:

• V(p_x,p_y,M) ist der maximale Nutzen aus Einkommen M.

→Es ist unmöglich, einen Nutzen über V(p_x,p_y,M) mit M zu erreichen.

→M ist die minimale Ausgabe, die notwendig ist um den Nutzen V(p_x,p_y,M) zu erreichen. Daher:

• E(p_x,p_y,U) ist die minimale Ausgabe, die notwenig ist, um den Nutzenlevel U zu erreichen.

→Es ist unmöglich, weniger als E(p_x,p_y,U) auszugeben und damit den Nutzenlevel U zu erreichen.

→U ist der maximale Nutzenlevel, der mit dem Einkommen E(p_x,p_y,M) erreicht werden kann. Daher:

M M p p V p p

E (

_x

,

_y

, (

_x

,

_y

, )) 

U U p p E p p

V ( , , ( , , )) 

Dualität

• Verhältnis zwischen Nachfragefunktionen:

• Die unkompensierte Nachfrage bei einem Einkommen M ist gleich der kompensierten Nachfrage für einen Nutzenlevel von V(p_x,p_y,M).

• Die kompensierte Nachfrage für U ist gleich der unkompensierten Nachfrage bei einem Einkommen E(p_x,p_y,U).

• Shephard‘s Lemma:

• Gibt den Zusammenhang zwischen Nachfrage- und ))

, , ( , , ( ) , ,

(p p M x p p V p p M

x _{x y}  _{c x y x y} )) , , ( , , ( ) , ,

(p p U x p p E p p U

x_{c x y}  _{x y x y}

) , , ) (

, ,

( x p p U

p M p p E

y x c x

y

x







Dualität

• Roy‘s Identität:Ähnliches Ergebnis für Nutzenmaximierung:

• Zeigt das Verhältnis zwischen der Marschall‘schen Nachfragefunktion und der indirekten Nutzenfunktion.

M V p

V M

p p

x

_{x y} ^x











 ) , , (

13

Dualität

Beispiel: John‘s indirekte Nutzenfunktion und Ausgabefunktion:

• Die indirekte Nutzenfunktion:

• Die Ausgabenfunktion:

• Finde die Ausgabenfunktion als Inverse von V:

• Finde die indirekte Nutzenfunktion als Inverse von E:

 ) , ,

( p p M

V

_{s h}

 ) , ,

( p p U

E

_{s h}

14

Dualität

Beispiel:John‘s Marschall‘sche und kompensierte Nachfrage.

• Wie gezeigt sind die Marschall‘sche und die kompensierte Nachfrage (für Hamburger):

• Kompensierte Nachfrage aus der Marschall‘schen Nachfrage:

• Die Marschall‘sche aus der kompensierten Nachfrage:

• Shephard‘s Lemma:

h s h

s c h

h

s p

U p U p p h p und M M

p p

h  ( , , )

) 2 , , (

15

Dualität

16

Kapitel 5c Konzepte

• Ausgabenminimierung

• Hicks‘sche (kompensierte) Nachfrage

• Ausgabenfunktion

• Die Slutsky Gleichung

• Theorem der Umhüllenden

• Dualität

• Shephard‘s Lemma und Roy‘s Identität

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