H. Menzer Ausgabe: 11.11.2009 Abgabe: 18.11.2009
Übungen Algebra/Zahlentheorie Blatt 3
Aufgabe 1(16)
In der Vorlesung vom 11.11.09 habe ich den Fakt genannt (aber nicht bewiesen), dass es für Gruppen mit acht Elementen genau drei nicht-isomorphe abelsche Gruppen und eine nicht-abelsche Gruppe gibt.
(a) Man gebe hierzu vier konkrete Gruppen an.
(b) Man bestimme von diesen Gruppen alle Untergruppen und typisiere diese.
(c) Man verallgemeinere die unter (a) genannten Beispiele zu abstrakten Gruppen.
Hinweis: 1) Man arbeite möglichst effektiv, indem man keine Strukturtafeln verwendet.
2) Man verwende geeignete Restklassengruppen und Diedergruppen.
Aufgabe 2(12)
Gegeben seien die beiden Gruppen
Z/12 ,Z
und
Z*/ 36 ,*Z
.(a) Man untersuche die Isomorphie dieser beiden Gruppen.
(b) Man bestimme von diesen Gruppen alle Untergruppen und typisiere diese.
(c) Man konstruiere zwei weitere Gruppen mit 12 Elementen, die zu den o.g. Gruppen isomorph bzw. nicht-isomorph sind.
Aufgabe 3(6)
Beweisen Sie, dass:
(a)
Z*/13 , ,Z
ein Körper ist, in dem man alle reziproken Elemente bestimmt.(b)
