25. ¨ Ubung : Oberfl¨ achenintegrale, Integrals¨ atze

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit

H¨ohere Mathematik II (MB)

25. ¨ Ubung : Oberfl¨ achenintegrale, Integrals¨ atze

25.1 Der Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten x, y, z und Zylinderkoordinaten r, ϕ, z wird vermittelt durch

x=g¹(r, ϕ, z) =rcosϕ, y =g²(r, ϕ, z) =rsinϕ, z =g³(r, ϕ, z) =z . Berechnen Sie die Jacobi-Matrix J von (g¹, g², g³)^⊤ und die

Funktionaldeterminante detJ .

25.2 Die z-Achse ist die Achse eines homogenen Kreiszylinders mit Radius R und H¨ohe H . Der Koordinatenursprung ist sein Mittelpunkt.

Bestimmen Sie das Tr¨agheitsmoment I des Zylinders bez¨uglich der x-Achse gem¨aß I =

Z Z Z

B

̺ p²(x) db .

Hierbei sind B der Zylinder-Bereich, ̺ die konstante Dichte und p(x) der Abstand zwischen x∈B und der x-Achse.

Hinweis: Wechseln Sie zu Zylinderkoordinaten unter Beachtung von Aufgabe 25.1.

25.3 Gesucht ist der Inhalt der durch z =g(x, y) =R−p

x²+y², 0≤z ≤R definierten Fl¨ache als Oberfl¨achenintegral erster Art.

25.4 Es seien v = (x²+y−4, 3xy, 2xz+z²)^⊤ ein Vektorfeld und F der Teil der durch z = 4−x²−y² definierten Fl¨ache, der oberhalb der x-y-Ebene liegt.

Berechnen Sie das Oberfl¨achenintegral RR

Frotv·dσ unter Verwendung des Integralsatzes von Stokes.

25.5 Bestimmen Sie die Zirkulation des Vektorfeldes v = (x+y, x−z, y+z)^⊤ l¨angs des Randes des ebenen Dreiecks mit den Eckpunkten A(0,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).

Werten Sie dazu ein Oberfl¨achenintegral ¨uber dem Dreieck aus (Satz von Stokes).

25.6 Finden Sie div x

kxk x∈R²

, div (a·x)x a, x∈R³

sowie grad (divv) f¨ur v(x, y, z) = (x e^z, y e^y, z e^x)^⊤.

25.7 Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes v = (x³, z−x²y, y−x²z)^⊤ durch den Rand der Halbkugel x²+y²+z² ≤R², x≥0.

Nutzen Sie dazu den Gaußschen Integralsatz, und verwenden Sie Kugelkoordinaten.

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit