Elemen te der reellen Ar ithmetik

(1)

Kapitel 3

Elemen te der reellen Ar ithmetik

ArithmetikistdieWissenschaftvondenZahlen.Vergessen,wasZahlensindundwasmanmitdenenallessomachenkann?Machtnichts.DiefolgendenAbschnittesindalskleineErinnerungshilfegedacht.

Ach

¨ubrigens

–verwechselnSiebittenichtZahlmitZiffer.EineZahlisteinma-thematischenDing,dessenEigenschaftenineinemAxiomensystemoder

¨ahnlic

hemfestgelegtwerden.EineSymbolsequenzwie123istzun

Addition,das seZifferf¨urdeneinhundertdreiundzwanzigstenNachfolgerdesNeutralelementsder (arabisch:sifr).ImDezimalsystem,auchgenanntdasdekadischeSystem,stehtdie- ¨achstlediglicheineZiffer

¨ublic

herweisemit0bezeichnetwird.ImdyadischenSystem,auchge-nanntdualesSystem,w

¨are

dieseZahldurchdieZiffer1111011dargestellt,worin0wiegehabtdieZifferf¨urdasNeutralelementderAddition,und1dieZifferf¨urdenNachfolgervon0.MankannalsoZahlenganzunterschiedlichdarstellen.Sofernnichtausdr

dargestelltwobeiwirf¨urdiesog.GrundperiodeunseresSystemsdiearabischenZif- ¨ucklichvermerkt,werdenZahlenindieserVorlesungimDezimalsystem

c!MartinWilkens437.M

¨arz

2012

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44ElementederreellenArithmetik

fern0,1,2,3,4,5,6,7,8,9verwenden,wobei1derNachfolgervon0,2derNachfolgervon1,...,9derNachfolgervon8.DerNachfolgervon9–dieZahl9+1–wirdmitderZiffer10bezeichnet,derNachfolgervon99mitderZiffer100undsoweiter.Allesklar?Nadannmallos...

3. 1 Di e vi er Gr undr ec henar ten

HatmandreiKartoffeln,undlegtzweidazu,schautmanauff¨unfKartoffeln,3+2=5.NimmtmanvierKartoffelnwiederweg,beh

¨alt

maneine

¨ubrig,

5−4=1.UndhatmanzweiHaufen,jedermitdreiKartoffeln,kannmandiezueinemeinzigenHaufen,bestehendaussechsKartoffelnzusammenfassen,2·3=6.DenHaufenkannmananschließendwiederindreiHaufengleicherGr¨oßeaufteilen,6÷3=2.

DiejeweiligeAnzahlvonKartoffeln(oder¨Apfel,oderSterne)bestimmtmandurchAbz

¨ahlen

indennat

¨urlic

henZahlenN={1,2,3,...}.Dazulegennenntmanmathe-matischaddieren,wegnehmennenntmansubtrahieren,zusammenfassennenntmanmultiplizierenundaufteilennenntmandividieren.Addieren,Subtrahieren,Multi-plizierenundDividierensinddievierGrundrechenartenderArithmetik.

ImUmgangmitdennat

¨urlic

henZahlenstelltmannunfest:

•BeimAddierenbzw.MultiplizierenvondreiZahlen2,3,4kannmanzuerst2und3addierenbzw.multiplizieren,undaddiertdanndie4bzw.multipliziertmit4,odermanaddiertbzw.multiplizierterstmal3und4,undaddiertdann2bzw.multipliziertmit2,(2+3)+4=2+(3+4)bzw.2·(3·4)=(2·3)·4.MansagtAdditionundMultiplikationgen

¨ugen

demAssoziativgesetz.

•AußerdemkommtesbeimAddierenbzw.MultiplizierennichtaufdieReihen-folgean,3+2=2+3bzw.2·3=3·2.Mansagt,AdditionundMultiplikation

7.M

¨arz 201244c!MartinWilkens

(3)

3.1DievierGrundrechenarten45

gen

¨ugen

demKommutativgesetz.

•HatmanschließlicheineSumme,wieetwa3+4,undwilldiemit2mut-liplizieren,kannmanaucherstdieProdukte2·3und2·4berechnen,unddieseanschließendaddieren,2·(3+4)=2·3+2·4.Mansagt,AddtionundMultiplikationgen

¨ugen

demDistributivgesetz.

Esistaussichtslos,eineRegelwiedasKommutativgesetzderAdditionf¨urjedesPaarnat

¨urlic

herZahlenaufzuschreiben,alsoetwa1+2=2+1,1+3=3+1,2+3=3+2usw.StattdessengreiftmanzurBuchstabenrechenung,beiderBuchstabenm,nf¨urirgendwelcheZahlenstehen.DasKommutativgesetzderAdditionliestsichdann:“F

¨ur

jedesPaarvonZahlenm,ngiltm+n=n+m”.BuchstabenrechungistderSchl

¨ussel

zurMathematik.Gew

¨ohnen

Siesichdaran.

Subtraktionistindennat

¨urlic

henZahlennichtuneingeschr

¨ankt

m¨oglic

h:WennmanauseinemKorbmitf¨unfKartoffelnallef¨unferausnimmt,istderKorbleer,unddieKartoffelnineinemleerenKorblassensichnichtabz

¨ahlen

(f¨ur

dieganzKlugen:0istkeineAbz

¨ahlzahl).

UndwennmanauseinemKorbmitf¨unfKartoffelnsechseherausnehmenwill,gehtdasohneKartoffelschuldenzumachenschongleichgarnicht.KartoffelschuldennenntmaninderArithmetiknegativeZahlen,sodassbeispielsweise5−6=−1,einenleerenKorbnenntman0,sodassbeispielsweise5−5=0,unddieGesamtheitdernat

¨urlic

henZahlen,erweitertumdieNullunddienegativenZahlennenntmandieganzenZahlen,bezeichnetZ.IndenganzenZahlenkannmangenausorechnenwieindennat

¨urlic

henZahlen,nurdassjetztdieSubtraktionuneingeschr

¨ankt

m¨oglic

hist.Genauer:ZujederZahlpgibteseineZahlqmitp+q=0.DiesobestimmteZahlisteindeutig,notiertq:=−p,undesgilt−p=−1·p,wo−1dasadditivInversederZahl1,also1+(−1)=0,und0dasNeutralelementderAdditiona+0=0.DasNeutralelementderMultiplikationistdie1,denn1·p=pf¨uralleganzenZahlenp.

¨arz

2012

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FeiertmanGeburtstag,kanndieTortedurchausinsiebenSt

wobeidannjedesSt ¨uckegeteiltwerden,

¨ucknureinBruchteil,n

¨amlic

heinSiebentel,notiert 17 .UnddasGeburtstagskindkriegtzweiSt¨ucke,hatalso2· 17 = 27 Torte.AuchBr

Zahlen,mitdenenmanrechnenkann,genanntdierationalenZahlen. ¨uchesind

Dabeiistallerdingszuber

verschiedeneBr ¨ucksichtigen,dasseinunddieselberationaleZahldurch

dieserSachverhaltindersog.K 714¨uchedargestelltwerdenkann,etwa=.ZumAusdruckkommt 12

vonrechtsnachlinksgelesengenanntErweiterungsregel. k·qq =,(3.1) k·pp nung ¨urzungsregel,inderNotationderBuchstabenrech-

AdditionundMultiplikationvonrationalenZahlensindinderBruchdarstellungdefiniert,

pq + rs := p·s+r·qq·s (3.2)

pq · rs := p·rq·s .(3.3)

DieDefinitionensindunabh

¨angig

vomRepr

¨asen

tanten,

DieErweiterungvonNnachZhatdieuneingeschr

¨ankte

Subtraktionerm

¨oglic

ht.DaswesentlichneueandenrationalenZahlenist,dassnunauchdieDivisionunein-geschr

¨ankt

m¨oglic

hist.Genauer:ZujederrationalenZahla#=0gibteseineZahlb,sodassa·b=1.DiesobestimmteZahlbisteindeutig,notiertb= 1a ,wobeiinderBruchdarstellunga= pq verabredungsgem

¨aß

1a = qp ,genanntdas(multiplikativ)InversederZahla.

WernurzweiKartoffelnhathat,wenigerals3Kartoffeln.Undwer 27 Tortehat,hateingro

¨oßeres

St¨uc

k,alsjemanddernur 17 Tortehat.Zahlenlassensichvergleichen.

7.M

(5)

3.1DievierGrundrechenarten47

EineZahlaistkleineralseineZahlb,notierta<b,genaudannwenndieDifferenzb−agr

¨oßer

alsNull.

Statt“aistkleineralsb”kannmannat

¨urlic

hauchsagen“bistgr

¨oßer

alsa”,notiertb>a.Undwillmanoffenlassenobakleinerodergleichbschreibtmana≤b,entprechendb≥af¨urdieVariante“bistgr

¨oßer

odergleicha”.

HatmanzweirationaleZahlena,b,l

¨asst

sichimmereinZahlcfinden,diedazwischenliegt,beispielsweisec= 12 (a+b).IteriertmandasArgumentstelltmanfest,dasszwischenzweirationalenZahlenbeliebigvieleandererationaleZahlenliegen,undm

¨ogen

diebeidenZahlenaundbaufderZahlengeradennochsoengbeieinanderliegen.

Essiehtdannsoaus,alsobjedemPunktaufderZahlengeradeneinerationalenZahlentspr

¨ache,alsobdieZahlengeradenurausrationalenZahlenbest

¨unde.

DasistabernichtderFall.Viele,garunendlichvieleZahlen,sindnichtrational.DasbekanntesteBeispielistdieZahl √2,dieL

¨ange

derDiagonalenimEinheitsquadratbzw.diepositiveWurzelderGleichung

x 2−2=0.(3.4)

DerBeweis,dass √2nichtrational,isteinKlassiker.ErfindetsichschoneinEuklidsGeometrie.SeialsoaeinerationaleZahlmita 2=2.DanngibtesganzeZahlen

pundq>0,ohnegemeinsamenTeiler,sodassa= pq mit !pq "2= p2

q2=2bzw.

p 2=2·q 2.Folglichp 2einegeradeZahl,somitpeinergeradeZahl,p=2·r,woreineganzeZahl,undq 2=2·r 2.EntsprechendauchqeinegeradeZahl,somitp,qnichtteilerfremd,imWiderspruchzurAnnahmen.qed

¨arz

2012

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3. 2 Der K

¨or

p er der reel len Z ahl en

DieZahl √2istdemnachzwarnichtrational,istmiteinemZirkelaufderZahlen-geradeaberdurchausgeometrischkonstruierbar.AndereZahlen,wiebeispielsweiseπsindauchnichtrational,undsindnochnichteinmalgeometrischkonstruierbar 1

MitBlickaufdieZahlengeradesagtman,Qseidichtaberunvollst

¨andig.

Ver-vollst

¨andigt

werdendierationalenZahlenindenreellenZahlen,bezeichnetR.DieVervollst

¨andigung

istetwasverwickelt,undwirddaheraufdieErg

¨anzungen

ver-schoben.F

¨ur

unsereZweckereichtesaus,wennSiesichunterdenreellenZahlendiePunkteaufderZahlengeradevorstellen(Mathematikertundasauch,auchwennsiedasoffiziellnichtgernezugeben).NeueRechenregelnm

¨ussen

SiebeimUmgangmitdenreellenZahlen

¨ubrigens

nichtlernen.Auchf¨urdiereellenZahlen–wief¨urdierationalenZahlen–stehenallevierGrundrechenartenzurVerf

¨ugung,

undesgeltendieRechenregelen,dieIhnenausderElementarmathematikvertrautsind.EinederarttigstrukturierteMengeheißtinderMathematikeinK

Genauer ¨orper(engl.field).

Definition“K

¨orper”:EinK

¨orp

erbestehtauseinerMengeKundzweiVerkn

¨upfun-

gen+:K×K→K(a,b))→a+b (3.5)

und+:K×K→K(a,b))→a·b (3.6)

1Achtung:derKreisumfangeineKreisesmitEinheitsdurchmesserbetr

¨agt

zwarπ,aberdiesesπl¨asstsichalsGeradenst

¨uckmitZirkelundLinealnichtkonstruieren.Nat

¨urlic

hk¨onnenSieeineKreisscheibeaufderZahlengeradenabrollenlassen–womitSiew

¨ussten,

woungef

¨ahr

dieZahlπliegt–aberdasisthaltkeinegeometrischesonderneinephysikalischeKonstruktion.

7.M

(7)

3.2DerK

¨orperderreellenZahlen49

diefolgendenAxiomengen

¨ugen

1.(a+b)+c=a+(b+c)

2.a+b=b+a

3.EsgibteinElement0∈Kmita+0=af¨urallea∈K

4.Zujedema∈KgibteseinElement−a∈Kmita+(−a)=0.

5.(a·b)·c=a·(b·c)

6.a·b=b·a

7.EsgibteinElement1∈K,1#=0,mit1·a=af¨urallea∈K.

8.Zujedema∈K,a#=0,gibteseina −1∈Kmita −1·a=1.

9.a·(b+c)=a·b+a·c

Zugegebenermaßenetwasbarock–abersoistdashalt,wennmaneinsom

WerkzeugwiedasRumrechnenmitZahleneinfangenwill... ¨achtiges

SowohldierationalenZahlenalsauchdiereellenZahlenerf

¨ullen

dieK

¨orp

eraxiome.MansprichtdaherauchvomK

¨orperderrationalenZahlenbzw.K

Zahlen.DereinzigeUnterschiedzwischendenbeidenK ¨orperderreellen

¨orp

ernbestehtdarin,dassdiereellenZahlen–imGegensatzzudenrationalenZahlen–haltvollst

¨andig

ist.WiedereinandererK

¨orp

er,derunsdemn

¨achstbesch

¨aftigen

wird,istderK

¨orp

erderkomplexenZahlen.

3. 2. 1 Ungl ei ch ungen

DiereellenZahlenlassensichgenausovergleichenwiedierationalenZahlen.Dem-nachheißteinereelleZahlagenaudannkleinergleicheinerreellenZahlb,notiert

¨arz

2012

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a≤b,wennb−anichtnegativ.DieRelation≤erf

¨ullt

dieKriterieneinerOrd-nungsrelation:sieist1.reflexiv,denna≤a,2.antisymmetrisch,dennwenna≤bundb≤a,danngilta=b,und3.transitiv,dennwenna≤bundb≤c,danngilta≤c.DieOrdnungisttotal,auchgenanntlinear,dennf¨urjedesbeliebigePaarreellerZahlenl¨asstsichentscheiden,oba<b,b<aodera=b.

ArchimedischeOrdnung...

EinenAusdruckderForma<b,wieaucheinenAusdruckderForma≤bnenntmaneineUngleichung.BeimUmgangmitUngleichungenleistenfolgendeGrundregelnunsch

¨atzbare

Dienste:

•F

¨ur

allea,b,cista≤b

¨aquiv

alenta+c≤b+c.Beweis:DieUngleichunga≤bistnachDefnition

¨aquiv

alentb−a≥0.Unddab−a=(b+c)−(a+c),istb−a≥0

¨aquiv

alent(b+c)−(a+c)≥0,unddasistwiederum

¨aquiv

alenta+c≤b+c.qed.

•BeiderMultiplikationmussmanmitdemVorzeichnenetwasaufpassen.Nurwenncpositivista≤b

¨aquiv

alentc·a≤c·b.Isthingegencnegativ,ista≤b

¨aquiv

alentc·b≤c·a.(OhneBeweis).

3. 2. 2 In ter v al le; Supr em um , Infim um

WichtigeTeilmengenderreellenZahlensinddieIntervalle.ManunterscheidetvierTypen

•dasoffeneIntervall]a,b[:={x|a<x<b},

•dasabgeschlosseneIntervall[a,b]:={x|a≤x≤b},

7.M

(9)

3.2DerK

•daslinksseitighalboffeneIntervall]a,b]:={x|a<x≤b},

•dasrechtsseitighalboffeneIntervall[a,b[:={x|a≤x<b}.

NurimabgeschlossenenIntervallfindetsicheinkleinstesundeingr

¨oßtes

Element,treffendgenanntMinimumundMaximum.InallenanderenIntervallenfehltentwe-derdaseine,oderdasandereodergarbeide.

EineTeilmengeM⊂Rheißtnachobenbzw.nachuntenbeschr

¨ankt,

wenness∈Rgibt,sodassf¨urjedesx∈Mgiltx≤sbzw.s≤x.Dassobestimmtesheißtdanneineoberebzw.untereSchrankef¨urM.

EineZahlsheißtSupremumvonM,notierts=supM,fallssdiekleinsteobereSchrankefürM,d.h.(1)sistobereSchrankefürM,und(2)jedeZahls "<sistkeineobereSchrankefürM.

3. 2. 3 Absol utb etr ag und Si gn um

DerAbsolutbetrageinerZahlistdefiniert

|a|:= #afallsa≥0−afallsa<0 (3.7)

DerAbsolutbetrageinerZahl,kurzBetrag,istalsoselbereineZahl.Beispielsweise|−2|=|2|=2.

DasSignumeinerZahlistdefiniert

Sgn(a)= 

 +1fallsa>00fallsa=0−1fallsa<0 (3.8)

¨arz

2012

(10)

Offensichtlich|a|=a·sgn(a).Angesichtssgn(a·b)=sgn(a)·sgn(b)ist|a·b|=a·b·sgn(a·b)=a·sgn(a)·b·sgn(b)=|a|·|b|.

HatmaneineGleichunga=b,soistselbstverst

¨andlic

hauch|a|=|b|.

F¨ur

dasProdukta·bgilt|a·b|=|a|·|b|.F

¨ur

dieSummea+bgiltallerdingskeineswegsimmer|a+b|=|a|+|b|,denkenSienurana=−bmita#=0,dannw

¨are

doch|a+b|=|a−a|=|0|=0#=2·|a|.Vielmehr||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(3.9)

Beweis:¨Ubungen...

3. 2. 4 P otenzen und W ur zel n

F¨unf

malF

¨unf

istF

¨unfundzw

anzig,undF

¨unf

malF

¨unf

malF

¨unf

istF

¨unf

malF

¨unfundzw

anzigistHundertf

¨unfunzw

anzig.DasGanzeetwask

¨urzer

5·5=25und5·5·5=5·25=125.Undnochk

¨urzer

5 2=25und5 1·5 2=5 3=125,wobeiwirhierschonverabredethaben5 1:=5,lies“5-hoch-Einsistgleichbedeutend5”.Diehierauftretenden“Hochzahlen”1,2,3heißenExponenten,undeineZahlwie5 3nenntmaneinePotenzvon5.

EinF

¨unftel

voneinemF

¨unftel

istsehrwenig,n

¨amlic

hnureinF

¨unfundzw

anzigstel,undeinF

¨unftel

voneinemF

¨unftel

voneinemF

¨unftel

istnochweniger,n

¨amlic

hnureinF

¨unftel

voneinemF

¨unfundzw

anzigstel,unddasisteinHundertf

¨unfundzw

angs-tel.Ok–k

¨urzer:

15 · 15 = 125 und 15 · 15 · 15 = 15 · 125 = 1125 .Undjetztnochk¨urzer

5 −2= 125 und5 −1·5 −2=5 −3= 1125 ,wobeiwirhierverabredethaben5 −1:= 15 und5 −n:=(5 −1) n≡5 −1·n.

Die5ersetzenwirjetztmaldurcheinenBuchstabena,derf¨urirgendeinereelleZahlstehenm

¨oge,

unddieExponentenersetzenwirdurcheinenBuchstabenp,derf¨urirgendeineganzeZahlstehenm

¨oge.

7.M

(11)

3.2DerK

Definition“Potenz”:SeiareelleZahl;dannistdiePotenza nf¨urganze,nicht-negativeZahlenn≥0rekursivdefiniert,

a 0:=1,a n+1:=a·a n(n≥0)(3.10)

Soferna#=0seif¨urderhina −n:=(a −1) n(3.11)

DieDefinitionbedeutet,dassf¨urjedeZahla#=0derWertvona pf¨urbeliebigeganzeZahlenp∈Zbestimmtist.Wegen“Minus-Mal-Minus-ist-Plus”gilt

(−1) p= #+1f¨urpgeradeZahl−1f¨urpungeradeZahl (3.12)

AußerdemgeltendieRechenregeln

a p·a q=a p+q(3.13)

(a p) q=a p·q(3.14)a p·b p=(a·b) p(3.15)

fürnicht-negativenganzenZahlenp,qund,fallsaundbvon0verschiedensind,füralleganzenZahlenp,q.Manbeachte,dassesfürdasProdukta p·b qkeineeinfacheRechenregelgibt.

Sieerinnernsich–Rechenregelnsindimmerbeweisbed

¨urftig

bevormansieimAlltagbenutzt....

DieGleichungx n=x nisteineBanalit

¨at,

¨ub

erdiezuredennichtweiterlohnt.DierechteSeiteisteineZahl,nennenwirsiea.DieBanalit

¨at

erscheintjetztinderFormx n=a,undwirdf¨urgegebenesazurFrage:welcheZahlenxsindes,derenjeweiligen-tePotenzdieZahlaliefern?DieMehrzahlformisthiermitBedachtgew¨halt:Sei

¨arz

2012

(12)

n¨amlic

hf¨urngeradeeineZahlx0L

¨osung

derGleichungx n=a,alsox n0=a,dannistwegen()auch−x0≡−1·x0eineL

¨osung!

Istallerdingsnungerade,entf

¨allt

dieseM

¨oglic

hkeit:dasVorzeichenvonx0istindiesemFalledurchdasVorzeichenvonabereitsbestimmt.

L¨osungen

derGleichungx n=aheißenWurzelnvona.F

¨ur

nicht-negativeadefiniert

a 1n(3.16)

diesog.positiveWurzelderGleichungx n=a.DieNotationrespektiert(),denn(a 1n) n=a n·1n=a nn=a 1=a.

SofernneineungeradeZahlistdiepositiveWurzeldieeinzigeWurzelvonx n=a>0.SofernneingeradeZahl,sinddiepositiveWurzelunddienegativeWurzel−(a) 1nWurzelnvonx n=a.ImFallenegativera,alsoa<0,istdieGleichungx n=anurf¨urungeradenl¨osbar,miteindeutigbestimmterWurzel−(−a) 1n.

3. 3 F akul t¨at und Bi nomi al k o e ffi zi en ten

DasProduktdernat

¨urlic

henZahlenvon1biszueinergegebenenZahlnk

¨urzt

maninderNotationab,n!=1·2·3·····n(3.17)

genannt“n-Fakult

¨at”,

undvereinbart0!:=1.DieFakult

¨at

spielteinegroßeRolleindersog.Kombinatorik.DieZahln!istgenaudieZahlderM

¨oglic

hkeiten,nver-schiedeneObjekteineinerReiheanzuordnen(¨aquivalent:DieZahln!istdieAnzahlderPermutationennverschiedenerElemente).

Binomialkoeffizienten'nk (:= n(n−1)...(n−k+1)k! ≡ n!k!(n−k)! (3.18)

7.M

(13)

3.4Aufgaben55

Manbeachte,dassessichtrotzdesBruchstrichsbeieinemBinomialkoeffizientenimmerumeinenat

¨urlic

heZahlhandelt.DieZahl )nk *istgenaudieAnzahlderk-elementigenTeilmengeneinernichtleerenMengemitnElementen(Beweis:¨Ubung).

SeinenNamenverdanktderBinomialkoeffizientdemBinomischenSatz

(a+b) n=a n+ 'n1 (a n−1b+ 'n2 (a n−2b 2+···+ 'nn−1 (a 1b n−1+b n≡ n+

k=0 'nk (a kb n−k

(3.19)denSieinden¨Ubungenbeweisen.

3. 4 Aufgab en

"Aufgabe3-1(πPunkte)

GehenSieaneineKreidetafelundskizzierenSiefreih

¨andig

(ohneHilfsmittel!)diesog.Zahlengerade(L

¨ange

ca150cm.Warum?).VergessenSienicht,anzugebenwo0und1liegen,evtl.auchandereZahlenwie2/3,17/13odergarπunde.KannmanIhreSkizzeauchentziffern,wennmanganzhintensitzt?

"Aufgabe3-2

Bez

¨uglic

hAdditionundMultiplikationzweierUngleichungengeltenfolgendeS

¨atze,

diewirSiebittenzubeweisen:

Wenna≤bundc<d,danna+c<b+dWenna≤bundc≤d,danna+c≤b+dWenn0≤a<bund0≤c<d,danna·c<b·dWenn0≤a≤bund0≤c≤d,danna·c≤b·d (3.20)

¨arz

2012

(14)

"Aufgabe3-3

BeweisenSie||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(3.21)

"Aufgabe3-4(5Punkte)

BeweisenSie:“DieAnzahlallerm

¨oglic

henAnordnungennverschiedenerElementeistn!.”

"Aufgabe3-5(6Punkte)

Sieerinnernsich–nebenderFakult

¨at

st¨oßt

maninderKombinatorikh

¨aufig

aufBinomialkoeffizienten,'nk (:= n(n−1)...(n−k+1)k! ≡ n!k!(n−k)! .(3.22)

(a)ZeigenSie:dieAnzahlderk-elementigenTeilmengeneinernichtleerenMengemitnElementenistimFalle0<k≤ngegeben )nk *.

(b)SeinenNamenverdanktderBinomialkoeffizientdemBinomischenSatz

(a+b) n=a n+ 'n1 (a n−1b+ 'n2 (a n−2b 2+···+ 'nn−1 (a 1b n−1+b n≡ n+

k=0 'nk (a kb n−k

(3.23)denwirSiebittenzubeweisen.

Binomialkoeffizientennotiertmanzuweilenineinemsog.Pascal’schenDreieck.Schau-enSiemalirgendwonach...

7.M

(15)

3.4Aufgaben57

"Aufgabe3-6

F¨ur

dieBinomialkoeffizientenbeweisemandieRekursionsformel'n+1k+1 (= 'nk (+ 'nk+1 ((3.24)

"Aufgabe3-7(6aus49)

WiegroßistdieW’keit,6RichtigebeimLotto“6aus49”zutippen?

"Aufgabe3-8(Fermistatistik)

DieGrundaufgabederFermistatistiklautet:AufnZellensollenknichtunterscheid-barerTeilchensoverteiltwerden,dassjedeZelleh

¨ochstenseinTeilchenenth

¨alt.

Manzeige,dasseshiergenau )nk *verschiedeneVerteilungengibt.

"Aufgabe3-9(Bose-EinsteinStatistik)

DieGrundaufgabederBose-EinsteinStatistiklautet:AufnZellensollenknichtunterscheidbareTeilchenverteiltwerden,wobeijedeZellebeliebigvieleTeilchenaufnehmenkann.Manzeige,dasseshiergenau )n+k−1k *verschiedeneVerteilungengibt.

¨arz

2012

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7.M