Fachbereich Mathematik Prof. Dr. S. Roch
Dr. B. Debrabant D. Küpper
S. Löbig
A TECHNISCHE UNIVERSITÄT
DARMSTADT
24.06.2009
Analysis 1 für M, LaG M, Übung 11
Gruppenübung
G 1 Konvergenzradien von Potenzreihen
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
a)
∞
X
k=0
(3 + 4i)kxk b)
∞
X
k=0
k27xk c)
∞
X
k=0 k
X
m=0
1 m+ 1
! xk
G 2 Unstetige Funktionen
Konstruieren Sie zwei Funktionen f, g : R → R mit der Eigenschaft, dass f +g, f·g und f /g auf ganz R stetig sind, aberf und g in keinem Punkt stetig sind.
G 3 Inverses stetiger Funktionen
Es sei S :={z ∈C| |z|= 1} und f : [0,2π)→S, t 7→eit. Zeigen Sie, dass f stetig und bijektiv ist, die Umkehrfunktionf−1 jedoch nicht stetig ist.
Hausübung
H 1 VUnstetigkeit und Konvergenzradius (6 Punkte) Zu q∈R seiR(q) der Konvergenzradius der Potenzreihe
∞
X
k=0
(q2+ 1)k!xk
In welchen Punkten ist die FunktionR :R→R, q 7→R(q) stetig?
H 2 VAlternative Definition von Stetigkeit (8 Punkte)
Es seif :Rn →Rm. Zeigen Sie, dassf genau dann stetig ist, wenn für alleM ⊂Rn die Inklusionf(M)⊆f(M) gilt.
Hinweis: Mit M wird die Abschließung der Menge M bezeichnet (vgl. Vorlesung Definition 3.7)
