Zahlentheorie – Blatt 8

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Name und Matr-Nr.

Zahlentheorie – Blatt 8

Abgabe am 13.6.2017 bis 10:30 Uhr

1 2 3 4 Σ

Bitte drucken Sie diese Seite aus und verwenden Sie sie als Deckblatt f¨ur Ihre L¨osungen.

Wie ¨ublich sind alle Antworten zu begr¨unden/beweisen.

Aufgabe 1 (4 Punkte):

Seiq∈Nso, dass Primitivwurzeln moduloqexistieren. Zeigen Sie:

(a) Die Anzahl der Primitivwurzeln modulo qistφ(φ(q)).

(b) F¨ur beliebigengilt: #{a∈Z/qZ|aⁿ = 1}= ggT(n, φ(q)).

Aufgabe 2 (4 Punkte):

(a) Sei (G,·) eine endliche abelsche Gruppe, und seia∈G. Zeigen Sie: Sindn∈Nund p∈Pso, dass aⁿ6= 1 aber a^pn= 1 ist, so ist ord(a) durchp^r teilbar, wobeip^rkpn. (Zur Erinnerung:

”p^rkm“ bedeutet, dassp^r die gr¨oßte p-Potenz ist, diemteilt.)

(b) Finden Sie die kleinste nat¨urliche Zahl q≥3, so dassX¹⁰⁰⁰≡ −1 modq(mindestens) eine L¨osung hat. Geben Sie f¨ur diesesq eine L¨osung an, zeigen Sie, dass dies eine L¨osung ist, und zeigen Sie auch, dass es f¨ur kleinereq keine L¨osung gibt.

Hinweis: Teil (a) kann n¨utzlich sein.

Aufgabe 3 (4 Punkte):

Seip≥3 eine Primzahl, seir≥1, und sei q=p^r.

(a) Zeigen Sie die folgende Formel f¨ur die Anzahl der zuqteilerfremden Quadrate moduloq:

#{a²|a∈(Z/qZ)^×}=p−1 2 ·p^r−1. (b) Zeigen Sie die folgende Formel f¨ur die Anzahl aller Quadrate moduloq:

#{a²|a∈Z/qZ}= p−1 2 ·

p^r+1 p²−1

+ 1

Hinweis: K¨onnen Sie eine Bijektion angeben zwischen den Quadraten modulo q, die nicht zu qteilerfremd sind, und allen Quadraten modulop^r0 f¨ur ein geeignetesr⁰?

Aufgabe 4 (4 Punkte):

Seipeine Primzahl,neine nat¨urliche Zahl, und seis:= 1ⁿ+ 2ⁿ+· · ·+ (p−1)ⁿ. Zeigen Sie:

(a) Istndurchp−1 teilbar, so ists≡ −1 mod p.

(b) Istnnicht durchp−1 teilbar, so ists≡0 modp.

Hinweis zu (b): Verwenden Sie die Existenz einer Primitivwurzel.

Vorlesungswebseite:http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/ZTh_SS17/