Analysis1fürM,LaGM,Tutorium8 A TECHNISCHEUNIVERSITÄTDARMSTADT

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. R. Farwig Dr. B. Debrabant F. Riechwald

R. Schulz

A ^TECHNISCHE UNIVERSITÄT

DARMSTADT

03.12.2008

Analysis 1 für M, LaG M, Tutorium 8

T 23 Alternierende harmonische Reihe Sei P∞

j=1aj eine unendliche Reihe. Sei pk der k-te positive Summand der Reihe, und n_k der k-te negative Summand.

a) Bestimme p_k, n_k für die alternierende harmonische ReiheP∞ j=1

(−1)^j+1

j .

b) Zeige, dass P∞

j=1p_j =∞ und P∞

j=1n_j =−∞ gelten.

T 24 Absolute Konvergenz Beweise, dass

∞

X

j=1

a_j genau dann absolut konvergiert, wenn sowohl

∞

X

j=1

p_j als auch

∞

X

j=1

n_j konvergieren.

T 25 Umordnung von Reihen

a) Überlege Dir für die alternierende harmonische Reihe, wie man diese umordnen muss, damit sie gegen ein beliebiges x∈Rkonvergiert.

b) Zeige nun für eine beliebige Reihe:

Wenn

∞

X

j=1

a_j konvergiert aber nicht absolut konvergiert, dann existiert für jedes

x∈R eine Umordnung

∞

X

j=1

a_σ(j) von

∞

X

j=1

a_j mit

∞

X

j=1

a_σ(j) =x.

T 26 Doppelreihen

Untersuche, ob die nachfolgenden DoppelreihenP∞

k,l=1a_kl die Voraussetzungen des Großen Umordnungssatzes erfüllen, also ob es eine SchrankeM gibt, so dass

n

X

k,l=1

|a_kl| ≤ M

für alle n∈N gilt.

a)

∞

X

k,l=1

1

(k·l)² b)

∞

X

k,l=1

1 (k+l)²