Aufgabe Zeigen Sie, dass das Riemann-Problem f¨ur die Burgers-Gleichung mit ul&gt

Technische Universit¨at Wien wS 2009/10 Institut f¨ur Analysis u. Scientific Coumputing

Prof. Dr. A. Arnold / Dipl.-Math. J. Geier

3. ¨Ubungsblatt zur VL

“Zeitabh¨angige Probleme in Physik und Technik”

(Riemann-Problem/Entropiebedingung/Nichtkonvexe Flußfunktionen)

1. Aufgabe

Zeigen Sie, dass das Riemann-Problem f¨ur die Burgers-Gleichung mit ul> ur

a) keine schwache L¨osung besitzt, die genau zwei Schockkurven hat;

b) schwache L¨osungen besitzt, die aus drei Schocks bestehen. Finden Sie die allgemeinste Form hierf¨ur.

2. Aufgabe

Es sei f ∈C²(R) und

u(x, t) =

u_l, x < st

u_r, x > st , s= f(ur)−f(ul) u_r−u_l eine schwache L¨osung des Riemann-Problems

u_t + f(u)_x = 0 , u(x,0) =

u_l, x <0

ur, x >0 (1)

Zeigen Sie, dass u genau dann die Entropiebedingung von Oleinik erf¨ullt, wenn u f¨ur alle konvexen Entropien η und zugeh¨orige Entropiefl¨usse ψ die Ungleichung

η(u)_t + ψ(u)_x ≤ 0 (2)

im schwachen Sinn erf¨ullt.

Hinweis: Analog zur Rankine-Hugoniot Bedingung kann man zeigen:

u erf¨ullt (2) im schwachen Sinn, genau dann wenn gilt

−s η(u_r)−η(u_l)

+ψ(u_r)−ψ(u_l) ≤ 0. Schreiben Sie die linke Seite als Integral.

3. Aufgabe

Es sei f ∈C²(R) (nicht notwendig konvex), so dass f⁰⁰(x) = 0 nur f¨ur eine endliche Anzahl von Stellen gilt. In diesem Fall l¨aßt sich eine Entropiel¨osung u des

Riemann-Problems (1) explizit konstruieren. Man kann zeigen, dass u eine Ahnlichkeits-L¨¨ osung ist, also

u(x, t) = w(^x_t), t >0.

Die Funktion w besitzt nur endlich viele Unstetigkeits-/Sprungstellenξ₁ >· · ·> ξ_n (entsprechen den Schocks von u) und in dem Fall ul > ur istw(ξ) monoton fallend.

a) Setze f¨ur j = 1, . . . , n

w2j−1 := lim

ξ&ξj

w(ξ), w_2j := lim

ξ%ξj

w(ξ). Begr¨unden Sie, dass gilt

u_r =:w₀ ≤w₁ <· · ·< w_2n≤w_2n+1:=u_l .

Hinweis: Da w monoton fallend ist, reicht es zu zeigen, dass w auf den Intervallen (ξ_j, ξ_j+1) nicht konstant ist.

b) Die Funktion ˆf: [u_r, u_l]→R wird nun st¨uckweise auf den Intervallen [w_j, w_j+1) definiert durch

fˆ(w) =

f(w) , j gerade

f(w_j) +f⁰(w_j)(w−w_j), j ungerade

Zeigen Sie, dass ˆf stetig differenzierbar und konkav ist und dass gilt ˆf ≥f. Hinweis: ¨Uberlegen Sie sich, dass f¨ur j ungerade f⁰(wj) gleich der

Schockgeschwindigkeit des zuξ_j geh¨origen Schocks ist.

Bemerkung: Die Funktion ˆf ist die konkave H¨ulle von f, also die kleinste konkave Funktion, die gr¨oßer gleich f ist.

c) Ein einfaches Model f¨ur das Aussp¨ulen eines eindimensionalen ¨Ol-Reservoirs in einem por¨osem Medium mit Wasser ist die Buckley-Leverett Gleichung, eine skalare hyperbolische Erhaltungsgleichung mit Flussfunktion

f(u) = u²

u² +a(1−u)² .

Die Gr¨oße u(x, t)∈[0,1] gibt das Mischungsverh¨altnis von ¨Ol und Wasser an.

L¨osen Sie dass Riemann-Problem mit u_l= 1 (pures Wasser), u_r= 0 (pures ¨Ol) und a= ¹₃. Konsturieren/berechnen Sie hierzu ˆf und bestimmen Sie damit die Schockgeschwindigkeiten. Zeichnen Sie (qualitativ) die L¨osung u f¨urt = ¹₂,1.