Algebra Blatt 8

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra Blatt 8

Abgabe der Lösungen bis zum 27.05.2019, 10:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen Bitte geben Sie Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben ab; weitere Informationen auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.

Aufgabe 8.1 (8 Punkte)

Sei R ein gauÿscher Ring, und sei Prim(R) die Menge aller Primelemente von R . Sei P ein (vollständiges und irredundantes) Vertretersystem für die Assoziiertenklassen in Prim ( R ) ; d.h. es sei P ⊆ Prim(R) und zu jedem q ∈ Prim(R) gebe es genau ein p ∈ P mit p ∼ q . Jedes Element a ∈ R ∖ {0} läÿt sich dann eindeutig schreiben als a = e

∏

p

, wobei e

∈ R

und die Exponenten v

( a ) ∈ N

bis auf endlich viele Ausnahmen allesamt gleich 0 sind. (Das formal unendliche Produkt reduziert sich also auf ein einfaches endliches Produkt, indem man Faktoren, die gleich 1 sind, wegläÿt.)

(a) Beschreiben Sie, mit Hilfe der Bewertungsabbildungen v

, einen gröÿten gemeinsamen Teiler von a = e

∏

p

und b = e

∏

p

in R ∖ { 0 } .

(b) Ein Element v ∈ R heiÿt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a, b ∈ R , falls gilt:

a, b ∣ v und ∀w ∈ R ∶ a, b ∣ w ⇒ v ∣ w . Wir schreiben dann v KGV a, b .

Beschreiben Sie, mit Hilfe der Bewertungsabbildungen v

, ein kleinstes gemeinsames Viel- faches von a = e

∏

p

und b = e

∏

p

in R ∖ { 0 } .

(c) Es gelte d GGT a, b und v KGV a, b in R . Zeigen Sie: ab ∼ dv .

(d) Sei R ein Hauptidealring. Es gelte d GGT a, b und v KGV a, b in R . Begründen Sie: (i) aR + bR = dR , (ii) aR ∩ bR = vR , und (iii) aR ⋅ bR = dR ⋅ vR .

Aufgabe 8.2 (8 Punkte)

(a) Sei ϕ ∶ R → R

ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern I . Zeigen Sie:

Die Zuordnung J ↦ J ϕ

= { x ∈ R ∣ xϕ ∈ J } liefert eine Bijektion von der Menge aller Ideale von R

auf die Menge aller Ideale von R , die I enthalten.

Weiter gelten die folgenden Aussagen für J, J

, J

⊴ R

: (i) J

ϕ

⊆ J

ϕ

⇔ J

⊆ J

,

(ii) J ϕ

⊴

R ⇔ J ⊴

R

, (iii) J ϕ

⊴

R ⇔ J ⊴

R

,

(b) Sei R ein kommutativer Ring und P ⊴

R , sodass S = R ∖ P keine Nullteiler enthält. Verizieren Sie, daÿ S nicht leer und multiplikativ abgeschlossen ist. Betrachten Sie sodann die natürliche Inklusion ι ∶ R ↪ RS

.

Zeigen Sie: R ̂ = RS

ist ein lokaler Ring: Es gibt genau ein maximales Ideal, nämlich das von P ι in R ̂ erzeugte Ideal P ̂ .

Zusatz: Gibt es eine natürliche Beziehung zwischen den Ringen R/P und R/ ̂ ̂ P ?

Bitte wenden!

S. 1/2

Algebra Blatt 8 S. 2/2

Aufgabe 8.3

Sei R ein Integritätsbereich, und seien a, b ∈ R . Erläutern Sie, warum die folgenden grund- legenden Aussagen korrekt sind:

(a) a ∣ b genau dann, wenn bR ⊆ aR ; (b) a ∼ b genau dann, wenn aR = bR ;

(c) a ist eine Einheit in R genau dann, wenn aR = R ;

(d) a ist irreduzibel in R genau dann, wenn aR ein von {0} verschiedenes maximales Hauptideal von R ist;

(e) a ist prim in R genau dann, wenn aR ein von { 0 } verschiedenes Primideal von R ist.

Aufgabe 8.4

(a) Gemäÿ Aufgabe 6.1 ist der Ring R = Z [ i ] = { a + bi ∣ a, b ∈ Z } ein euklidischer Ring bzgl. der Gradfunktion ∂(a + bi) = a

+ b

. Bestimmen Sie für die Elemente x = 2 + 4i und y = 5 + 3i mittels des Euklidischen Algorithmus einen gröÿten gemeinsamen Teiler d in R sowie r, s ∈ R mit d = rx + sy .

(b) Zeigen Sie, daÿ der Ring Z [

√

2 ] = { a + b

√

2 ∣ a, b ∈ Z } euklidisch ist. (Hinweis: Verfahren Sie ähnlich wie für Z [i] ; vgl. Aufgabe 6.1.)

(c) Bestimmen Sie in R [X] den (normierten) gröÿten gemeinsamen Teiler von f = X

+ 3X + 2 und g = X

+ 2X

+ 5X

+ 6X + 2.

Leiten Sie daraus eine möglichst konkrete Beschreibung des Ideals ⟨f, g⟩ ⊴ R [X] ab.

(d) Bestimmen Sie für die in (c) angegebenen Polynome f, g ∈ R [ X ] auch das (normierte) kleinste gemeinsame Vielfache.

Zusatzaufgabe

(a) Zeigen Sie möglichst präzise mit Hilfe des Auswahlaxioms: Jede unendliche Menge X enhält eine abzählbar unendliche Teilmenge Y , d. h. eine Teilmenge Y die in Bijektion zu den natürlichen Zahlen steht. (Hinweis: Verwenden Sie die aus dem Induktionsprinzip abgeleitete Methode der rekursiven Denition.)

(b) Zeigen Sie möglichst präzise mit Hilfe des Zornschen Lemmas: Jeder Vektorraum V über einem Körper K besitzt eine maximale linear unabhängige Teilmenge von Vektoren.

Folgern Sie: Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

(c) Sei I ⊆ R ein oenes Interval, und f ∶ I → R eine reellwertige Funktion. In der elemen- taren Analysis werden die folgenden Stetigkeitsbegrie parallel verwendet. Die Funktion f heiÿt folgenstetig in x ∈ I , falls sich für jede Folge ( y

)

in I aus y

→ x für n → ∞ stets f (y

) → f (x) für n → ∞ ergibt. Die Funktion f heiÿt ε - δ -stetig in x ∈ I , falls es zu jedem ε ∈ R

ein δ ∈ R

gibt, so daÿ für alle y ∈ I gilt: aus ∣x−y∣ < δ folgt ∣f (x) −f (y)∣ < ε . (i) Vergewissern Sie sich, daÿ ohne Verwendung des Auswahlaxioms gilt: Sei x ∈ I . Ist f ε - δ -stetig in x , so ist f auch folgenstetig in x .

(ii) Zeigen Sie unter möglichst präziser Verwendung des Auswahlaxioms:

Sei x ∈ I . Ist f folgenstetig in x , so ist f auch ε - δ -stetig in x .

1In der Linearen Algebra I hatten wir verschiedene Kennzeichnungen kennengelernt; benutzen Sie hier:

M ⊆V ist linear unabhängig, falls fürr∈N,a₁, . . . , a_r∈Kund paarweise verschiedenev₁, . . . , v_r∈M aus

∑^ri=1aivi=0 stetsa1=. . .=ar=0 folgt.

2Verwenden Sie hier:M⊆V ist eine Basis, fallsM linear unabhängig ist und V aufspannt:V = ⟨M⟩.

3In der Literatur wird auf die Verwendung an dieser Stelle oftmals nicht explizit hingewiesen.