Zeigen Sie die Gleichung L(ab

Prof.Dr. W.Koepf

Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung

Ubungsblatt 08 GESCHICHTE DER ANALYSIS 06.12.2007

Aufgabe 1 (Tangentenbestimmung nach Barrow)

(a) Bestimmen Sie mit der Methode von Barrow die Tangentensteigung der Zissoide y²( x) x³= 0;

wobei 2 R⁺ gilt.

(b) Zeichnen Sie die Zissoide fur = 5 und bestimmen Sie die Tangentensteigungen an der Stelle 4.

(4 Punkte)

Aufgabe 2 (Logarithmen)

(a) Seien a; b 2 R⁺ mit a b. Zeigen Sie die Gleichung L(ab) = L(a) + L(b) fur

L(a) = Z _{a 1}

0

1

x + 1dx = Z _a

1

1 tdt mittels Integralrechnung.

(b) Die Tonhohe eines Tons wird durch seine Frequenz angegeben, welche in Schwingungen pro Sekunde (Hz) gemessen wird. Hierbei entsprechen wahrgenommene Tonhohenunterschiede (Intervalle) festen Frequenzverhaltnissen. Das Frequenzverhaltnis ²₁ wird als Oktave wahr- genommen. Der Kammerton A hat 440 Hz und das nachst hohere A hat also die Frequenz 880 Hz. Hierzulande ublich ist eine Tonleiter aus 12 Tonen. Seit Johann Sebastian Bach stimmt man Tasteninstrumente "wohltemperiert\, das heisst, das Frequenzverhaltnis c zweier aufeinanderfolgender Halbtone ist immer gleich. Fur c gilt also c¹² = 2 und folglich c = ¹²p

2.

Verwenden Sie lediglich die Kenntnis, dass log₁₀2 = 0:3010299957 (ohne Berechnung von

12p

2) und die umseitige Logarithmentafel zur Basis 10, um die wohltemperierten Frequenzen der Zwischentone zu bestimmen.

Ton: A B H C Cis D Dis E F Fis G Gis A

Hz: 440 880

(6 Punkte)

Abgabetermin: Donnerstag, 13.12.2007, 14.15 Uhr in der Ubung.

Beispiel: Um mit Hilfe der Logarithmentafel das x zu bestimmen, welches die Gleichung log₁₀x = 0:1055

erfullt, betrachten Sie zunachst die erste Spalte hinter der mit N gekennzeichneten Spalte. Es treten Zahlen von 00 bis 30 auf. Aus dieser Spalte suchen Sie die Zahl 10 (die beiden ersten Nachkommastellen). Danach suchen Sie die Zahl innerhalb des Bereiches von 10, welche der Zahl 55 (der dritten und vierten Nachkommastelle) am nachsten kommt. In diesem Fall existiert ein Eintrag mit 55. Nun hangen Sie die dem ausgewahlten Eintrag (55) entsprechende Zahl der ersten Zeile (5) an die Zahl der ersten Spalte (127) an und erhalten so die Losung

x 1:275