Ubungsblatt 6 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie ¨
Zufallsgr¨ossen
Herausgabe des ¨Ubungsblattes: Woche 13, Abgabe der L¨osungen: Woche 14 (bis Freitag, 16.15 Uhr), Be- sprechung: Woche 15
Must Aufgabe 32 [X und|X|]
Sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei |X| eine Zufallsgr¨osse. Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass dannX nicht zwingend eine Zufallsgr¨osse sein muss (die Umkehrung ist aber richtig: X Zufallsgr¨osse, dann auch|X|Zufallsgr¨osse; kommt noch in Vlsg).
Standard Aufgabe 33 [einfaches Beispiel zur mb] [2+2+2+2 Punkte]
Sei Ω :={1,2,3,4,5,6}undF:=σ({1,2,3,4},{3,4,5,6}).
a) Geben Sie alle Elemente von F an.
b) Sei die FunktionX folgendermassen definiert:
X(ω) :=
2 falls ω∈ {1,2,3,4} 7 falls ω∈ {5,6}. IstX auch mb bzglF und damit eine ZG auf (Ω,F)?
c) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion auf Ω an, die nicht mb ist bzgl (Ω,F).
d) Geben Sie einP auf (Ω,F) an, so dass jedem Ereignis entweder 0 oder 1 zugewiesen wird.
Aufgabe 34 [PX][4 Punkte]
Sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei X eine Zufallsgr¨osse auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.
Zeigen Sie: durch
PX(B) :=P[X−1(B)] :=P[{ω|X(ω)∈B}] wird eine Wahrscheinlichkeit auf (R,B(R)) definiert.
Honours
Aufgabe 35 [Verkn¨upfung von messbaren Abbildungen] [2 Punkte]
Seien (E1,E1),(E2,E2) und (E3,E3) drei Messr¨aume. Seienf :E1→E2 und g:E2 →E3 jeweils E1− E2- messbare bzwE2− E3-messbare Abbildungen. Zeigen Sie:
h:=g◦f :E1→E3
istE1− E3-messbar.
Dr. Christoph Luchsinger
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Übungsblatt 6 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
Olivier Warin 15. April 2012
Aufgabe 32 [X und|X|]
SeienΩ ={©,§},A={∅,Ω}undX : Ω→Rdefiniert durch X(ω) =
(2, fallsω=©
−2, fallsω=§. Nun gilt
X−1((−1,3]) ={©} 6∈ A, also kannX nach Definition 2.4keine Zufallsgrösse sein.
Weiter gilt
|X(ω)|= 2, für alleω∈Ω.
Folglich gilt für alleB∈ B(R):
X−1(B) =
(Ω∈ A, falls 2∈B
∅ ∈ A, falls 26∈B.
Nach Definition 2.4 ist also|X|eine Zufallsgrösse.
Aufgabe 33 [einfaches Beispiel zur mb]
SeiΩ ={1,2,3,4,5,6} undF=σ({1,2,3,4},{3,4,5,6}).
a) Es gilt
F = {Ω,∅,{1,2,3,4},{5,6},{3,4,5,6},{1,2},{1,2,5,6},{3,4}}. b) Die FunktionX : Ω→Rsei wie folgt definiert:
X(ω) =
(2, fallsω∈ {1,2,3,4} 7, fallsω∈ {5,6}.
Behauptung: Die FunktionX ist messbar (mb).
Beweis: SeiB ∈ B(R).
Falls 2∈B und7∈B folgtX(ω)∈B, für alleω∈Ωund damit X−1(B) = Ω∈ F. Falls 2∈B und76∈B, so folgt
X−1(B) ={1,2,3,4} ∈ F. Analog folgt, falls26∈B und7∈B, dass
X−1(B) ={5,6} ∈ F. Schliesslich gilt noch im Fall, dass26∈B und76∈B:
X−1(B) =∅ ∈ F.
Zusammengefasst gilt in jedem Fall X−1(B)∈ F, also istX messbar (mb).
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c) Wir definieren Y : Ω→RdurchY(ω) =ω. Nun istY nicht messbar, denn es gilt zum Beispiel Y−1((0,1]) ={1} 6∈ F.
d) Wir wählen das folgende Dirac-MassP auf(Ω,F):
P(A) =
(1, falls 1∈A 0, sonst.
Es ist nun leicht, einzusehen, dass dies eine Wahrscheinlichkeit definiert. Ausserdem ist nach Kon- struktion offensichtlich, dass jedem Ereignis entweder 0 oder 1 zugewiesen wird.
Aufgabe 34 [PX]
Sei(Ω,A, P)ein Wahrscheinlichkeitsraum. SeiX eine Zufallsgrösse auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.
Behauptung: Die AbbildungPX:B(R)→R, definiert durch
PX(B) =P[X−1(B)] = P[{ω∈Ω|X(ω)∈B}], definiert eine Wahrscheinlichkeit auf(R,B(R)).
Beweis: Aufgrund der Messbarkeit vonX, ist zunächst einmalPX wohldefiniert. Das heisst hier, dass für alle Borelmengen B X−1(B) in derσ-AlgebraAliegt und somit der AusdruckP[X−1(B)]Sinn macht.
(Beachte, dass die WahrscheinlichkeitP nur auf Mengen ausAdefiniert ist!) Weiter gilt
PX(R) =P[X−1(R)] = P[Ω] = 1.
Ausserdem gilt für jede Borel-MengeB klarPX(B) =P[X−1(B)]>0.
Sei nun(Bn)n∈Neine paarweise disjunkte Folge von Borel-Mengen. Damit sind die EreignisseX−1(Bn) wegen Lemma 2.2 d) ebenfalls disjunkt. Wir schliessen
PX[S∞
n=1Bn] =P[X−1(S∞
n=1Bn)] = P[S∞
n=1X−1(Bn)] = X∞ n=1
P[X−1(Bn)] = X∞ n=1
PX[B].
Somit ist die Behauptung gezeigt.
Aufgabe 35 [Verknüpfung von messbaren Abbildungen]
Seien (E1,E1), (E2,E2) und (E3,E3) drei Messräume. Seien f : E1 → E2 und g : E2 → E3 jeweils E1− E2-messbare bzw.E2− E3-messbare Abbildungen.
Behauptung: Die Abbildungh=g◦f :E1→E3 istE1− E3-messbar.
Beweis: Sei A3 ∈ E3. Da g E2 − E3-messbar ist, folgt dass g−1(A3) ∈ E2. Die Abbildung f ist nach VoraussetzungE1− E2-messbar. Somit folgt
f−1(g−1(A3))∈ E1. Weiter gilt
e1∈f−1(g−1(A3))⇔f(e1)∈g−1(A3) ⇔ g(f(e1)) =h(e1)∈A3 ⇔ e1∈h−1(A3), alsoh−1(A3) =f−1(g−1(A3))∈ E1. Folglich isthE1− E3-messbar.
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