Die Burgers Gleichung

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Vortrag im Rahmen der Vorlesung Spektralmethoden Elena Frenkel Samuel Voit Balthasar Meyer

29. Mai 2008

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Die Burgers Gleichung

1 Einfürung

Ein kurzer Überblick Physikalische Motivation

2 Exakte Lösung

Cole-Hopf Transformation Methode der Charakteristiken

3 Numerische Lösung

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Die Burgers Gleichung Einfürung

Ein kurzer Überblick

Burgers Gleichung

u_t+uu_x =νu_xx

Von Burgers vorgeschlagen als einfache Gleichung zur Beschreibung von Turbulenz

Beschreibt z.B. Gasdynamik und Strassenverkehr Nichtlinearer Term und Dispersionsterm

Exakt lösbar

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Burgers und Navier-Stokes

Burgers vs. Navier-Stokes Burgers Gleichung:

u_t+uu_x =νu_xx Navier-Stokes Gleichungen:

ρu_t+ρu· ∇u+∇p=ν∆u divu=0

Man sieht, dass mit ρ=1 undp =0 die Burgers Gleichung (fast) ein Spezialfall der Navier-Stokes Gleichungen ist

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Aber wer war dieser Burgers?

Abbildung: Johannes Martinus Burgers (1895-1981)

Holländischer Physiker

Wurde mit 23 Professor in Delft, später University of Maryland Reiste viel, besonders auch in Russland

Burgers Gleichung, Burgers Vektor, Burgers Material

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Physikalische Motivation

Wir betrachten eine Dichteρ und einen Flussq und fordern ein einfaches Erhaltungsgesetz:

d dt

Z _x₁

x2

ρ(x,t)dx+q(x₁,t)−q(x₂,t) =0 Fürx₁→x₂ kriegt man

∂ρ

∂t +∂q

∂x =0.

Es ist vernünftig, eine Beziehung zwischenq und ρ anzunehmen.

Ein einfaches Beispiel istq = ¹₂ρ²−νρ_x. So erhalten wir Burgers Gleichung

ρ_t+ρρ_x =νρ_xx.

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Die Burgers Gleichung Exakte Lösung

Cole-Hopf Transformation

Mit der Cole-Hopf Transformation lässt sich die Burgers Gleichung auf die Wärmegleichung reduzieren:

c =−2νφ_x φ

Wärmegleichung

½ φ_t=νφ_xx φ=exp¡

−_2ν¹ R_x

0 F(η)dη¢ ,t=0

F()ist die Anfangsbedingung füer die Burgers Gleichung

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Cole-Hopf Transformation: Vorgehen

Zuerst setzt man

u =ψ_x

und setzt das in die Burgers Gleichung ein. Integrieren ergibt ψ_t+1

2ψ_x²=νψ_xx. Nun führt man

ψ=−2νlog(φ) ein und erhält

φ_t=νφ_xx.

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Exakte Lösung mit der Cole-Hopf Transformation (1)

Exakte Lösung für Burgers Gleichung

u(x,t) = R_∞

−∞x−η

t e^−G^/2νdη R_∞

−∞e^−G^/2νdη , wo

G(η;x,t) = Z _η

0

F(η⁰)dη⁰+(x−η)² 2t .

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Exakte Lösung mit der Cole-Hopf Transformation (2)

Man kann zeigen, dass fürν →0 diese Lösung eine Lösung für den nichtlinearen Teil der Burgers Gleichung istu_t+uu_x =0 Nichtstetige Lösungen dieser Gleichung beschreiben

Schockwellen

Die Gleichung mitν =0 wird auch reibungsfreie (inviscid) Burgers Gleichung genannt

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Methode der Charakteristiken

Die Methode der Charakteristiken führt eine PDE auf ein System von ODE’s zurück

Funktioniert allgemein für hyperbolische PDE

Geeignet für die qualitative Untersuchung der Lösung

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Herleitung der Charakteristischen Kurven (1)

Wir untersuchen das Anfangswertproblem

½ u_t+uu_x =0 u=f(x),t =0

Fassex als Funktion von t auf, x=x(t). Definiere die totale Ableitung

d dt = ∂

∂t +u ∂

∂x. Nun erhalten wir folgendes System von ODE’s:

½ _du

dt =0

dxdt = ^∂x_∂t +u^∂x_∂x =u

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Herleitung der Charakteristischen Kurven (2)

Sei nunC eine solche Kurve mitx(0) =ξ. Dann lautet die Lösung auf dieser Kurve ½

u =f(ξ)

x(t) =f(ξ)t+ξ

Diese Kurve wirdcharakteristische Kurve genannt. Entlang dieser Kurven ist die Lösung konstant. Durch Variation vonξ bekommt man eine Lösung

u(x,t) =u(x(t),t) =u(ξ+f(ξ)t),t).

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Charakteristische Kurven

Abbildung:Charakteristische Kurven für nichtlineare Wellen

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Brechende Welle

Abbildung:Brechende Welle

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Die Burgers Gleichung Numerische Lösung

Numerische Lösung

Numerisches Problem





u_t+uu_x−νu_xx =0, ν >0 u(−1,t) =u(1,t) =0 u(x,0) =exp(−5x²)

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Die Burgers Gleichung Numerische Lösung

THE END

So long, folks.

Danke für die Aufmerksamkeit.