Fachbereich Mathematik Prof. Dr. S. Roch
Dr. B. Debrabant D. Küpper
S. Löbig
A TECHNISCHE UNIVERSITÄT
DARMSTADT
10.06.2009
Analysis 1 für M, LaG M, Übung 9
Gruppenübung
G 1 Konvergenz und absolute Konvergenz
Überprüfen Sie, welche der folgenden Reihen konvergiert und welche absolut kon- vergiert.
1.
∞
X
n=0
(−1)n(√
n+ 1−√
n); 2.
∞
X
n=1
bn mit bn = ( −2
n falls 3Teiler von n
1
n sonst
G 2 Cauchy Produkt
Es sei 0< q <1, ak =qk und bk= (−q)k. Berechne P∞ n=0(Pn
l=0an−lbl).
G 3 Bauklotztürme
Ein kleiner Dämon hat in seiner Bauklotzsammlung zu jeder reellen Zahlr ∈(0,1) genau einen würfelförmigen Bauklotz der Seitenlänge r. Für welche reellen Zahlen V ∈ R kann er abzählbar unendlich viele Bauklötze zu einen Turm aufeinander stellen, so dass die Höhe des Turmes 1 und das VolumenV ist?
Hausübung
H 1 VAbsolute Konvergenz (4 Punkte) 1. Sei P∞
j=1aj eine absolut konvergente Reihe, so dass aj 6= −1 für alle j ∈ N. Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe
∞
X
j=1
aj 1 +aj
absolut konvergiert.
2. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Sei (aj)j∈N eine Folge, so dass die Reihe
∞
X
j=1
q
|ajaj+1| konvergiert. Dann konvergiert P∞
j=1aj absolut.
H 2 VKonvergenzkriterien (6 Punkte) Für welcheα∈R konvergiert die Reihe
∞
X
k=1
α+ 1
k k
?
H 3 Cauchy Produkt (4 Punkte)
Es seiena0 =−1,b0 = 2,ak = 1undbk= 2kfürk ≥1. Zeigen Sie, dass die aus den Folgen (an), (bn) gebildeten Reihen jeweils divergieren, ihre Cauchy Produktreihe jedoch konvergiert.
